二、圆锥曲线的离心率与统一方程优秀完整教案

圆锥曲线的离心率与统一方程（教学设计）

一、教学目标

知识目标:了解圆锥曲线的离心率及统一方程。

能力目标:分析圆锥曲线之间的共同点，培养归纳总结的能力。利用圆锥曲线定义之间的联系，找到共同的解决问题的方法，培养类比联想的能力。解题过程中，培养学生运算与思维能力。

情感目标:在寻求圆锥曲线定义与解题方法之间共同点的过程中，培养学生用“普遍联系”的观念分析事物。

二、教学重难点

重点:

圆锥曲线的统一定义及统一方程

难点:

圆锥曲线的统一定义

三、

教法分析与学法分析

采用启发探索式教学，师生共同探索，共同研究，充分发挥学生主题能动性，教师的主导作用。

在教学手段上，采用多媒体等电教手段，增加教学容量和直观性，通过演示，激发学生学习数学的兴趣。

四、教学过程

1、复习椭圆、双曲线、抛物线的定义，引出问题：椭圆和双曲线的定义能否和抛物线一样用一个定点和一条定直线来定？

设计意图：引出问题。

a22、探讨：已知点P(x,y)到定点F(c,0)的距离与它到定直线l:x的距离的比cc是常数a0,c0，求点P的轨迹．

a(xc)2y2c解：根据题意可得

a2a|x|c化简得(a2c2)x2a2y2a2(a2c2)

x2y2若ac令acb，上式可化为221(ab0)

ab这是椭圆的标准方程．

x2y222222若ac令cab，上式可化为221a0,b0

ab这是双曲线的标准方程．

设计意图：让学生更好的理解圆锥曲线的统一定义

3、圆锥曲线的统一定义：

平面内，到定点的距离与它到定直线的距离之比为一个常数e的点的轨迹是圆锥曲线。定点为焦点，定直线为准线，常数e为准线。该定义又称为圆锥曲线22222

的第二定义。

分析离心率的取值范围及对应的圆锥曲线的关系，并将上题的解题过程整理完整（当ac，Fl，动点P的轨迹是两条直线）从而得到以下结论：

这里e∈（0，1）时轨迹是椭圆；

e=1时轨迹是抛物线；

e∈（1，+∞）时轨迹是双曲线。

4、推导圆锥曲线的统一方程

yox

解：取定点F为原点，过点F并垂直于直线l的直线为x轴，过点F并垂直于x轴的直线为y轴，建立平面直角坐标系。设M（x，y）为曲线上的任意一点，并设直线l的方程是

x = –p。过点M作MH⊥l，H为垂足。则

点M到点F的距离是

| MF | =x2y2

点M到直线l的距离是 | MH | = | x + p |，

由题意可知 | MF | = e | MH |，所以可得曲线的轨迹方程为= e | x + p |

两边平方，化简得(1 – e2) x2 + y2

– 2pe2x – p2e2 = 0

e∈（0，1）时轨迹是椭圆；

e=1时轨迹是抛物线；

e∈（1，+∞）时轨迹是双曲线。

p是焦点到准线的距离。

5、关于圆锥曲线的发展

2000多年前，古希腊数学家阿波罗尼采用平面切割圆锥的方法研究圆锥曲线并获得了大量的成果。 用垂直于圆锥轴的平面去截圆锥，得到圆；

把平面渐渐倾斜，得到椭圆；

当平面倾斜到和且仅和圆锥的一条母线平行时，得到抛物线； 当平面再倾斜一些得到双曲线。

十七世纪初期，笛卡尔发明坐标系，人们开始在坐标系基础上，用代数方法研究圆锥曲线。 我们利用坐标法分别研究了椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程和几何性质。

设计意图：让学生了解圆锥曲线在来自于我们的生活，使他们对圆锥曲线有更直观的理解。同时明白，解析法对于数学科学的意义。

6、圆锥曲线第二定义的作用。

y N F M y yN M xN F'

xac2M F o x F' a2xco xac2x oa2xcF

仅以焦点在x轴上的椭圆为例，设椭圆上任意一点Px0,y0，椭圆的左右焦点分别为F1、F2，由定义可以推导出焦半径公式：PF2aex0,PF1aex0。

由此可见，平面上两点间的距离可以简化为平行于坐标轴的线段的距离，只用横坐标或者纵坐标表示，大大减少计算量。并且，可以有效解决之前的一些问题。比如：①椭圆上离焦点最近的点和最远的点是长轴端点。

②PF2PF1aex0aex0a2e2x0的最值显而易见。

2③椭圆上的点对焦点的张角的最大值在椭圆的短轴顶点处取得，可用余弦定理证明。

所以第二定义得引入简化了关于焦半径的很多运算，成为重要工具。关于其他的结论，大家可以积极探讨。

设计意图：让学生明确，圆锥曲线的第二定义很有用，以引发他们研究的兴趣。

五、课堂小结。

从几何观点看：

从代数观点看：

用一个不垂直于圆锥的轴的平面去截圆锥，当截面与圆锥的轴夹角不同时，得到的不同的截口曲线统称为圆锥曲线

平面内到一定点F 与到一条定直线l

的距离之比为常数

e

的点的轨迹是圆锥曲线.( 点F 不在直线l 上）

(1 – e2) x2 + y2

– 2pe2x – p2e2 = 0

六、板书设计：

复习椭圆、双曲线、抛物圆锥曲线的统一定义及推导椭圆、双曲线的统一线的定义

方程

定义，推导圆锥曲线的统一方程。

推导焦半径公式一级简单应用