4.3.2 空间两点间的距离公式优秀教学实录

4.3.2

空间两点间的距离公式

明目标、知重点

1.了解由特殊到一般推导空间两点间的距离公式的过程；2.会应用空间两点间的距离公式求空间中两点间的距离．

空间两点间的距离公式

(1)在空间中，点P(x，y，z)到坐标原点O的距离|OP|＝x2＋y2＋z2. (2)在空间中，P1(x1，y1，z1)与P2(x2，y2，z2)的距离|P1P2|＝x1－x22＋y1－y22＋z1－z22. (3)若点P1(x1，y1,0)，P2(x2，y2,0)，

则|P1P2|＝x1－x22＋y1－y22. (4)若点P1(x1,0,0)，P2(x2,0,0)，

则|P1P2|＝|x1－x2|.

[情境导学]

我们已经学***面上任意两点A(x1，y1)，B(x2，y2)之间的距离公式|AB|＝x1－x22＋y1－y22.那么空间中任意两点A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)之间距离的公式是怎样的？本节我们就来探讨这个问题．

探究点一

空间中点与坐标原点的距离公式

思考1

在空间直角坐标系中，坐标轴上的点A(x,0,0)，B(0，y,0)，C(0,0，z)，与坐标原点O的距离分别是什么？

答

|OA|＝|x|，|OB|＝|y|，|OC|＝|z|. 思考2

在空间直角坐标系中，坐标平面上的点A(x，y,0)，B(0，y，z)，C(x,0，z)，与坐标原点O的距离分别是什么？

答

|OA|＝x2＋y2，|OB|＝y2＋z2，

|OC|＝x2＋z2. 思考3

如图，在空间直角坐标系中，设点P(x，y，z)在xOy平面上的射影为M，则点M的坐标是什么？|PM|，|OM|的值分别是什么？

答

M(x，y,0)，|PM|＝|z|，|OM|＝x2＋y2.

思考4

基于上述分析，你能求出点P(x，y，z)与坐标原点O的距离公式吗？

答

如图，在Rt△OMP中，根据勾股定理，

|OP|＝|OM|2＋|PM|2＝x2＋y2＋z2. 探究点二

空间两点间的距离公式

问题

在空间中，设点P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)，如何求点P1、P2之间的距离|P1P2|? 思考1

设点P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)在xOy平面上的射影分别为M，N.那么M，N的坐标是什么？点M、N之间的距离如何？

答

M(x1，y1,0)，N(x2，y2,0)；

|MN|＝x1－x22＋y1－y22. 思考2

若直线P1P2垂直于xOy平面，则点P1，P2之间的距离如何？若直线P1P2平行于xOy平面，则点P1、P2之间的距离如何？

答

|P1P2|＝|z1－z2|；

|P1P2|＝|MN|＝x1－x22＋y1－y22. 思考3

若直线P1P2是xOy平面的一条斜线，则点P1，P2的距离如何计算？

答

如图，在Rt△P1HP2中，

|P1H|＝|MN| ＝x1－x22＋y1－y22，根据勾股定理，得|P1P2| ＝|P1H|2＋|HP2|2

＝x1－x22＋y1－y22＋z1－z22. 小结

空间中点P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)之间的距离|P1P2|＝x1－x22＋y1－y22＋z1－z22. 例1

如图，正方体OABC－D′A′B′C′的棱长为a，|AN|＝2|CN|，|BM|＝2|MC′|.求MN的长．

解

建立如图所示空间直角坐标系，过M作MF垂直BC于F，连接NF，显然MF垂直平面ABCO，所以MF垂直NF，

因为|BM|＝2|MC′|，所以|BF|＝2|FC|，

又|AN|＝2|CN|，所以NF∥AB，

1a所以|NF|＝|FC|＝|AB|＝，

3322a同理|MF|＝|CC′|＝，

33a2aa2a，，0，点M的坐标为，a，，

因此，得点N的坐标为3333于是|MN|＝

a－a2＋2a－a2＋0－2a2＝5a. 33333反思与感悟

在平面直角坐标系中，我们学习了很多性质，但这些性质在空间直角坐标系中并不能全部都适用．如平面直角坐标系中的中点坐标公式，两点间距离公式可类比到三维空间中，而对直线方程及一些判定定理、性质则在三维空间中不适用．

跟踪训练1

如图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，|C1C|＝|CB|＝|CA|＝2，AC⊥CB，D，E分别是棱AB，B1C1的中点，F是AC的中点，求DE，EF的长度．

解

以点C为坐标原点，CA、CB、CC1所在直线为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．

∵|C1C|＝|CB|＝|CA|＝2，

∴C(0,0,0)，A(2,0,0)，B(0,2,0)，C1(0,0,2)，B1(0,2,2)，由中点坐标公式可得，

D(1,1,0)，E(0,1,2)，F(1,0,0)，

∴|DE|＝1－02＋1－12＋0－22＝5，

|EF|＝0－12＋1－02＋2－02＝6. 探究点三

求空间点的坐标

例2

设点P在x轴上，它到P1(0，2，3)的距离为到点P2(0,1，－1)的距离的2倍，求点P的坐标．

解

因为P在x轴上，所以设P点坐标为(x,0,0)，

因为|PP1|＝2|PP2|，

所以x－02＋0－22＋0－32

＝2x－02＋0－12＋0＋12

所以x＝±1，所以P点坐标为(1,0,0)或(－1,0,0)．

反思与感悟

由空间两点间距离求点的坐标的方法

(1)若已知点到定点的距离以及点在特殊位置，则可直接设出该点坐标，利用待定系数法求解点的坐标．

(2)若已知一点到两个定点的距离之间的关系，以及其他的一些条件，则可以列出关于点的坐标的方程进行求解．

跟踪训练2

已知点P1，P2的坐标分别为(3,1，－1)，(2，－2，－3)，分别在x，y，z轴上取点A，B，C，使它们与P1，P2两点距离相等，求A，B，C的坐标．

解

设A(x,0,0)，B(0，y,0)，C(0,0，z)，

由|AP1|＝|AP2|得，

x－32＋1＋1＝x－22＋4＋9 所以x＝－3，

同理，由|BP1|＝|BP2|得y＝－1，

3由|CP1|＝|CP2|得z＝－，

23所以A(－3,0,0)，B(0，－1,0)，C(0,0，－)．

2探究点四

空间两点间距离公式的应用

例3

已知正方形ABCD、ABEF的边长都是1，且平面ABCD⊥平面ABEF，点M在AC上移动，点N在BF上移动，若CM＝BN＝a(0＜a＜

2)．

(1)求MN的长；

(2)当a为何值时，MN的长最小．

解

∵平面ABCD⊥平面ABEF，

平面ABCD∩平面ABEF＝AB，AB⊥BE，

∴BE⊥平面ABCD，

∴AB、BC、BE两两垂直．

过点M作MG⊥AB，MH⊥BC，

垂足分别为G、H，连接NG，易证NG⊥AB.

∵CM＝BN＝a，

∴CH＝MH＝BG＝GN＝2a，

2∴以B为原点，以BA、BE、BC所在的直线为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Bxyz，

则M222a，2a，0. a，0，1－a，N2222(1)|MN|＝

2a－2a2＋0－2a2＋1－2a－02

2222＝a2－2a＋1＝

(2)由(1)得，当a＝最短为a－22＋1，

222时，|MN|最短，

22，这时M、N恰好为AC、BF的中点．

2反思与感悟

距离是几何中的基本度量问题，无论是在几何问题中，还是在实际问题中，都会涉及距离的问题，它的命题方向往往有三个：(1)求空间任意两点间的距离；(2)判断几何图形的形状；(3)利用距离公式求最值．

跟踪训练3

在空间直角坐标系中，已知A(3,0,1)，B(1,0，－3)．在y轴上是否存在点M，使△MAB为等边三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．

解

假设在y轴上存在点M(0，y,0)，使△MAB为等边三角形．

设坐标原点为O，A、B都在平面xOz上，而y轴垂直于平面xOz，所以OA⊥OM，OB⊥OM.|MA|＝|OA|2＋|OM|2，|MB|＝|OB|2＋|OM|2，

又因|OA|＝|OB|＝10，所以y轴上的所有点都能使|MA|＝|MB|成立，所以只要再满足|MA|＝|AB|，就可以使△MAB为等边三角形．

因为|MA|＝32＋－y2＋12＝10＋y2，

|AB|＝25. 于是10＋y2＝25，解得y＝±10. 故y轴上存在点M，使△MAB为等边三角形，此时点M的坐标为(0，10，0)或(0，－10，0)．

1．点P(1，2，3)到原点O的距离是(

) A.6

B.5

C．2

D.3 答案

A 解析

d＝1＋22＋32＝6. 2．点P(1,2,2)是空间直角坐标系中的一点，设它关于y轴的对称点为Q，则PQ的长为(

) A．25

B．52

C．32

D．23 答案

A 解析

点P(1,2,2)关于y轴的对称点Q的坐标为(－1,2，－2)，所以|PQ|＝1＋12＋2－22＋2＋22＝4＋16＝25. 3．若A(4，－7,1)，B(6,2，z)，|AB|＝11，则z＝________. 答案

－5或7 解析

∵|AB|＝11，∴(6－4)2＋(2＋7)2＋(z－1)2＝112，化简得(z－1)2＝36，即|z－1|＝6，

∴z＝－5或z＝7. 4．求证：以A(10，－1,6)，B(4,1,9)，C(2,4,3)三点为顶点的三角形是等腰直角三角形．

证明

根据空间两点间距离公式，

得|AB|＝10－42＋－1－12＋6－92＝7，

|BC|＝4－22＋1－42＋9－32＝7，

|AC|＝10－22＋－1－42＋6－32＝98. 因为|AB|2＋|BC|2＝|AC|2，且|AB|＝|BC|，

所以△ABC是等腰直角三角形．

[呈重点、现规律]

1．空间两点间的距离公式是平面上两点间距离公式的推广，它可以求空间直角坐标系下任意两点间的距离，其推导过程体现了化空间为平面的转化思想．

2．若已知两点坐标求距离，则直接代入公式即可；若已知两点间距离求参数或点的坐标时，应利用公式建立相应方程求解．

一、基础过关

1．若A(1,3，－2)、B(－2,3,2)，则A、B两点间的距离为(

) A.61

B．25

C．5

D.57

答案

C 解析

|AB|＝1＋22＋3－32＋－2－22＝5. 2．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，若D(0,0,0)、A(4，0,0)、B(4,2,0)、A1(4,0,3)，则对角线AC1的长为(

) A．9

B.29

C．5

D．26 答案

B 解析

由已知求得C1(0,2,3)，∴|AC1|＝29. 3．已知点A(3,3,1)，B(1,0,5)，C(0,1,0)，则AB的中点M到点C的距离|CM|等于(

) A.53535313

B.

C.

D.

4222答案

B 3解析

AB的中点M(2，，3)，它到点C的距离d＝23532－02＋－12＋3－02＝. 22154．已知△ABC顶点坐标分别为A(－1,2,3)，B(2，－2,3)，C(，，3)，则△ABC的形状为(

) 22A．等腰三角形

C．直角三角形

答案

C 解析

∵|AB|＝5，|BC|＝∴|AB|2＝|BC|2＋|AC|2，

∴△ABC为直角三角形．

5．若点P(x，y，z)到平面xOz与到y轴距离相等，则P点坐标满足的关系式为____________．

答案

x2＋z2－y2＝0 解析

由题意得|y|＝x2＋z2，即x2＋z2－y2＝0. 6．在空间直角坐标系中，已知点A(1,0,2)，B(1，－3,1)，点M在y轴上，且M到A与到B的距离相等，则M的坐标是________．

答案

(0，－1,0) 解析

设M的坐标为(0，y,0)，

由|MA|＝|MB|得(0－1)2＋(y－0)2＋(0－2)2＝(0－1)2＋(y＋3)2＋(0－1)2，整理得6y＋6＝0，

∴y＝－1，即点M的坐标为(0，－1,0)．

7.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为平面A1B1C1D1的中心，求证：AP⊥PB1.(用坐标法) 证明

如右图所示，以D为坐标原点，分别以DA、DC、DD1为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长为1，

31010，|AC|＝，

22B．等边三角形

D．等腰直角三角形

则A(1,0,0)，

D1(0,0,1)，

B1(1,1,1) 11由中点坐标公式可得P(，，1)，

22根据空间两点间的距离公式

可得|AP|＝

|PB1|＝1161－2＋0－2＋0－12＝，

222112－12＋－12＋1－12＝，

222|AB1|＝1－12＋0－12＋0－12＝2，

所以|AP|2＋|PB1|2＝|AB1|2，

∴AP⊥PB1. 二、能力提升

8．已知A(x,5－x,2x－1)，B(1，x＋2,2－x)，当|AB|取最小值时，x的值为(

) 8819A．19

B．－

C.

D.

7714答案

C 解析

|AB|＝x－12＋3－2x2＋3x－32＝14x2－32x＋19，

－328∴当x＝－＝时，|AB|最小．

2×1479．已知正方体不在同一平面上的两个顶点A(－1,2，－1)，B(3，－2,3)，则正方体的体积是(

) A．16

B．1923 C．64

D．486 答案

C 解析

|AB|＝－1－32＋2＋22＋－1－32

＝43. 又因为A(－1,2，－1)，B(3，－2,3)不在同一平面上，所以A，B两点间的距离即为正方体的体对角线长．设正方体的边长为a，则3a＝43，即a＝4，所以正方体的体积为64. 10.如图，在空间直角坐标系中，BC＝2，原点O是BC的中点，点A(3，21，0)，点D在平面yOz上，且∠BDC＝90°，∠DCB＝30°.则三棱锥D2－ABC的体积为________．

1答案

4解析

因为∠BDC＝90°，∠DCB＝30°，|BC|＝2.

所以|BD|＝1，|CD|＝BCcos 30°＝3，

13所以S△BCD＝×|BD|·|CD|＝. 22因为A(313，，0)，即点A到BC的距离为，

2221331所以三棱锥D－ABC的体积为V＝××＝. 322411．如图所示，正方体ABCD－A′B′C′D′的棱长为a，P，Q分别是D′B，B′C的中点，求PQ的长．

解

以D为坐标原点，DA，DC，DD′所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，由题意得，B(a，a,0)，D′(0,0，a)，

aaa所以P(，，)．

222又C(0，a,0)，B′(a，a，a)，

aa所以Q(，a，)．

22所以|PQ|＝

aaaaaa－2＋－a2＋－2＝. 22222212.在长方体ABCD—A1B1C1D1中，|AB|＝|AD|＝3，|AA1|＝2，点M在A1C1上，|MC1|＝2|A1M|，N在D1C上且为D1C的中点，求M、N两点间的距离．

解

如图分别以AB、AD、AA1所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．

由题意可知C(3,3,0)，

D(0,3,0)，∵|DD1|＝|CC1|＝2，

∴C1(3,3,2)，D1(0,3,2)，

∵N为CD1的中点，

3∴N2，3，1. ∵M是A1C1的三等分点且靠近A1点，∴M(1,1,2)．

由两点间距离公式，得

|MN|＝

3－12＋3－12＋1－22＝21. 22三、探究与拓展

13．在xOy平面内的直线x＋y＝1上确定一点M，使它到点N(6,5,1)的距离最小．

解

∵点M在直线x＋y＝1(xOy平面内)上，

∴可设M(x,1－x,0)．

∴|MN|＝x－62＋1－x－52＋0－12

＝2x－12＋51≥51，当且仅当x＝1时取等号，

∴当点M的坐标为(1,0,0)时，|MN|min＝51.