1.1.2 四种命题教学设计及课堂实录

【教学目标】

知识与技能：了解原命题、逆命题、否命题、逆否命题这四种命题的概念，掌握四种命题的形式和四种命题间的相互关系，会用等价命题判断四种命题的真假．

过程与方法：多让学生举命题的例子，并写出四种命题，培养学生发现问题、提出问题、分析问题、有创造性地解决问题的能力；培养学生抽象概括能力和思维能力．

[来源: ]情感、态度与价值观：通过学生的举例，激发学生学习数学的兴趣和积极性，培养他们的辨析能力以及培养他们的分析问题和解决问题的能力．

【教法指导】

重点：（1）会写四种命题并会判断命题的真假；

（2）四种命题之间的相互关系．

难点：（1）命题的否定与否命题的区别；

（2）写出原命题的逆命题、否命题和逆否命题；

（3）分析四种命题之间相互的关系并判断命题的真假．【教学过程】

[来源学科网]

☆情境引入☆

初中已学过命题与逆命题的知识，请同学回顾：什么叫做命题的逆命题？

问题1：下列四个命题中，命题（1）与命题（2）、（3）、（4）的条件与结论之间分别有什么关系？

（1）若f(x)是正弦函数，则f(x)是周期函数．

（2）若f(x)是周期函数，则f(x)是正弦函数．

（3）若f(x)不是

☆探索新知☆

问题一通过学生分析、讨论可以得到正确结论．紧接结合此例给出四个命题的概念，（１）和（２）这样的两个命题叫做互逆命题，（１）和（３）这样的两个命题叫做互否命题，（１）和（４）这样的两个命题叫做互为逆否命题。

定义１：一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么我们把这样的两个命题叫做互逆命题．其中一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的逆命题．

让学生举一些互逆命题的例子。

定义２：一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，那么我们把这样的两个命题叫做互否命题．其中一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的否命题．

让学生举一些互否命题的例子。

定义３：一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，那么我们把这样的两个命题叫做互为逆否命题．其中一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的逆否命题．

让学生举一些互为逆否命题的例子。

小结：

(1)

交换原命题的条件和结论，所得的命题就是它的逆命题：

(2)

同时否定原命题的条件和结论，所得的命题就是它的否命题；

(3)

交换原命题的条件和结论，并且同时否定，所得的命题就是它的逆否命题．

强调：原命题与逆命题、原命题与否命题、原命题与逆否命题是相对的。

四种命题的形式

让学生结合所举例子，思考：

若原命题为“若P，则q”的形式，则它的逆命题、否命题、逆否命题应分别写成什么形式？

学生通过思考、分析、比较，总结如下：

原命题：若P，则q．则：

逆命题：若q，则P．

否命题：若￢P，则￢q．（说明符号“￢”的含义：符号“￢”叫做否定符号．“￢p”表示p的否定；即不是p；非p）

逆否命题：若￢q，则￢P．

题型一

四种命题的概念

例1

写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断它们的真假. (1)若m·n<0，则方程mx2－x＋n＝0有实数根；

解

逆命题：若方程mx2－x＋n＝0有实数根，则m·n<0，假命题.

[来源: ]否命题：若m·n≥0，则方程mx2－x＋n＝0没有实数根，假命题. 逆否命题：若方程mx2－x＋n＝0没有实数根，则m·n≥0，真命题.

(2)弦的垂直平分线经过圆心，且平分弦所对的弧；

(3)若m≤0或n≤0，则m＋n≤0；

解

逆命题：若m＋n≤0，则m≤0或n≤0，真命题. 否命题：若m>0且n>0，则m＋n>0，真命题. 逆否命题：若m＋n>0，则m>0且n>0，假命题. (4)在△ABC中，若a>b，则∠A>∠B. 解

逆命题：在△ABC中，若∠A>∠B，则a>b，真命题. 否命题：在△ABC中，若a≤b，则∠A≤∠B，真命题. 逆否命题：在△ABC中，若∠A≤∠B，则a≤b，真命题. 题型二

四种命题的关系

例2

下列命题：

①“若xy＝1，则x、y互为倒数”的逆命题；

②“四条边相等的四边形是正方形”的否命题；

③“梯形不是平行四边形”的逆否命题；

④“若ac2>bc2，则a>b”的逆命题. 其中是真命题的是________. 解析

①“若xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题是“若x，y互为倒数，则xy＝1”，是真命题；

②“四条边相等的四边形是正方形”的否命题是“四条边不都相等的四边形不是正方形”，是真命题；

③“梯形不是平行四边形”本身是真命题，所以其逆否命题也是真命题；

④“若ac2>bc2，则a>b”的逆命题是“若a>b，则ac2>bc2”，是假命题.所以真命题是①②③. 答案

①②③

题型三

等价命题的应用

例3

判断命题“已知a，x为实数，若关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集是空集，则a<2”的逆否命题的真假.

☆课堂提高☆

1.命题“若a∉A，则b∈B”的否命题是(

) A.若a∉A，则b∉B

B.若a∈A，则b∉B

C.若b∈B，则a∉A

D.若b∉B，则a∉A

解析

命题“若p，则q”的否命题是“若綈p，则綈q”，“∈”与“∉”互为否定形式. 2.命题“若A∩B＝A，则A∪B＝B”的逆否命题是(

) A.若A∪B＝B，则A∩B＝A

B.若A∩B≠A，则A∪B≠B

C.若A∪B≠B，则A∩B≠A

D.若A∪B≠B，则A∩B＝A

解析

注意“A∩B＝A”的否定是“A∩B≠A”.

3.命题“若平面向量a，b共线，则a，b方向相同”的逆否命题是__________________________________________，它是______命题(填“真”或“假”).

若平面向量a，b的方向不相同，则a，b不共线

假

4.给出以下命题：

①“若a，b都是偶数，则a＋b是偶数”的否命题；

②“正多边形都相似”的逆命题；

③“若m>0，则x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题. 其中为真命题的是_____. 解析

①否命题是“若a，b不都是偶数，则a＋b不是偶数”.假命题. ②逆命题是“若两个多边形相似，则这两个多边形为正多边形”.假命题. ③∵Δ＝1＋4m，m>0时，Δ>0，∴x2＋x－m＝0有实根，即原命题为真. ∴逆否命题为真. [来源: ]5.“若sin α＝，则α＝”的逆否命题是“__________________”，逆否命题是____命题(填“真”或“假”).

π1解析

逆否命题是“若α≠，则sin α≠”是假命题. 62

☆课堂小结☆

1.写四种命题时，可以按下列步骤进行：

(1)找出命题的条件p和结论q；

(2)写出条件p的否定綈p和结论q的否定綈q；

(3)按照四种命题的结构写出所求命题.[来源:Z&xx&k.Com]

2.每一个命题都由条件和结论组成，要分清条件和结论.

3.判断命题的真假可以根据互为逆否的命题真假性相同来判断，这也是反证法的理论基础. ☆课后作业☆

1.必做题：P9：习题1．１Ａ组第２、３、４题

2.选做题：B组第２、３