2.1.3 空间中直线与平面之间的位置关系教案2

1.2.2 空间中的平行关系(2)——直线与平面平行的判定

自主学习

学习目标

1．理解直线与平面平行的判定定理的含义．

2．会用图形语言、文字语言、符号语言准确描述直线与平面平行的判定定理，并知道其地位和作用．

3．能运用直线与平面平行的判定定理证明一些空间线面关系的简单问题．

自学导引

1．如果一条直线和一个平面______________，那么，我们说这条直线和这个平面平行．

2．直线与平面平行的判定定理

如果不在一个平面内的一条直线和________________________平行，那么这条直线和这个平面平行．即________平行，则线面平行．

用符号表示：______________________________. 3．过平面外一点有________条直线与这个平面平行．

对点讲练

知识点一

直线与平面的位置关系

例1

下面命题中正确的个数是(

) ①如果a、b是两条直线，a∥b，那么a平行于经过b的任何一个平面；

②如果直线a满足a∥α，那么a与平面α内的任何一条直线平行；

③如果直线a、b满足a∥α，b∥α，则a∥b；

④如果直线a、b和平面α满足a∥b，a∥α，，那么b∥α；

⑤如果a与平面α上的无数条直线平行，那么直线a必平行于平面α.

A．0

B．2

C．1

D．3 点评

解决此类问题首先要搞清直线与平面各种位置关系的特征，利用其定义作出判断，要有画图意识，并借助于空间想象能力进行细致的分析．

正方体(或长方体)既是立体几何中的一个重要的模型，又是最基本的模型，而且立体几何的直线与平面的位置关系都可以在这个模型中得到反映．因而人们给它以“百宝箱”之称．本例中的命题就是利用这个“百宝箱”来判定它们的真假的．

变式训练1

已知下列命题：

①若直线a在平面α外，则a∥α；

②若直线a∥b，直线，则a∥α；

③若直线a∥b，，那么直线a平行于平面α内的无数条直线．

其中真命题的个数为(

) A．1

B．2

C．3

D．0

知识点二

线面平行的判定定理的简单应用

例2

P是平行四边形ABCD所在平面外一点，Q是PA的中点，求证：PC∥平面BDQ.

1

点评

利用中点构造三角形的中位线，再利用三角形中位线定理实现线线平行，进而证得线面平行．

变式训练2

在三棱柱ABC—A1B1C1中，D为BC边的中点，连接AD、DC1、A1B、AC1.求证：A1B∥平面ADC1.

知识点三

线面平行判定定理的综合应用

例3

2

如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是棱BC、C1D1的中点，求证：EF∥平面BDD1B1.

变式训练3

如图所示，P是所在平面外一点，E，F分别在PA，BD上，且PE∶EA＝BF∶FD. 求证：EF∥平面PBC.

3

1．空间中直线与平面的位置关系有且只有三种：直线在平面内(有无数个公共点)、直线与平面相交(有惟一公共点)、直线与平面平行(无公共点)．其中直线与平面相交、直线与平面平行统称为“直线在平面外”．

—直线与平面平行的定义2．线面平行的判定方法—

—直线与平面平行的判定定理

课时作业

一、选择题

1．若三条直线，a，b，c满足a∥b∥c，且，，，则两个平面α、β的位置关系是(

) A．平行

B．相交

C．平行或相交

D．不能确定

2．点E、F、G、H分别是空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点，则三棱锥A—BCD中的六条棱中与平面EFGH平行的条数是(

) A．0

B．1

C．2

D．3 3．若直线m不平行于平面α，且，则下列结论中正确的是(

) A．α内的所有直线与m异面

B．α内不存在与m平行的直线

C．α内存在唯一的直线与m平行

D．α内的直线与m相交

4．A、B是不在直线l上的两点，则过点A、B且与直线l平行的平面有(

) A．0个

B．1个

C．无数个

D．以上三种情况均有可能

5．过平行六面体ABCD—A1B1C1D1任意两条棱的中点作直线，其中与平面DBB1D1平行的直线共有(

) A．4条

B．6条

C．8条

D．12条

题

号

答

案

1

2

3

4

5

二、填空题

6．经过直线外一点有________个平面与已知直线平行；经过直线外一点有________条直线与已知直线平行．

7．P为矩形ABCD所在平面外一点，矩形对角线交点为O，M为PB的中点，给出四个结论：

①OM∥面PCD;

②OM∥面PBC；

③OM∥面PDA;

④OM∥面PBA. 其中正确的是________(填写序号)．

8．若直线a∩直线b＝A，a∥平面α，则b与α的位置关系是__________．

三、解答题

9.

4

如图所示，已知E、F、G、M分别是四面体的棱AD、CD、BD、BC的中点，求证：AM∥平面EFG.

10.

如图所示，设P，Q分别是正方体ABCD—A1B1C1D1的面AA1D1D和面A1B1C1D1的中心．

求证：PQ∥平面AA1B1B.

【答案解析】

自学导引

1．没有公共点

2．平面内的一条直线

线线

，且a∥∥α

3．无数

对点讲练

例1

C

5

如图所示，在长方体ABCD—A′B′C′D′中，AA′∥BB′，AA′却在过BB′的平面AB′内，故命题①不正确；AA′∥平面B′C，平面B′C，但AA′不平行于BC，故命题②不正确；AA′∥平面B′C，A′D′∥平面B′C，但AA′与A′D′相交，所以③不正确；④中，假设α与b相交，∵a∥b，

∴a与α相交，这与a∥α矛盾，故b∥α，即④正确；AA′显然与平面A′B中和B′B平行的无数条直线平行，但AA′平面A′B，故⑤不正确．] 变式训练1

A

[①错．因为直线a在平面α外有两种情形：a∥α和a与α相交．

②错．因为a可能在平面α内．

③正确．无论a在平面α内或a∥α，在α内都有无数条直线与a平行．] 例2

证明

如图所示，连接AC交BD于点O. ∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AO＝OC，连接OQ，则OQ在平面BDQ内，且OQ是△APC的中位线，

∴PC∥OQ.又∵PC在平面BDQ外，

∴PC∥平面BDQ. 变式训练2

证明

连接A1C交AC1于O，连接OD.

在△A1BC中，

因为D为BC中点，

O为平行四边形对角线A1C的中点，

所以OD∥A1B. 又A1平面ADC1，

平面ADC1，

∴A1B∥平面ADC1. 例3

证明

取D1B1的中点O，

连接OF，OB.

∵OF12BC111，BE2B1C1，

∴OFBE. ∴四边形OFEB是平行四边形，

∴EF∥BO.

6

又∵平面BDD1B1，

平面BDD1B1，

∴EF∥平面BDD1B1. 变式训练3

证明

连接AF延长交BC于G，

连接PG.

在中，

易证△BFG∽△DFA. ∴GFBFFA＝FD＝PEEA，

∴EF∥PG. 而平面PBC，

平面PBC，

∴EF∥平面PBC. 课时作业

1．C 2．C

[由线面平行的判定定理知：

BD∥平面EFGH，AC∥平面EFGH.] 3．B

4.D

5.C 6．无数

1

7.①③

8.平行或相交

9．证明

如图所示，连接MD交FG于N，连接EN. ∵GF为△BCD的中位线，

∴N为MD的中点，

∵E为AD中点，

∴EN为△AMD的中位线，

∴EN∥AM. 又∵平面EFG，

平面EFG，∴AM∥平面EFG. 10．证明

方法一

取AA1，A1B1的中点M，N，连接MN，NQ，MP，AD1，A1C1，∵MP∥A11D1，MP＝2A1D1，

NQ∥B11C1，NQ＝2B1C1，

7

∴MP∥NQ且MP＝NQ，

∴四边形PQNM为平行四边形，

∴PQ∥MN. 又∵平面AA1B1B，

平面AA1B1B，

∴PQ∥平面AA1B1B. 方法二

连接AD1，AB1，B1D1，

在△AB1D1中，显然P，Q分别是AD1，D1B1的中点，

∴PQ∥ABPQ＝11，且2AB1. 又∵平面AA1B1B，AB1平面AA1B1B，

∴PQ∥平面AA1B1B.

8