3.1直线的倾斜角与斜率（通用）ppt配套教案和课堂实录

课题

教学内容

第三章

《直线与方程》的3.1.1节倾斜角与斜率

3.1.1倾斜角与斜率

第一课时

——岑溪市岑溪中学数学组苏炜

教材分析

本课是人教版数学必修2第三章《直线与方程》第一节直线的倾斜角与斜率的第一课时，是高中解析几何内容的开始。直线倾斜角和斜率是解析几何的重要概念之一，是刻画直线倾斜程度的几何要素与代数表示，是平面直角坐标系内以坐标法（解析法）的方式来研究直线及其几何性质（如直线位置关系、交点坐标、点到直线距离等）的基础。通过该内容的学习，帮助学生初步了解直角坐标平面内几何要素代数化的过程，初步渗透解析几何的基本思想和基本研究方法。本课有着开启全章，奠定基调，渗透方法的作用。直线倾斜角是描述直线倾斜程度的几何要素，课本结合具体图形，在探索确定直线位置的几何要素中给出直线倾斜角概念。直线的斜率是后继内容展开的主线，无论是建立直线的方程，还是研究两条直线的位置关系，以及讨论直线与圆锥曲线的位置关系，直线的斜率都发挥着重要作用。因此，正确理解斜率概念，熟练掌握斜率公式是学好这一章的关键。“坐标法”思想与数形结合思想是本课内容蕴含的核心思想。由于代数方法的主要特点是“算”，当几何问题代数化之后，可以用计算机处理代数问题，通过代数问题的处理研究几何图形的性质，从而实现机器证明。我国数学家吴文俊在这方面有突出的贡献。

学情分析

授课班级中，大部分学生有一定的学习能力，数学基础一般，部分学生喜欢学数学。虽然学生能用数学语言表达自己的观点，但是这种表述大多时候仅仅停留在感性层面，不严谨，不完整，学生还没有独立抽象、概括出一个新概念的能力。在此之前，学生已经接触过直线：平面内，两点确定一条直线；一次函数的图象是不与x轴，y轴平行或重合的直线。同时他们也接触过坡度的概念。这些就为倾斜角和斜率概念的得出打下了基础。

1

教学目标

知识与技能目标:

（1）在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几何要素。

（2）初步理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程，逐渐掌握经过两点的直线的斜率公式。

（3）掌握直线的倾斜角和斜率的相互关系。

过程与方法目标

（1）通过类比、合作等学习活动，了解倾斜角和斜率可以表示直线的倾斜程度，而用两点坐标表示斜率的公式更体现了把几何问题转化成代数问题的数学思想，即用代数的运算来研究几何图形的性质。

（2）初步培养学生数形结合的思想，理解“坐标法”贯穿平面解析几何教学的始终。

情感、态度与价值观目标

（1）让学生积极参与观察、分析、探索等课堂教学的双边活动，在掌握知识的过程中体会成功的喜悦，以此激发求知欲。 （2）经历操作与合作学习，感受合作学习数学的意义与价值。

教学重点和难点

重点：初步理解直线的斜率概念，探索如何得出经过两点求直线的斜率公式。

难点：在平面直角坐标系中，四种位置的直线的斜率和倾斜角的相互关系，以及如何利用图形探索经过两点的直线斜率的计算公式的推导方法。

教学过程

教学环

节

新

课

导

入

教师活动

在初中，不与坐标轴平行的直线可以用一次函数来表示，这样就把对图形的研究转化为对函数的研究，这里沟通数形关系的桥梁是坐标系。这种以坐标系为桥梁，把几何问题转化为代数问题，通过代数运算研究几何图形性质的方法，叫坐标法。

问题1：在平面直角坐标系中，点用坐标表示，直线如何表示呢？

2 预设学生行为

让学生先回忆再讨论得出结论。由老师得出“坐标法”的好处。

设计意图

通过对已有知识及思想方法的回忆，寻找新的知识“生长点”，引导学生用“坐标法”的思想来思考新的问题。同时使学生明确本课学习的内容。

探

究

新

知

问题1：如图1，对于平面直角坐标系内的一直线l，你认为它的位置由哪些条件确定？

问题2：如图2，在直角坐标系中，过点P1的不同直线的区别在哪里？

概

念

形

成

问题：在直角坐标系中，任何一条直线与x轴都有一个相对倾斜度，可以用一个什么几何量来反映一条直线与x轴的相对倾斜程度呢？

依倾斜角的定义，倾斜角的范围是什么？

组

织

探

究

问题1：我们已经给出了确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素，那么如何用代数的语言描述上述几何要素呢？

在日常生活中，还有没有表示倾斜程度的量？

问题2：观察图中楼梯，我们发现坡越陡，坡面与地平面所成的角越大，你认为这个角的变化与图中哪个数量变化有关？坡面与地平面所成的角不变的情况下，升高量和前进量都在变化，那么你认为这个角的变化与升高量和前进量之间究竟是怎样的关系？能不能用一个数学式子来表示它们之间的关系？

3 指定学生回答，教师给与补充、纠正。

引导学生发现：两点确定一条直线，过一点不能确定一条直线。

让学生观察图形，相互讨论，但是在倾斜角定义得出时会有困难。这时需要老师给学生鼓励和引导。

引导学生在生活中的实例，如山坡，楼梯等，进行探索、交流，并用数学语言表达自己的发现。

明确思维方向,探索确定直线位置的几何要素。

引导学生发现过定点的不同直线，其倾斜程度不同。从而发现直线上一点和直线的倾斜程度也能确定一条直线。

探索描述直线的倾斜程度的几何要素，由此引出倾斜角的概念。

让学生明确倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°

在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几何要素——直线上的一个定点以及它的倾斜角，二者缺一不可。

基于学生的客观现实，结合已有的生活经验寻找几何要素代数化的方法。

组

织

探

究

问题3：从上面的讨论，我们发现，如果使用“倾斜角”的概念，“坡度”实际就是“倾斜角α的正切值”，由此你认为还可以用怎样的量来刻画直线的倾斜程度？

问题4：任何一条直线都有倾斜角吗？不同的直线其倾斜角一定不相同吗？

①平面直角坐标系中每一条直线都有确定的倾斜角；

②倾斜程度不同的直线有不同的倾斜角；

③倾斜程度相同的直线其倾斜角相同。

是否每条直线都有斜率？倾斜角不同，斜率是否相同？（倾斜角与斜率一一对应吗？）

注意：倾斜角α不是90°的直线都有斜率，倾斜角不同，直线的斜率也不同。因此，可以用斜率刻画直线的倾斜程度。

问题5：

两点确定一条直线，直线确定，倾斜角也就确定，斜率也就确定了，那么直线的斜率可以用直线上两点P1(x1,y1), P2(x2, y2)（其中x1≠x2）的坐标来表示，你能自己导出它们的关系吗？

（1）

学生自己完成然后教师组织同桌间互相交流，共同得出结论。

yy

2

222

Q(x2,y1)

y1P

1(x1,y1)

xx12

y（2）

P2(x2,y2)y2

P1(x1,y1)

y1Q(x2,y1)



x1x2

P(x,y)oxox

第（1）种情况要求学生合作探究，并说出理由，然后由老师点拨并进行详细推导。

第（2）种情况主要能直接运当是锐角时，

用三角函数的tan(1800)tan

诱导公

式。

探索描述直线的倾斜程度的代数表示，由此引出斜率概念。

在平面直角坐标系中，四种位置的直线的斜率和倾斜角的相互关系，以及如何利用图形探索经过两点的直线斜率的计算公式的推导方法，这是本节课的难点。

作平行线的方法平移倾斜角，运用坡度的概念推导斜率公式的代数表示，并让学生明白倾斜角中锐角和钝角互为补角时的关系：

4

组

织

探

究

练

习

巩

固

课

堂

小

结

第（3）、（3）

（4）种yP1(x1,y1)

情况通

过类比

第（1）、P2(x2,y2)

（2）种

情况得ox

出斜率

公式与（4）

P1，P2两y

点的顺

P序无关。

1(x1,y1)

指定学P2(x2,y2)

生回答，

ox总结两

点式斜

率计算思考6: 当直线平行于x轴，或与x轴重公式，并合时，还适用吗？为什么？

注意公

式适用的范围。

【例1】已知A(3，2),B(-4，1),C（0，

通过学

生画图，-1）,求直线AB，BC，CA的斜率，并判断

体验数

形结合这些直线的倾斜角是锐角还是钝角？

的思想方法。

练习：教材第86页练习题1、2

通过学生自己的思考，推导出两点式斜率公式ky2y1x2x1（x1≠x2），并了解到公式与P1，P2两点的顺序无关。

通过学生自己的思考，得出两点式斜率公式适用的范围。

问题由学生解决，解题后的反思总结由学生自主完成，教师作出补充和总结。培养学生自主获取知识的能力。

直线的斜率是后继内容展开的主线，无论是建立直线的方程，还是研究两条直线的位置关系，以及讨论直线与圆锥曲线的位置关系，直线的斜率都发挥着重要作用。因此，正确理解斜率概念，熟练掌握斜率公式是学好这一章的关键。

让学生归纳有（1）在本节课中，你学到了哪些新的概关的概念？他们之间有什么关系？

念和公（2）怎样求出已知两点的直线的斜率？

式以及所用到（3）从倾斜角（形）能刻画直线的倾斜的数学度，

思想。强到斜率(数)也能刻画直线的倾斜程度，这

调“坐标法”是解个过程中主要体现了什么数学思想？

决解析几何问题的基本方法。

提问：

5

作

业

在x轴上有一点P与Q（2，为150o,求点P坐标。

）倾斜角学生独立完成

通过训练，巩固本课所学知识，检测运用所学知识解决问题的能力。

板书设计

课题：

3.1.1节倾斜角与斜率

一、直线的倾斜角的概念

四、例题

二、确定直线位置的几何要素

三、

直线的斜率的概念

教学反思

本节课我大胆尝试采用教师引导，学生为主体积极参与的方式展开教学，以系列层层递进的问题为纽带引导学生，让学生带着问题学习，有目的、有方向地进行思考、探索、交流，让学生亲身经历概念的产生、发展、形成的过程，从而理解本节课的新概念。通过本节课的学习，学生能很好地理解直线的倾斜角和斜率的概念，能较好地理解倾斜角和斜率是分别从几何与代数两个不同的角度来刻画直线的倾斜程度，从而理解解析几何中将几何问题转化代数问题进行研究的数学思想。通过这节课的学习，为以后圆锥曲线的学习打下良好的基础，用代数法去研究几何问题是高中数学的重要方法，为大学的数学课程的研究提供良好的数学思想和数学方法，为同学们发展数学的思维能力打下坚实的基础。

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