习题3.2第一课时教学设计

利用空间向量解决立体几何中与夹角有关的探索性问题

抚宁一中李婵娟

【考纲解读】

1.理解直线的方向向量与平面的法向量. 2.能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题. 3.了解向量方法在立体几何中的应用. 【教学目标】

1.知识与技能：用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面夹角计算问题. 2.过程与方法：学生通过对几何图形的认识，建立恰当的空间直角坐标系，利用向量坐标将几何问题代数化，以运算为手段实现问题解决. 3.情感态度与价值观：通过空间向量在立体几何中的应用，让学生感受数学，体会数学之美，从而激发学数学，用数学之热情. 【教学重点】空间角的类型及各自的范围，掌握求空间角的向量方法. 【教学难点】直线方向向量的找法及含参数的平面法向量的计算.

【教学方法】自主学习、讲练结合

【教学过程】

一、温故知新

问题1.求两条异面直线夹角的向量方法是怎样的？

若两条异面直线a和b的方向向量分别为a,b,两条直线l和m所成的角为,

则

且cos

问题2.求直线与平面所成角的向量方法是怎样的？

若直线a的方向向量为v，平面的法向量为n,直线a与平面所成的角为,则

且sin

问题3.求二面角向量方法是怎样的？

设n1,n2,分别为二面角的两个半平面的法向量，其二面角为,则

，

其中=

或=

，并且cos

.

问题4.空间直角坐标系的建系法则是怎样的？

问题5.建立空间直角坐标系的常见方法有哪些？

爱心、用心、专心

二、实战演练

探究性问题常常是在条件不完备的情况下探讨某些结论是否成立，采用的方法一般是执果索因的方法，假设求解的结果存在，寻找使这个结论成立的充分条件，运用向量的方法转化为代数的问题解决。如果找到了符合结果要求的条件，则存在；如果找不到或出现了矛盾，则不存在。

例1.已知四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD∥BC,AD⊥CD,且AB⊥AC,AB=AC=PA=2，棱BC上是否存在一点E，使异面直线AE与PC所成角为60°？

P B A D C

例2.如图，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,侧棱AA1⊥底面ABCD,AB∥DC,AB⊥AD,AD=CD=1，AA1=AB=2，E为棱AA1的中点.问线段C1E上是否存在一点M,使直线AM与平面ADD1A1所成的角的正弦值是2？若存在，求线段6AM的长;若不存在,请说明理由. B B1 C A D E C1 A1 D1

爱心、用心、专心

例3.在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1=AB=AC=2,E、F分别是CC1、BC的中点,AE⊥A1B1，棱A1B1上是否存在点D,使得平面DEF与平面ABC所成锐二面角的余弦值为14?若存在,说明点D的位置；若不存在，请说明理由. 14A1 D B1 C1 E A B F C

方法锦囊：与“两异面直线所成的角、直线与平面所成的角和二面角”有关的探索性问题，常利用空间向量法解决，可以避开抽象、复杂的寻找角的过程，只要能够准确理解和熟练应用夹角公式，就可以把“是否存在”问题转化为“点的坐标是否有规定范围内的解”等问题. 三、高考再现

1．【2015天津】如图，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，侧棱A1A⊥底面ABCD,AB⊥AC,AB=1，AC=AA1=2，AD=CD=5,且点N为D1D的中点.设E为棱A1B1上的点，若直线NE和平面ABCD所成角的正弦值为D1 C1 N D A C B A1 E

1，求线段A1E的长. 3B1

爱心、用心、专心

2.【2014湖北】如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F、M、N分别是棱AB,AD,A1B1,A1D1的中点，点P,Q分别在棱DD1，BB1上移动，且DP=BQ=t (0

D1

N M A1

P D Q B C C1

B1

A

F E

3．【2013福建】在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,侧棱AA1⊥底面ABCD，AB∥DC,AA1=1，AB=3k,AD=4k,BC=5k,DC=6k,(k>0)

6(1)求证：CD⊥平面ADD1A1 (2)若直线AA1与平面AB1C所成角的正弦值为，求k的值.

7D1

A1

B1

C1

A

D B C

四、课堂小结：

爱心、用心、专心