1.3 空间几何体的表面积与体积（通用）课堂实录｜教案在线预览

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多面体的内切球问题（高考专题复习）广州市增城区新塘中学姚灼光现行高考对球体的考查往往是以空间几何体的外接球或内切球为背景要求考生计算球的体积或表面积，而关于内切球的考查又往往以多面体的内切球为主，这节课，我们一起探讨一下多面体的内切球问题. 事实上，空间多面体的内切球问题可以从平面三角形的内切圆

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所属课文：1.3 空间几何体的表面积与体积（通用）

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学校：增城区新塘中学

1.3 空间几何体的表面积与体积（通用）课堂实录

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多面体的内切球问题（高考专题复习）

广州市增城区新塘中学姚灼光

现行高考对球体的考查往往是以空间几何体的外接球或内切球为背景要求考生计算球的体积或表面积，而关于内切球的考查又往往以多面体的内切球为主，这节课，我们一起探讨一下多面体的内切球问题. 事实上，空间多面体的内切球问题可以从平面三角形的内切圆问题谈起。请思考以下问题. 【问题】设RtABC的边长分别为3,4,5，则其内切圆的半径为r 内 答案：1 【变式】设ABC的周长为C，面积为S，则其内切圆的半径r 内 答案：r内2S

C分析：我们可以从问题到变式，逐步引导学生找到解决问题的通法：设ABC的内心为O，连接OA,OB,OC,把ABC分割成3个小三角形OAB,OBC,OCA,易知O到各边距离均为r内，

由等面积原理得

SABCSOABSOBCSOCA

即S111ABr内+BCr内CAr内

2221(AB+BCCA)r内

21Cr内

2整理，得

r内2S

C说明：解决了变式，我们就可以解决一般三角形的内切圆问题了. 【拓展】三角形的内切圆与三棱锥的内切球有一定的相似点，我们能否从中得到一些启发，从而得到一些类似的结论呢？（同学们可以继续思考和探索）

事实上，不只是三棱锥，对于其他的空间多面体，其内切球的半径都有一条

现成的公式，即如下结论. 常用结论：多面体内切球的半径r内推导或证明如下：

S表设一个多面体有n(n4)个面，且有内切球，不妨记内切球的球心为O，半径为r内，每个面的面积分别为S1,S2,S3,,Sn，易知球心O到这n个面的距离均为r内，故若连接球心O与每个面的顶点把该多面体分割成个n小棱锥，则这n个小棱锥的体积和就是多面体的体积，

1111即VS1r内+S2r内+S3r内++Snr内

33331(S1+S2+S3++Sn)r内

31S表r内

3从而r内3V

，证毕. S表思路：运用体积分割及等体积来推算半径！

【例题】设正四面体棱长为2，则其内切球的表面积为

解：如图，设正四面体的顶点P在底面的射影为M，其内切球球心为O，半径为r内，由正四面体棱长为2，易知BD3223, 23，BM3233从而PMPB2BM222(3223，

423226, )33又SABC126223，又S表=（22）V34=43，

3334226223V3=6，从而S=4（）=. =r内球63S表6433

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