3.2.2 直线的两点式方程教学设计(教案)

直线的两点式方程

一、教学目标

1.掌握直线方程的两点式的形式特点及适用条件．

2.了解直线方程截距式的形式特点及适用条件．

3.培养学生用联系的观点看问题．

二、教学重点难点分析

教学重点：直线方程的两点式

教学难点：两点式的适用条件及形式特征．

三、教学方法分析

启发引导与多媒体结合教学

四、教学过程设计

（一）问题引入：

1．利用点斜式解答如下问题：

(1)已知直线l经过两点P1(1,2)，P2(3,5)，求直线l的方程；

(2)已知两点P1(x1，

y1)，P2(x2，y2)，其中x1≠x2，y1≠y2，求通过这两点的直线方程．

xy2．过点(3,0)和(0,6)的直线能用＋＝1表示吗？

36（二）知识讲解

1. 直线方程的两点式和截距式

名称

已知条件

P1(x1，y1)，两点式

P2(x2，y2)，其中x1≠x2，y1≠y2

在x，y轴上的截距式

截距分别为a，b且a≠0，b≠0

2. 线段的中点坐标公式

若点P1，P2的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)，设P(x，y)是线段P1P2的中点，则可以得

xy＋＝1

ab

斜率存在且不为0，不过原点

y－y1x－x1斜率存在且不＝

y2－y1x2－x1为0 示意图

方程

使用范围

x，x＝x＋2到线段的中点坐标公式：

y＋yy＝.1212

2（三）知识巩固

1.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)斜率不存在的直线有两点式方程．(

) (2)与x轴平行的直线没有两点式方程．(

) (3)过原点的直线没有截距式方程．(

) (4)过点(x1，y1)，(x2，y2)(x1≠x2，y1≠y2)的直线方程是y－y1y2－y1x－x1＝x2－x1．(

2.经过两点(5，0)，(2，－5)的直线方程为(

) A．5x＋3y－25＝0

B．5x－3y－25＝0 C．3x－5y－25＝0

D．5x－3y＋25＝0 解析：选B．过两点(5，0)，(2，－5)的直线方程为y－0x－5－5－0＝2－5，

即5x－3y－25＝0．

3.在x，y轴上的截距分别是－3，4的直线方程是(

) A．x＋y＝1

B．x3＋y－34－4＝1 C．x－3－y4＝1

D．xy4＋－3＝1 答案：A 4.直线xa＋yb＝1过第一、三、四象限，则(

) A．a>0，b>0

B．a>0，b<0 C．a<0，b>0

D．a<0，b<0 答案：B 5.已知M(－1，2)，N(3，－4)，线段MN的中点坐标是________．

答案：(1，－1)

（四）例题讲解

例1：直线的两点式方程

已知A(－3，2)，B(5，－4)，C(0，－2)，在△ABC中，

)

(1)求BC边所在直线的方程；

(2)求BC边上的中线所在直线的方程．

解：(1)因为BC边过两点B(5，－4)，C(0，－2)，

所以由两点式得y－(－4)x－5＝，即2x＋5y＋10＝0．

－2－(－4)0－5故BC边所在直线的方程为2x＋5y＋10＝0．

5＋05(－4)＋(－2)设BC的中点为D(x0，y0)，则x0＝＝，y0＝＝－3．

2225，－3，又BC边上的中线经过点A(－3，2)．

所以D2y－2x－(－3)所以由两点式得＝，即10x＋11y＋8＝0．

－3－25－(－3)2故BC边上的中线所在直线的方程为10x＋11y＋8＝0．

练习1．已知直线l经过两点A(1，0)，B(m，1)，求直线l的方程．

y－0x－1解：当m≠1时，直线l的方程是＝，

1－0m－1即x－(m－1)y－1＝0；

当m＝1时，直线l的方程为x＝1．

例2：直线的截距式方程

已知直线l经过点(3，－2)，且在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程．

2 解：法一：(1)当直线l在坐标轴上的截距均为0时，方程为y＝x，即2x－5y＝0；

5xy(2)当直线l在坐标轴上的截距不为0时，可设方程为＋＝1，即x－y＝a，

a－a又因为l过点A(5，2)，所以5－2＝a，a＝3，

所以l的方程为x－y－3＝0，

综上所述，直线l的方程是2x－5y＝0，或x－y－3＝0．

法二：由题意知直线的斜率一定存在．

设直线的点斜式方程为y－2＝k(x－5)，

225－，解得k＝或1．

x＝根据题意得2－5k＝－k522当k＝时，直线l的方程为y－2＝(x－5)，即2x－5y＝0；

55当k＝1时，直线l的方程为y－2＝1×(x－5)，即x－y－3＝0．

若将本例中的条件“在坐标轴上的截距互为相反数”变为：“在x轴上的截距是y轴

上截距的2倍”，其他条件不变，如何求解？

2解：(1)当直线l在两坐标轴上的截距均为0时，方程为y＝x，

5即2x－5y＝0适合题意．

xy(2)当直线l在两坐标轴上的截距均不为0时，可设方程为＋＝1，

2aa529又l过点(5，2)，所以＋＝1，解得a＝．

2aa2所以l的方程为x＋2y－9＝0．

xy练习2：(1)直线l1：y＝kx＋b(kb≠0)；直线l2：＋＝1在同一坐标系中的图象可能是kb(

)

(2)过点(1，2)且斜率为－3的直线的截距式方程为__________．

解：(1)因为kb≠0，由四个选项中的l1可知k>0，可排除A、C；当b<0时，可排除B；当b>0时，选项D符合题意．

xy(2)由点斜式得y－2＝－3(x－1)，即3x＋y－5＝0，即＋＝1．

553xy答案：(1)D

(2)＋＝1 553例3：直线方程的应用

4直线过点P3，2且与x轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点，O为坐标原点，是否存在这样的直线分别满足下列条件：

(1)△AOB的周长为12；

(2)△AOB的面积为6．若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．

xy解：(1)存在．设直线方程为＋＝1(a>0，b>0)，

ab4由题意可知，a＋b＋a2＋b2＝12．①

又因为直线过点P3，2，

42所以＋＝1，②

由①②可得5a2－32a＋48＝0，

3ab

12a＝，5a＝4，解得或

9b＝3b＝.2xy5x2y所以所求直线的方程为＋＝1或＋＝1，

43129即3x＋4y－12＝0或15x＋8y－36＝0．

xy(2)存在．设直线方程为＋＝1(a>0，b>0)，

abab＝12，a＝4，a＝2，由题意可知42解得或

b＝3b＝6.＋＝1，3abxyxy所以所求直线的方程为＋＝1或＋＝1，

4326即3x＋4y－12＝0或3x＋y－6＝0．

练习3：已知直线l的斜率为6，且被两坐标轴所截得的线段长为37，求直线l的方程．

xy解：设所求直线为＋＝1，则与x轴、y轴的交点分别为(a，0)，(0，b)，ab由勾股定理知a2＋b2＝37．

a2＋b2＝37，b又k＝－＝6，所以b

a－＝6.aa＝1，a＝－1，解得或

b＝－6b＝6.因此所求直线l的方程是x＋

五、检测题

yy＝1或－x＋＝1．

6－61．过点A(3，0)和B(2，1)的直线方程为(

) A．x＋y－3＝0

B．x－y－3＝0 C．x＋y＋3＝0

D．x－y＋3＝0 答案：A xy2.直线－＝1(ab≠0)在y轴上的截距是(

) a2b2A．a2

B．－b2

C．|a|

D．b2

答案：B 3．过点P(4，－3)且在坐标轴上截距相等的直线有(

) A．1条

B．2条

C．3条

D．4条

答案：B 4．下列四个结论：

y－2①方程k＝与方程y－2＝k(x＋1)可表示同一直线；

x＋1②直线l过点P(x1，y1)，倾斜角为90°，则其方程是x＝x1；

③直线l过点P(x1，y1)，斜率为0，则其方程是y＝y1；

④所有的直线都有点斜式和截距式方程．

正确的为________．(填序号) 答案：②③

5．直线l过点P(－2，3)，且与x轴、y轴分别交于A、B两点，若点P恰为AB的中点，则直线l的方程为____________．

解析：设A(x，0)，B(0，y)．

x＋00＋y因为点P恰为AB的中点，则＝－2，＝3，所以x＝－4，y＝6，即A、22xyB两点的坐标分别为(－4，0)，(0，6)．由截距式得直线l的方程为＋＝1，

－46即3x－2y＋12＝0．

答案：3x－2y＋12＝0

六、课堂小结

1．当直线没有斜率(x1＝x2)或斜率为0(y1＝y2)时，不能用两点式y－y1＝y2－y1x－x1求它的方程，此时直线的方程分别是x＝x1和y＝y1，而它们都适合

x2－x1(x2－x1)(y－y1)＝(y2－y1)(x－x1)，即两点式的整式形式，因此过任意两点的直线的方程都可以写成

(x2－x1)(y－y1)＝(y2－y1)(x－x1)的形式．

直线的截距式是两点式的一个特殊情形，用它来画直线以及判断直线经过的象限或求直线与坐标轴围成的三角形的面积比较方便．注意直线过原点或与坐标轴平行时，没有截距式方程，但直线过原点时两截距存在且同时等于零．

求直线的两点式方程的策略及注意点

(1)当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时，首先要判断是否满足两点式方程的适用条件：两点的连线不垂直于坐标轴，若满足，则考虑用两点式求方程．

(2)由于减法的顺序性，一般用两点式求直线方程时常会将字母或数字的顺序错位而导致错误．在记忆和使用两点式方程时，必须注意坐标的对应关系．

六、课后反思

1.当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时，首先要判断是否满足两点式方程的使用条件。两点的连线不垂直于坐标轴，若满足，则可以用两点式方程。这个一点要强调好，让学生在做题时减少出错。

2.由于减法的顺序性，一般用两点式求直线方程时常会讲子母河数字的顺序错位而导致错误，在记忆和使用两点式方程时，必须要注意坐标的对应关系。