3.1直线的倾斜角与斜率（通用）教学设计及教案分析

3.1.1直线的倾斜角与斜率教案

一、教学目标

（1）知识与技能：正确理解直线倾斜角和斜率的概念。理解直线倾斜角的唯一性。理解直线斜率的存在性。斜率公式的推导过程，掌握过两点的直线的斜率公式。

（2）过程与方法：经历用代数方法刻画直线斜率的过程，初步掌握过已知两点的直线的斜率计算公式，渗透几何问题代数化的解析几何研究思想和数形结合思想。

（3）情感态度与价值观：通过教学，使学生从生活中的坡度，自然迁移到数学中直线的斜率，感受数学概念来源于实际生活，数学概念的形成是自然的，从而渗透辩证唯物主义思想。

二、教学重点与难点

重点：直线倾斜角和斜率的概念以及过两点的直线的斜率公式。

难点：用代数方法推导斜率的过程。

三、教学方法

计算机辅助教学与发现法相结合。即在多媒体课件支持下，让学生在教师引导下，积极探索，亲身经历概念的发现与形成过程，体验公式的推导过程，主动建构自己的认知结构。

四、教学过程

（一）创设情境，揭示课题

问题1、（出示幻灯片）给出的两点相同吗？

- 1 -

从形的角度看，它们有位置之分，但无大小与形状之分。

从数的角度看，如何区分两个点？（用坐标区分）

问题2、过这两点可作什么图形？唯一吗？只经过其中一点可作多少条直线？若只想定出其中的一条直线，除了再用一点外，还有其他方法吗？可以增加一个什么样的几何量？

由此引导学生归纳，确定直线位置可有两种方式

（1）已知直线上两点

（2）已知直线上一点和直线的方向（倾斜角、倾斜程度）

问题3、角的形成还需一条线，也就是说要有刻画倾斜程度的角，就必须还有一条形成角的参照的直线。在平面直角坐标系下，以哪条轴线为基准形成刻画倾斜程度的角？（学生可能回答x轴或y轴）

以x轴或y轴为基准都可以，习惯上我们用x轴。

选择哪个角来描述直线的倾斜程度，就能保证坐标系下的任何一条直线都有唯一的角与它对应呢？

（教师引导学生选取不同的方向来描述角）。

数学概念来刻画事物时，讲求统一美与简洁美，如何用数学语言准确描述这个角呢？（揭示课题）

1、倾斜角的定义：在直角坐标系下，以x轴为基准，当直线l与x轴相交时，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角，叫做直线l的倾斜角。

教师引导学生练习画出过点P的各种倾斜角的直线。

yoplxyolyopypx- 2 - pxolxl(1) (2) (3)(4)

学生容易忽略与x轴平行的直线，补出图（4），问倾斜角在哪儿？

如何规定？

规定：当直线l与x轴平行或重合时，它的倾斜角为0。自然有倾斜角的范围是[0，180）

这样平面直角坐标系中每条直线都有唯一一个确定的倾斜角与它对应。倾斜程度相同的直线，其倾斜角相等，倾斜程度不同的直线，其倾斜角不相等。

以上定义了一个从“形”的角度用倾斜角刻画平面直角坐标系内一条直线的倾斜程度。

（二）巩固旧知，引入新知

生活中，我们都有过爬坡、爬梯的体验，对于斜坡的倾斜程度，可以用什么量来反映？（坡角与坡度）

初中对坡度是如何定义的？

坡度（比）=

升高量

前进量

（即坡角的正切值）

当坡角增大时，坡度如何变化？

当坡角=90与0时，升高量、前进量分别是什么？坡度又分别是什么？

坡角、坡度都能反映倾斜程度，迁移到数学中，坡角相当于直线的倾斜角，而坡度则对应于直线的斜率。

2、斜率：倾斜角不是90的直线，其倾斜角的正切值叫做这条- 3 -

直线的斜率。即ktan(90)

问题4、当为钝角时，直线的斜率如何求？（转化到其补角上）

y o 

x 180(是锐角)

ktantan(180)tan如：倾斜角120，则斜率k3

问题5、当在[0，180）内变化时，斜率k如何变化？

0°＜

yoplxypolyopyxxpolxl＜90°= 90°90°＜＜180°= 0°k=0k >0k不存在k<0

问题6、倾斜角与斜率都能刻画直线的倾斜程度，哪个量更优越呢？

倾斜角能从形的角度刻画倾斜程度，而斜率是比值，实质是数值，它能从数的角度反映倾斜的程度，显然用斜率更细致入微些。

（三）尝试推导，深化认识

两点确定一条直线，可见由两点也就确定了直线的倾斜程度，即倾斜角与斜率。看来，直线上两点与直线的斜率有着密不可分的联系。

- 4 -

问题7、在平面直角坐标系中，已知直线上两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）且x1  x2，能否用P1

、P2的坐标来表示直线斜率k？

（学生活动）：随意在坐标系下画两点P1

、P2及直线P1

P2，探究各种图形并尝试推导，可以先特殊再一般，也可先一般再特殊地去分析。教师可适当引导其将斜坡截面图迁移到坐标系中，类似升高量，前进量，用点的坐标表示线段长，并请同学叙述各个图的推导过程与结果。

yP2（x2，y2）Q （x2，y1）yP2（x2，y2）P1（x1，y1）αQ （x2，y1）OyP1（x1，y1）P2（x2，y2）Q （x1，y2）αOxxαP1（x1，y1）OxyP1（x1，y1）Q （x1，y2）P2（x2，y2）αOx解：设直线P1 P2倾斜角为（90）当直线P1 P2方向向上时，过点P1作x轴的平行线，过点P2作y轴的平行线，两线交于点Q，则点Q为（x2，y1）

（1）当为锐角时，QP1P2，x1x2，y1y2

在RtP1P2Q中，tantanQP1P2QP2P1Qy2y1＞0 x2x1（2）当为钝角时，180（设QP，x1x2，y1y2

1P2=）180)tan

tan=tan(- 5 -

在RtP1P2Q中，tantanQP2QP1y2y1yy1

2x2x1x2x1y2y1＜0（可让学生分组推导）

x2x1同理，当直线P2P1方向向上时，无论为锐角或钝角，也有tanyyy2y1，即k21

x2x1x2x1思考：1、各种一般情形得出的结论一致吗？与P1、P2这两点坐标顺序有关系吗？

2、当直线垂直于x轴或y轴时，上述结论适用吗？

3、斜率公式使用时应注意什么问题？

（四）例题讲解、强化认知

例1.

已知下列直线的倾斜角，求直线的斜率。

（1）

α=45° （2）

30 （3）

120 （4）135 （5）150

例2.

已知A(3, 2), B(-4, 1), C(0, -1), 求直线AB, BC, CA的斜率, 并判断它们的倾斜角是钝角还是锐角. 例3. 在平面直角坐标系中，画出经过原点且斜率分别为1，-1，2及-3的直线. 0000（五）巩固练习、内化知识

1. 如图，若图中直线l1、l2、l3的倾斜角和斜率分别是1,2,3和k1、k2、k3，则（

）

(A) 123,k3k1k2

（B) 123,k2k1k3

(C) 132,k3k2k1

(D) 132,k1k3k2

2.若A（3，-2），B（-9，4），C（x，0）三点共线，则x的值为（ ） A ．1

B．-1

C．0

D．7 3.若直线的斜率为k3，则倾斜角

34.直线过点（2,2）和点(1,1)，直线倾斜角= 5.已知直线斜率的绝对值等于3，则直线的倾斜角为 - 6 -

6.已知A(x，-2)，B(3，0)，

且

kAB1，求x的值。

27.

求经过下列两点直线的斜率，并判断其倾斜角是锐角还是钝角。

（1）C(18,8),D(4,4) (2) P(0,0),Q(1,3) (3) A(1,2),B(0,2)

（六）反思小结，概括提炼（同学们这节课有何收获？）

1、明确了确定直线位置的几何要素。

2、理解了刻画倾斜程度的量（倾斜角与斜率），知道了求斜率的两种方法（定义法、坐标法）

yyktanxx22113、经历了代数方法刻画斜率的过程,感受了数形结合与分类讨论的数学思想

（七）作业布置

（1）必做题：课本89页习题3.1A组 1、2、3、4 （2）选做题：课本90页习题3.1B组5、6

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