复习参考题教学设计第二课时

命题及其关系、充分条件与必要条件

1．命题

概念

特点

分类

2．四种命题及其相互关系

(1)四种命题间的相互关系：

使用语言、符号或者式子表达的，可以判断真假的陈述句

(1)能判断真假；(2)陈述句

真命题、假命题

(2)四种命题中真假性的等价关系：原命题等价于逆否命题，原命题的否命题等价于逆命题．在四种形式的命题中真命题的个数只能是0,2,4. 3．充要条件

若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件

p是q的充分不必要条件

p是q的必要不充分条件

p是q的充要条件

p是q的既不充分也不必要条件

[小题体验]

1．给出命题：“若实数x，y满足x2＋y2＝0，则x＝y＝0”，在它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题有________个．

p⇒q且q⇒/p p成立的对象的集合为A，q成立的对象的集合为B

A是B的真子集

p⇒/

q且q⇒p p⇔q p⇒/

q且q⇒/p B是A的真子集

A＝B

A，B互不包含

集合与

充要条件

答案：3 2．设A，B是两个集合，则“A∩B＝A”是“A⊆B”的______条件．

答案：充要

3．命题“若x2>y2，则x>y”的逆否命题是________．

答案：“若x≤y，则x2≤y2”

1．易混淆否命题与命题的否定：否命题是既否定条件，又否定结论，而命题的否定是只否定命题的结论．

/2．易忽视A是B的充分不必要条件(A⇒B且B⇒

A)与A的充分不必要条件是B(B⇒A/且A⇒

B)两者的不同．

[小题纠偏]

1．设a，b均为非零向量，则“a∥b”是“a与b的方向相同”的________条件．

答案：必要不充分

2．“在△ABC中，若∠C＝90°，则∠A，∠B都是锐角”的否命题为：________________. 解析：原命题的条件：在△ABC中，∠C＝90°，

结论：∠A，∠B都是锐角．否命题是否定条件和结论．

即“在△ABC中，若∠C≠90°，则∠A，∠B不都是锐角”．

答案：在△ABC中，若∠C≠90°，则∠A，∠B不都是锐角

考点一

四种命题及其相互关系基础送分型考点——自主练透

[题组练透]

1．命题“若a2>b2，则a>b”的否命题是(

) A．若a2>b2，则a≤b

C．若a≤b，则a2>b2

B．若a2≤b2，则a≤b

D．若a≤b，则a2≤b2

解析：选B

根据命题的四种形式可知，命题“若p，则q”的否命题是“若綈p，则綈q”．该题中，p为a2>b2，q为a>b，故綈p为a2≤b2，綈q为a≤b.所以原命题的否命题为：若a2≤b2，则a≤b. 2．命题“若x2＋3x－4＝0，则x＝4”的逆否命题及其真假性为(

) A．“若x＝4，则x2＋3x－4＝0”为真命题

B．“若x≠4，则x2＋3x－4≠0”为真命题

C．“若x≠4，则x2＋3x－4≠0”为假命题

D．“若x＝4，则x2＋3x－4＝0”为假命题

解析：选C

根据逆否命题的定义可以排除A，D，因为x2＋3x－4＝0，所以x＝4或－1，故原命题为假命题，即逆否命题为假命题．

3．给出以下四个命题：

①“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；

②(易错题)“全等三角形的面积相等”的否命题；

③“若q≤－1，则x2＋x＋q＝0有实根”的逆否命题；

④若ab是正整数，则a，b都是正整数．

其中真命题是________．(写出所有真命题的序号) 解析：①命题“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题为“若x，y互为相反数，则x＋y＝0”，显然①为真命题；②不全等的三角形的面积也可能相等，故②为假命题；③原命题正确，所以它的逆否命题也正确，故③为真命题；④若ab是正整数，但a，b不一定都是正整数，例如a＝－1，b＝－3，故④为假命题．

答案：①③

[谨记通法]

1．写一个命题的其他三种命题时的2个注意点

(1)对于不是“若p，则q”形式的命题，需先改写；

(2)若命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提．如“题组练透”第3题②易忽视．

2．命题真假的2种判断方法

(1)联系已有的数学公式、定理、结论进行正面直接判断．

(2)利用原命题与逆否命题，逆命题与否命题的等价关系进行判断．

考点二

充分必要条件的判定重点保分型考点——师生共研

[典例引领]

1．(2015·北京高考)设a，b是非零向量，“a·b＝|a||b|”是“a∥b”的(

) A．充分而不必要条件

C．充分必要条件

B．必要而不充分条件

D．既不充分也不必要条件

解析：选A

a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．而当a∥b时，〈a，b〉还可能是π，此时a·b＝－|a||b|，故“a·b＝|a||b|”是“a∥b”的充分而不必要条件．

2．(2017·衡阳联考)设p：x2－x－20>0，q：log2(x－5)<2，则p是q的(

) A．充分不必要条件

C．充要条件

B．必要不充分条件

D．既不充分也不必要条件

解析：选B

∵x2－x－20>0，∴x>5或x<－4，∴p：x>5或x<－4.∵log2(x－5)<2，∴

05或x<－4}，∴p是q的必要不充分条件．故选B. [由题悟法]

充要条件的3种判断方法

(1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断；

(2)集合法：根据p，q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断；

(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把判断的命题转化为其逆否命题进行判断．这个方法特别适合以否定形式给出的问题，如“xy≠1”是“x≠1或y≠1”的某种条件，即可转化为判断“x＝1且y＝1”是“xy＝1”的某种条件．

[即时应用]

1．(2016·天津高考)设x＞0，y∈R，则“x＞y”是“x＞|y|”的(

) A．充要条件

C．必要而不充分条件

B．充分而不必要条件

D．既不充分也不必要条件

解析：选C

当x＝1，y＝－2时，x＞y，但x＞|y|不成立；若x＞|y|，因为|y|≥y，所以x＞y.所以x＞y是x＞|y|的必要而不充分条件．

2．已知条件p：x＋y≠－2，条件q：x，y不都是－1，则p是q的(

) A．充分不必要条件

C．充要条件

B．必要不充分条件

D．既不充分也不必要条件

解析：选A

因为p：x＋y≠－2，q：x≠－1，或y≠－1，

所以綈p：x＋y＝－2，綈q：x＝－1，且y＝－1，

因为綈q⇒綈p但綈p⇒/綈q，所以綈q是綈p的充分不必要条件，即p是q的充分不必要条件．

考点三

充分必要条件的应用重点保分型考点——师生共研

[典例引领]

1．(2017·皖北第一次联考)已知p：x≥k，q：则实数k的取值范围是(

) A．[2，＋∞)

C．[1，＋∞)

解析：选B

∵B．(2，＋∞) D．(－∞，－1) 2－x33<1，∴－1＝<0，即(x－2)(x＋1)>0，∴x>2或x<－1，∵x＋1x＋1x＋13<1，如果p是q的充分不必要条件，x＋1p是q的充分不必要条件，∴k>2. 2．设n∈N*，一元二次方程x2－4x＋n＝0有整数根的充要条件是n＝________. 解析：由Δ＝16－4n≥0，得n≤4，又n∈N*，则n＝1,2,3,4.当n＝1,2时，方程没有整数根，当n＝3时，方程有整数根1,3，当n＝4时，方程有整数根2，综上知n＝3或4.

答案：3或4 [由题悟法]

根据充要条件求参数的值或取值范围的关键点

(1)先合理转化条件，常通过有关性质、定理、图象将恒成立问题和有解问题转化为最值问题等，得到关于参数的方程或不等式(组)，再通过解方程或不等式(组)求出参数的值或取值范围．

(2)求解参数的取值范围时，一定要注意区间端点值的检验，尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象．[即时应用]

1．已知命题p：x2＋2x－3>0；命题q：x>a，且綈q的一个充分不必要条件是綈p，则a的取值范围是(

) A．[1，＋∞)

C．[－1，＋∞)

B．(－∞，1]

D．(－∞，－3]

解析：选A

由x2＋2x－3>0，得x<－3或x>1，由綈q的一个充分不必要条件是綈p，可知綈p是綈q的充分不必要条件，等价于q是p的充分不必要条件．故a≥1. 2．已知“命题p：(x－m)2＞3(x－m)”是“命题q：x2＋3x－4＜0”成立的必要不充分条件，则实数m的取值范围为________________．

解析：命题p：x＞m＋3或x＜m，

命题q：－4＜x＜1. 因为p是q成立的必要不充分条件，

所以m＋3≤－4或m≥1，

故m≤－7或m≥1. 答案：(－∞，－7]∪[1，＋∞)

一抓基础，多练小题做到眼疾手快

1．“(2x－1)x＝0”是“x＝0”的(

) A．充分不必要条件

C．充分必要条件

B．必要不充分条件

D．既不充分也不必要条件

1解析：选B

若(2x－1)x＝0，则x＝或x＝0，即不一定是x＝0；若x＝0，则一定能2推出(2x－1)x＝0.故“(2x－1)x＝0”是“x＝0”的必要不充分条件．

2．已知集合A＝{1，m2＋1}，B＝{2,4}，则“m＝3”是“A∩B＝{4}”的(

) A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

解析：选A

若A∩B＝{4}，则m2＋1＝4，∴m＝±3，故“m＝3”是“A∩B＝{4}”的充分不必要条件．

3．(2017·山东重点中学模拟)已知命题p：“正数a的平方不等于0”，命题q：“若a不是正数，则它的平方等于0”，则q是p的(

) A．逆命题

C．逆否命题

B．否命题

D．否定

解析：选B

命题p：“正数a的平方不等于0”写成“若a是正数，则它的平方不等于0”，从而q是p的否命题．

4．命题p：“若x2<1，则x<1”的逆命题为q，则p与q的真假性为(

) A．p真q真

C．p假q真

解析：选B

q：若x<1，则x2<1. ∵p：x2<1，则－1

当x<1时，x2<1不一定成立，

∴q假，故选B. 5．若x>5是x>a的充分条件，则实数a的取值范围为(

) A．a>5

C．a<5

B．a≥5 D．a≤5 B．p真q假

D．p假q假

解析：选D

由x>5是x>a的充分条件知，{x|x>5}⊆{x|x>a}．

∴a≤5，故选D. 二保高考，全练题型做到高考达标

1．命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是(

) A．“若一个数是负数，则它的平方不是正数”

B．“若一个数的平方是正数，则它是负数”

C．“若一个数不是负数，则它的平方不是正数”

D．“若一个数的平方不是正数，则它不是负数”

解析：选B

依题意得，原命题的逆命题是“若一个数的平方是正数，则它是负数”．

2．(2016·四川高考)设p：实数x，y满足x＞1且y＞1，q：实数x，y满足x＋y＞2，则p是q的(

) A．充分不必要条件

C．充要条件

B．必要不充分条件

D．既不充分也不必要条件

x＞1，解析：选A

∵∴x＋y＞2，即p⇒q. y＞1，

而当x＝0，y＝3时，有x＋y＝3＞2，但不满足x＞1且y＞1，即q⇒/ p．故p是q的充分不必要条件．

3．有下列命题：

①“若x＋y>0，则x>0且y>0”的否命题；

②“矩形的对角线相等”的否命题；

③“若m≥1，则mx2－2(m＋1)x＋m＋3>0的解集是R”的逆命题；

④“若a＋7是无理数，则a是无理数”的逆否命题．

其中正确的是(

) A．①②③

C．①③④

B．②③④

D．①④

解析：选C

①的逆命题为“若x>0且y>0，则x＋y>0”为真，故否命题为真；

②的否命题为“不是矩形的图形对角线不相等”，为假命题；

③的逆命题为，若mx2－2(m＋1)x＋m＋3>0的解集为R，则m≥1. ∵当m＝0时，解集不是R，

m>0，∴应有

即m>1.∴③是真命题；

Δ<0，

④原命题为真，逆否命题也为真．

4．如果x，y是实数，那么“x≠y”是“cos x≠cos y”的(

) A．充要条件

C．必要不充分条件

B．充分不必要条件

D．既不充分也不必要条件

解析：选C

设集合A＝{(x，y)|x≠y}，B＝{(x，y)|cos x≠cos y}，则A的补集C＝{(x，y)|x＝y}，B的补集D＝{(x，y)|cos x＝cos y}，显然CD，所以BA.于是“x≠y”是“cos x≠cos y”的必要不充分条件．

5．命题“对任意x∈[1,2)，x2－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件可以是(

) A．a≥4

C．a≥1

B．a>4 D．a>1 解析：选B

要使“对任意x∈[1,2)，x2－a≤0”为真命题，只需要a≥4，∴a>4是命题为真的充分不必要条件．

6．命题“若a>b，则ac2>bc2(a，b∈R)，”否命题的真假性为________．

解析：命题的否命题为“若a≤b，则ac2≤bc2”．若c＝0，结论成立．若c≠0，不等式ac2≤bc2也成立．故否命题为真命题．

答案：真

7．在命题“若m＞－n，则m2＞n2”的逆命题、否命题、逆否命题中，假命题的个数是________．

解析：若m＝2，n＝3，则2>－3，但22<32，所以原命题为假命题，则逆否命题也为假命题，若m＝－3，n＝－2，则(－3)2>(－2)2，但－3<2，所以逆命题是假命题，则否命题也是假命题．故假命题的个数为3. 答案：3 8．下列命题：

①“a>b”是“a2>b2”的必要条件；②“|a|>|b|”是“a2>b2”的充要条件；③“a>b”是“a＋c>b＋c”的充要条件．

其中是真命题的是________(填序号)．

解析：①a>b⇒/ a2>b2，且a2>b2⇒/

a>b，故①不正确；

②a2>b2⇔|a|>|b|，故②正确；

③a>b⇒a＋c>b＋c，且a＋c>b＋c⇒a>b，故③正确．

答案：②③

9．设等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn，则“|q|＝1”是“S4＝2S2”的________条件．

解析：∵等比数列{an}的前n项和为Sn，又S4＝2S2，

∴a1＋a2＋a3＋a4＝2(a1＋a2)，∴a3＋a4＝a1＋a2，

∴q2＝1⇔|q|＝1，∴“|q|＝1”是“S4＝2S2”的充要条件．

答案：充要

33，2，B＝{x|x＋m2≥1}．若“x∈A”是y＝x2－x＋1，x∈10．已知集合A＝y42

“x∈B”的充分条件，求实数m的取值范围．

337x－2＋，

解：y＝x2－x＋1＝416237，2，∴≤y≤2，

∵x∈4167≤y≤2. ∴A＝y16

由x＋m2≥1，得x≥1－m2，

∴B＝{x|x≥1－m2}．

∵“x∈A”是“x∈B”的充分条件，

∴A⊆B，∴1－m2≤7，

1633解得m≥或m≤－，

4433－∞，－∪，＋∞. 故实数m的取值范围是44三上台阶，自主选做志在冲刺名校

1．设{an}是公比为q的等比数列，则“q>1”是“{an}为递增数列”的(

) A．充分不必要条件

C．充要条件

B．必要不充分条件

D．既不充分也不必要条件

解析：选D

当等比数列{an}的首项a1<0，公比q>1时，如an＝－2n是递减数列，所以充分性不成立；

反之，若等比数列{an}为递增数列，

a1>0，a1<0，则或所以必要性不成立，即“q>1”是“{an}为递增数列”的既不充分01，

也不必要条件．

2．已知α：x≥a，β：|x－1|<1.若α是β的必要不充分条件，则实数a的取值范围为________．

解析：α：x≥a，可看作集合A＝{x|x≥a}，

∵β：|x－1|<1，∴0

∴β可看作集合B＝{x|0

又∵α是β的必要不充分条件，

∴BA，∴a≤0. 答案：(－∞，0] 3．已知集合A＝{x|x2－6x＋8<0}，B＝{x|(x－a)(x－3a)<0}．

(1)若x∈A是x∈B的充分条件，求a的取值范围．

(2)若A∩B＝∅，求a的取值范围．

解：A＝{x|x2－6x＋8<0}＝{x|2

B＝{x|(x－a)(x－3a)<0}．

(1)当a＝0时，B＝∅，不合题意．

当a>0时，B＝{x|a

a≤2，4则解得≤a≤2. 33a≥4，

当a<0时，B＝{x|3a

3a≤2，则无解．

a≥4，4综上，a的取值范围为3，2. (2)要满足A∩B＝∅，

当a>0时，B＝{x|a

当a<0时，B＝{x|3a

4则a≤2或a≥，即a<0. 3当a＝0时，B＝∅，A∩B＝∅. 2－∞，∪[4，＋∞)．

综上，a的取值范围为3