2.1.3 空间中直线与平面之间的位置关系教案3

空间直线与平面的位置关系教学设计

【学习目标】

1.理解空间直线和平面垂直的定义、定理，掌握线线垂直、线面垂直的证明方法；

2.理解空间中各种“距离”的定义，掌握空间距离的确定与计算方法. 【学习过程】

一、情景引入

简述下列问题的结论，并画图说明：

（1）直线aÜ平面，直线baA，则b和的位置关系如何？

（2）直线aÜ平面，直线b//a，则b和的位置关系如何？

[归纳总结] ——有___个公共交点①__________空间中直线与平面的位置关系——有___个公共交点

②_______在平面外③_______——有___个公共交点

二、学习新课

2.直线与平面垂直：

aaa定义：如果直线l与平面内的_________直线都垂直，就说直线l与平面垂直，记做__________. 根据定义，为了证明一条直线与一个平面垂直，我们必须验证这条直线与这个平面内的所有直线都垂

直，显然这是无法做到的. 那么，能否用尽可能少的条件来实现这一点呢？

定理2

如果直线l与平面内的两条______直线垂直，那么直线l与平面垂直. 精简条件________，________，________集合语言表述：________

________________________概念澄清

判断下列命题的真假：

1

（1）如果直线与平面内的无数条直线垂直，那么直线与平面垂直.

（

）

（2）如果直线与平面内的两条平行直线垂直，那么直线与平面垂直.

（

）

方法点拨——证明线线垂直、线面垂直

例1.如图，已知a//b，a，求证：b.

例2.（1）如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别是AA1，CC1的中点，判断下列结论是否正确：

①AC面CDD1C1；

②AA1面A1B1C1D1；

③AC面BDD1B1；

④EF面BDD1B1；

⑤ACBD1

（2）将（1）中的“正方体”改为“长方体”，以上结论是否正确？

例3.继续研究例2的正方体ABCDA1B1C1D1，E、F分别是AA1，CC1的中点，求证：BDA1F.

说明：根据定理2 ，要证明线线垂直，可找线面垂直，反之亦然.即：

线线垂直

定理2线面垂直定义abD1C1B1A1FCEADBD1C1B1A1FCDAB

线面垂直

这里体现了高中数学的转化与化归思想.

2

练***行四边形ABCD所在平面外一点，O是对角线AC与BD的交点，且PAPC，PBPD. 求证：PO平面ABCD.

2.空间中的各种“距离”

PDABOC（1）点和平面的距离：设点M是平面外一点，过M作平面的垂线，垂足为N，把________________叫做点M和平面的距离；

MlMMNNN（2）直线和平面的距离：设直线l//平面，在直线l上任取一点M，把________________的距离叫做直线l和平面的距离；

（3）平面和平面的距离：设平面平行于平面，在平面上任取一点M，把________________的距离叫做平面和平面的距离；

（4）异面直线的公垂线和距离：设直线a与直线b是异面直线，当

MMa，Nb且MNa，MNb，把直线MN叫做异面直线

a、b的公垂线，________________叫做异面直线a和b的距离.

Nab种“距离”方法点拨——确定和计算空间中的各

例4.如图，已知长方体ABCDA'B'C'D'的棱长AA'、AB和AD的长分别为3cm、4cm和5cm. （1）求点A和点C'的距离；

（2）求点A到棱B'C'的距离；

（3）求棱AB和平面A'B'C'D'的距离；

（4）求异面直线AD和A'B'的距离.

5ADC4D'BC'3A'B'3

练习：已知长方体ABCDA'B'C'D'的棱AA'5，AB12，AD13. （1）点B和点D'的距离是_____________；

（2）点C和直线A'B'的距离是_____________；

（3）直线CD和平面AA'B'B的距离是_____________；

（4）直线DD'和B'C'的距离是_____________.

【课堂小结】

1.直线与直线垂直、直线与平面垂直的证明；

2.空间中各种“距离”的确定与计算.

【巩固练习】

1.如图，直四棱柱ABCDA'B'C'D'（侧棱与底面垂直的棱柱称为直棱柱）中，底面四边形满足什么条件时，A'CB'D'？

2.AB是⊙O的直径，C为圆上一点，AB2，AC1，P为⊙O所在平面外一点，且PA⊙O，A'B'C'D'ABCDPB与平面所成角为45. （1）证明：BC⊥平面PAC ；

（2）求点A到平面PBC的距离．

PCAOB

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