习题2.3板书设计及设计说明

用坐标法求空间角和空间距离

（复习课）

兰州市第十八中学

王立森

二〇一八年六月二十九日

用坐标法求空间角和空间距离的复习与总结

王立森

教学目标：使学生掌握用坐标法求空间角和距离的方法，特别是法向量的计算和应用。

教学重点：空间角和空间距离公式的实际应用

教学难点：1.空间角和空间距离公式中个向量的具体意义。2.法向量的计算和应用

创设情景：立体几何中经常遇到求空间角和距离问题，这是立几学习中的一大难点，解决这类问题通常是作出角和垂线段，将空间问题转化为平面问题求解，但有些题目不易作出角和垂线段，如果应用法向量结合向量的坐标运算就能有效地解决这个难点。

现行高中数学教科书第二册（下B）第九章提到了法向量的定义：如果向量a平面α，那么向量a叫做平面α的法向量。但是对于法向量在立体几何中的运用却没有详细介绍，其实灵活运用法向量去求解某些常见的立几问题如“求点到平面的距离”、“求异面直线间的距离”、“求直线与平面所成的角”、“求二面角的大小”、“证明两平面平行或垂直”等是比较简便的，现介绍如下：

教学过程：

一、空间距离的类型和计算方法

（一）两点间的距离公式

222设空间两点Ax1,y1,z1,Bx2,y2,z2，则dABx1x2y1y2z1z2

（二）求点到平面的距离

设P是平面α外一点，AP是平面α的一条斜线，交平面α于点A，而n是平面α的法向量，那么向量AP在n方向上的正射影长就是点A到平面α的距离d ：

α

A θ

d P ndAPcosAP,nAPnn

平面外一点Р到这个平面的距离等于以平面内任意一点A为起点点Р为终点的向量AP

，在这个平面的法向量n上的射影的长度

例1：已知棱长为２的正方体ABCD－A1B1C1D1中，

E、F分别是B1C1和C1D1的中点，求点A1到平面DBEF的距离。

解：如图建立空间直角坐标系D－ACD1，则A1（１，０，１），F（0，

1，1）

2

B（1，1，0），那么DB＝（1，1，0）

，DF＝（0，

设平面DBEF的法向量为n＝（x，y，z），则有：

x＋y＝0

得

n＝（1，－1，1y＋z＝0 21），

21，1），

2z D1 A1 F B1 D A E C1

。

1＝（1，0，1）又因为

DA

则A1到平面DBEF的距离

dnDA1n1.

C B y x 注：1. “直线到平面的距离”用直线上任意一点到平面的距离来计算

2. “平面到平面的距离”用一个平面上任意一点到另一个平面的距离来计算

（三）求异面直线间的距离

若CD是异面直线a、b的公垂线段，点 A、B分别为a、b上的任意两点. n为直线

nbC A aa，b的公共法向量（即向量na,nb），

则两异面直线a、b间的距离为：

dABnnD 图1 B .

例2：已知棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1，求直线DA1和AC间的距离。

解：建立空间直角坐标系D－ACD1，则A（1，0，0），C（0，1，0），

A1（1，0，1）则AC＝（－1，1，0），DA1＝（1，0，1）

D1 z C1 B1 设平面A1C1D的法向量为n＝（x，y，z）, A1

－x＋y＝0

可解得n＝（1，1，－1），

x＋z＝0

又AA1＝（0，0，1）

所以直线DA1和AC间的距离为d

D A C y B AA1nn3，

3x

二、空间角的类型和计算方法

（一）异面直线所成的角

两异面直线AB与CD的夹角：cos|ABCD||AB||CD|A B

C D 例１. 求例2中异面直线DA1和AC所成的角. （二）求直线与平面所成的角

直线AP与平面α所成的角θ可看成是向量AP与平面α的法向量n所成的锐角

APnAPnh P 的余角，所以有sincosAP,n。

α

A θ

n

例２：已知棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1

中，E是A1B1的中点，求直线AE与平面ABC1D1所成的角。

解：建立空间直角坐标系D－ACD1，则A（1，0，0），B（1，1，0），D1（0，0，1）

1

E（1，，1）AB＝（0，1，0），AD1＝（－1，0，1），

2z D1 C1 E B1 y 设平面ABC1D1的法向量为n＝（x，y，z）,

nAB0

可解得n＝（1，0，1）

A1 nAD10

1又AE＝（0，，1）

2

设直线AE与平面ABC1D1所成的角为θ，则sinAEnAEnDA B C x 10，

5

所以直线AE与平面ABC1D1所成的角为arcsin（三）、求二面角的大小

10。

5

已知二面角α－l－β，向量n1、n2是半平面α、β的法向量，θ为二面角α－l－β的平面角，且｜cos｜＝|n1n2||n1||n2|

那么

用空间向量表示立体图形中点、直线、平面等元素

当θ为锐角时，θ＝arccos|n1n2||n1||n2|

α

n1

θ

β

l n2

当θ为钝角时，θ＝π－arccos|n1n2||n1||n2|

例３：已知棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1，求平面A1BC1与平面ABCD所成的二面角的大小。

解：建立空间直角坐标系D－ACD1，则A1（1，0，1），B（1，1，0），C（0，1，0），

那么

A1C1＝（－1，1，0），A1B＝（0，1，－1），

设n1、n2分别是平面A1BC1与平面ABCD的法向量，

z

－x＋y＝0

可解得n1＝（1，1，1）

Y－z＝0 易知k＝（0，0，1）为平面ABCD的单位法向量

所以，cosn1,n2A1 D1 B1 D A x

B C1 C y

n1n2n1n2＝3

3所以平面A1BC1与平面ABCD所成的二面角大小为arccos三、回顾总结

3。

31．利用法向量来解决上述五种立体几何题目，最大的优点就是不用象在进行几何推理时那样去确定垂足的位置，完全依靠计算就可以解决问题。但是也有局限性，高中阶段用代数推理解立体几何题目，关键就是得建立空间直角坐标系，把向量通过坐标形式表示出来，所以能用这种方法解题的立体几何模型一般都是如：正（长）方体、直棱柱、正棱锥等。

五、布置作业

在棱长为2的正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是A1B1和B1C1的中点。

（1）

求点D到BE的距离；

（2）

求点D到面BEF的距离；

（3）

求BD与面BEF所成的角。