2.2.4 平面与平面平行的性质教学评价实录

课时作业14

平面与平面平行的性质

——基础巩固类——

1．下列说法中正确的个数是(

) ①两个平面平行，夹在两个平面间的平行线段相等；②两个平面平行，夹在两个平面间的相等线段平行；③如果一条直线和两个平行平面中的一个平行，那么它和另一个也平行．

A．1

C．3

B．2 D．0 解析：①正确；②中的两条线段还可能相交和异面；③中的直线可能在另一个平面内．

答案：A 2．已知α∥β，aα，bβ，则①a∥b；②a，b为异面直线；③a，b一定不相交；④a∥b或a，b异面．其中正确的是(

) A．①②

C．③④

B．②③

D．①②③④

解析：若两个平面平行，则两个平面没有公共点．故a∥b或a，b异面，即a，b一定不相交．故选C. 答案：C 3．已知长方体ABCD－A′B′C′D′，平面α∩平面AC＝EF，平面α∩平面A′C′＝E′F′，则EF与E′F′的位置关系是(

) A．平行

B．相交

C．异面

D．不确定

解析：

由于平面AC∥平面A′C′，所以EF∥E′F′. 答案：A

4．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，若经过D1B的平面分别交AA1和CC1于点E，F，则四边形D1EBF的形状是(

) A．矩形

B．菱形

C．平行四边形

D．正方形

解析：因为平面D1EBF和左右两个侧面分别交于ED1，BF，所以ED1∥BF，同理D1F∥EB，所以四边形D1EBF是平行四边形．

答案：C

5．如图所示，P是三角形ABC所在平面外一点，平面α∥平面ABC，α分别交线段PA，PB，PC于A′，B′，C′，若PA′:AA′＝23，则S△A′B′C′:S△ABC＝(

) A．2:25

C．2:5

B．4:25 D．4:5 解析：由题意知A′B′∥AB，B′C′∥BC，C′A′∥CA，且PA′:AA′＝2:3，∴25.∴S△A′B′C′:S△ABC＝4:25. 答案：B 6．已知平面α∥平面β，直线a，b分别与平面α，β所成角相等，则直线a，b的位置关系是________．

答案：平行、相交或异面

A′B′B′C′C′A′＝＝＝ABBCCA

7．如图所示，平面α∥平面β，△ABC，△A′B′C′分别在α，β内，线段AA′，BB′，CC′共点于O，O在α，β之间，若AB＝2，AC＝1，∠BAC＝90°，OA:OA′＝3:2，则△A′B′C′的面积为________．

解析：∵由题意可知，AB∥A′B′，AC∥A′C′，BC∥B′C′，∴△ABC∽△A′B′C′，且ABOA3＝＝2. A′B′OA′S△ABC321∵S△ABC＝2AB·AC＝1，又∵＝，

S△A′B′C′24∴S△A′B′C′＝9. 4答案：9

8．如图，在三棱锥P－ABC中，D，E，F分别是PA，PB，PC的中点．M是AB上一点，连接MC，N是PM与DE的交点，连接

NF，求证：NF∥CM. 证明：因为D，E分别是PA，PB的中点，所以DE∥AB. 又DE平面ABC，AB平面ABC，所以DE∥平面ABC，

同理DF∥平面ABC，且DE∩DF＝D，

所以平面DEF∥平面ABC. 又平面PCM∩平面DEF＝NF，

平面PCM∩平面ABC＝CM，

所以NF∥CM.

9．如图，直线AC，DF被三个平行平面α，β，γ所截．

(1)是否一定有AD∥BE∥CF? ABDE(2)求证：BC＝EF. 解：(1)若AB，DE异面，则A，B，D，E不在同一个平面上，则AD不平行于BE.∴不一定有AD∥BE∥CF. (2)证明：①若AC∥DF，则AC与DF确定平面ACDF，由α∥β∥γ，ABDE得AD∥BE∥CF，从而BC＝EF.

②若AC与DF不平行，过点A作DF的平行线分别交β，γ于G，H两点，AH∥DF.过两条平行线AH，DF的平面，交平面α，β，γ于AD，GE，HF.根据两平面平行的性质定理，得AD∥GE∥HF.如右图．

∵AG∥DE，AD∥GE，四边形AGED为平行四边形，

∴AG＝DE.同理GH＝EF. 又过AC，AH两相交直线的平面与平面β，γ的交线为BG，CH.根据两平面平行的性质定理，有BG∥CH. ABAG在△ACH中，BC＝GH. ABDE而AG＝DE，GH＝EF，∴BC＝EF. ——能力提升类——

10．如图所示，平面四边形ABCD所在的平面与平面α平行，且四边形ABCD在平面α内的平行投影A1B1C1D1是一个平行四边形，

则四边形ABCD的形状一定是________________．

解析：由面面平行的性质定理可以推出四边形ABCD的两组对边分别平行，故四边形ABCD是平行四边形．

答案：平行四边形

11．如图，四棱锥P－ABCD的底面是平行四边形，PA＝PB＝AB＝2，E，F分别是AB，CD的中点，平面AGF∥平面PEC，PD∩平面AGF＝G，ED与AF相交于点H，则GH＝________. 解析：因为ABCD是平行四边形，所以AB∥CD，AB＝CD. 因为E，F分别是AB，CD的中点，所以AE＝FD. 又∠EAH＝∠DFH，∠AEH＝∠FDH，

所以△AEH≌△FDH，所以EH＝DH. 因为平面AGF∥平面PEC，

平面PED∩平面AGF＝GH，

平面PED∩平面PEC＝PE，

所以GH∥PE，所以G是PD的中点．

因为PA＝PB＝AB＝2，所以PE＝2×sin60°＝3，

13所以GH＝2PE＝2. 3答案：2

12．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，如图．

(1)求证：平面AB1D1∥平面C1BD；

(2)试找出体对角线A1C与平面AB1D1和平面C1BD的交点E，F，并证明：A1E＝EF＝FC. 证明：(1)因为在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AD綊B1C1，所以四边形AB1C1D是平行四边形，所以AB1∥C1D.又因为C1DC1BD，AB1平面C1BD，

平面所以AB1∥平面C1BD.同理，B1D1∥平面C1BD. 又因为AB1∩B1D1＝B1，AB1所以平面AB1D1∥平面C1BD. 平面AB1D1，B1D1平面AB1D1，

(2)如图，设A1C1与B1D1交于点O1，连接AO1，与A1C交于点E. 又因为AO1平面AB1D1，

所以点E也在平面AB1D1内，所以点E就是A1C与平面AB1D1的交点．

连接AC交BD于O，连接C1O与A1C交于点F，则点F就是A1C与平面C1BD的交点．下面证明A1E＝EF＝FC. 因为平面A1C1CA∩平面AB1D1＝EO1，平面A1C1CA∩平面C1BD＝C1F，平面AB1D1∥平面C1BD，所以EO1∥C1F. 在△A1C1F中，O1是A1C1的中点，所以E是A1F的中点，

即A1E＝EF. 同理可证CF＝FE，所以A1E＝EF＝FC.