1.3 空间几何体的表面积与体积（通用）教学目标

教学课题

教学课时

教学目标

教学重点与难点

空间几何体的表面积与体积

2课时 主备教师

时间

任课教师

徐高峰

1.以选择、填空题形式考查空间位置关系的判断，及文字语言、图形语言、符号语言的转换，难度适中；

2．几何体的三视图与表(侧)面积、体积计算结合.

以熟悉的几何体为背景，考查多面体或旋转体的侧面积、表面积和体积计算，间接考查空间位置关系的判断及转化思想等，常以三视图形式给出几何体，辅以考查识图、用图能力及空间想象能力，难度中等．

教学准备及手段

多媒体

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第1课时

考例1 (文)(2015·浙江理，2)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积是(

) A．8 cm3

B．12 cm3 动态修改部分

3240C. cm3 D. cm333

[立意与点拨]

考查多面体的体积；解答本题先由三视图确定组合体的形状，再按体积公式计算．

[答案]

C [解析] 由题意得，该几何体为一正方体与正四棱锥的组合，132∴体积V＝23＋×22×2＝(cm3)，故选C. 33(理)(2015·新课标Ⅱ，6)一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如下图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为(

) 11A.

B.

8711C. D. 65[立意与点拨]

考查几何体的三视图与体积计算；解答本题要特别注意三个视图中正方形的对角线为实线．

[答案]

D

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动态修改部分

例一图

[解析] 由三视图得，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，截去四面体A－A1B1D1，如图所示，设正方体棱长为a，则VA－A1B1D1＝×a3＝a3，故剩13533余几何体体积为a－a＝a，所以截去部分体积与剩余部分体积的比值661为，故选D. 5113216

考例2 (2015·新课标Ⅰ理，11)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示．若该几何体的表面积为16＋20π，则r＝(

)

A．1

B．2

C．4

D．8

[立意与点拨] 考查简单几何体的三视图；球的表面积公式；圆柱的侧面积公式．本题观察视图的关键是圆柱截割后余下部分的形状，先看俯视图，再看正视图确定其摆放状态及形状．

[答案] B

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[解析] 由正视图和俯视图知，该几何体是半球与半个圆柱的组合1体，圆柱的半径与球的半径都为r，.圆柱的高为2r，其表面积为×4π2r2＋πr×2r＋πr2＋2r×2r＝5πr2＋4r2＝16＋20π，解得r＝2，故选B

案例

三视图识读不准致误

一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是(

) A．112 B．80

C．72 D．64 动态修改部分

[易错分析]

本题易错之处是由正、侧视图误以为几何体上部为三棱锥或整个几何体为四棱锥．

由俯视图知，棱锥顶点在底面射影为正方体底面一条棱的中点，故棱锥有一个侧面与底面垂直，它应该为四棱锥，而非三棱锥．

[解答] 由三视图知，该几何体为组合体，下部是棱长为4的正方体，上部为四棱锥，四棱锥的底面与正方体底面重合，顶点在底面射影1为正方体棱的中点，其直观图如图，故该几何体的体积V＝4×4×4＋×34×4×3＝80，故选B.

[警示]

识读三视图时，一要按正投影原理找到各点的射影；二要弄清观察者相对于几何体的位置与三视图的关系；三要熟记常见几何体的三视图．

课时2

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一、选择题

1．(2015·河北衡水中学三调)

如图正方形OABC的边长为1 cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是(

) A．8 cm B．6 cm C．2(1＋3) cm D．2(1＋2) cm [答案]

A [解析]

由直观图得，原图形是如图所示的平行四边形O′A′B′C′，其中A′O′⊥O′B′，可得O′A′＝1，O′B′＝2OB＝22，故A′B′＝222＋12＝3，

∴原图形的周长为：2×(3＋1)＝8. [方法点拨]

空间几何体的直观图画法规则

空间几何体直观图的画法常采用斜二测画法．用斜二测画法画平面图形的直观图规则为“轴夹角45°(或135°)，平行长不变，垂直长减半”．

2．(文)某四棱锥的底面为正方形，其三视图如图所示，则该四棱锥的体积等于(

) 动态修改部分

A．1 C．3 [答案]

B

B．2 D．4 [解析由三视图知，该几何体底面是正方形，对角线长为2，故边长为2，几何体是四棱锥，有一条侧棱与底面垂直，其直观图如图，由条件知PC＝13，AC＝2，

1∴PA＝3，体积V＝×(2)2×3＝2.

3

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动态修改部分

(理)(2014·新乡、许昌、平顶山调研)在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，D为侧棱PC上的一点，它的正视图和侧视图如图所示，则下列命题正确的是(

)

8A．AD⊥平面PBC，且三棱锥D－ABC的体积为

38B．BD⊥平面PAC，且三棱锥D－ABC的体积为

316C．AD⊥平面PBC，且三棱锥D－ABC的体积为

316D．AD⊥平面PAC，且三棱锥D－ABC的体积为

3[答案]

C [解析]

∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC，又∵AC⊥BC，PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC，又∵AD⊂平面PAC，∴BC⊥AD，由正视图可知，AD111⊥PC，又PC∩BC＝C，∴AD⊥平面PBC，且VD－ABC＝VP－ABC＝×223116×4×(×4×4)＝. 23[方法点拨]

1.空间几何体的三视图画法规则

三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从物体的正前方、正左方、正上方看到的物体轮廓线的正投影围成的平面图形，三视图的画法规则为“长对正、高平齐、宽相等”．

2．识读三视图时，要特别注意观察者的方位与三视图的对应关系和虚实线．

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3．(文)(2015·洛阳市期末)一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图与侧视图均为半径是1的圆，则这个几何体的体积是(

) 动态修改部分

π2π4πA.

B. C．π

D.

333[答案]

C 1[解析]

由三视图知，该几何体是一个球切去后所得的几何体，故其体积434为：V＝×π×13＝π，选C. 43(理)(2015·河南八市质检)已知某几何体的三视图如图所示，那么这个几何体的外接球的表面积为(

) A．4π

C．23π

[答案]

B [解析]

根据三视图可知该几何体是一个四棱锥D1－ABCD，它是由正方体ABCD－A1B1C1D1切割出来的，所以外接球的直径2R＝BD1＝4＋4＋4＝23，所以R＝3，所以S＝4πR2＝12π.

B．12π

D．43π

教学后记:在分析空间几何体的三视图问题时，先根据俯视图确定几何体的底面，然后根据正(主)视图或侧(左)视图确定几何体的侧棱与侧面的特征，调整实线和虚线所对应的棱、面的位置，特别注意由各视图中观察者与几何体的相对位置与图中的虚实线来确定几何体的形状．