1.2.1 充分条件与必要条件名师教学视频（文字实录）

1.2.2

充要条件

学习目标：1.结合具体实例，理解充分条件、必要条件、充要条件的意义．(重点、难点)2.会求(判断)某些问题成立的充分条件、必要条件、充要条件．(重点)3.能够利用命题之间的关系判定充要关系或进行充要条件的证明．(难点) [自

主

预

习·探

新

知] 1．充分条件与必要条件

命题真假

推出关系

条件关系

“若p，则q”是真命题

p⇒q p是q的充分条件

q是p的必要条件

“若p，则q”是假命题

pq

p不是q的充分条件

q不是p的必要条件

思考1：(1)p是q的充分条件与q是p的必要条件所表示的推出关系是否相同？

(2)以下五种表述形式：①p⇒q；②p是q的充分条件；③q的充分条件是p；④q是p的必要条件；⑤p的必要条件是q.这五种表述形式等价吗？

[提示]

(1)相同，都是p⇒q

(2)等价

2．充要条件

(1)一般地，如果既有p⇒q，又有q⇒p，就记作p⇔q.此时，我们说，p是q的充分必要条件，简称充要条件．

概括地说，如果p⇔q，那么p与q互为充要条件．

(2)若p⇒q，但q(3)若q⇒p，但p(4)若pq，且qp，则称p是q的充分不必要条件．

q，则称p是q的必要不充分条件．

p，则称p是q的既不充分也不必要条件．

思考2：(1)若p是q的充要条件，则命题p和q是两个相互等价的命题，这种说法对吗？

(2)“p是q的充要条件”与“p的充要条件是q”的区别在哪里？

[提示]

(1)正确．若p是q的充要条件，则p⇔q，即p等价于q. (2)①p是q的充要条件说明p是条件，q是结论．

②p的充要条件是q说明q是条件，p是结论．

[基础自测]

1．思考辨析

(1)q是p的必要条件时，p是q的充分条件．

(2)q不是p的必要条件时，“pD⇒/q”成立．

(3)若q是p的必要条件，则q成立，p也成立．

[答案]

(1)√

(2)√

(3)×

2．“x>2”是“x2－3x＋2>0”成立的(

) A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件

A

[由x2－3x＋2>0得x>2或x<1，故选A.] 3．下列各题中，p是q的充要条件的是________(填序号)．

(1)p：b＝0，q：函数f(x)＝ax2＋bx＋c是偶函数；

(2)p：x>0，y>0，q：xy>0；

(3)p：a>b，q：a＋c>b＋c.

充分条件、必要条件、充要条件的判断

指出下列各题中，p是q的什么条件(在“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充分必要条件”“既不充分也不必要条件”中选出一种作答)．

(1)在△ABC中，p：∠A>∠B，q：BC>AC；

(2)对于实数x，y，p：x＋y≠8，q：x≠2或y≠6；

(3)p：(a－2)(a－3)＝0，q：a＝3；

a(4)p：a＜b，q：b＜1. [思路探究]

判断p⇒q与q⇒p是否成立，当p、q是否定形式，可判断q是p的什么条件．

[解]

(1)在△ABC中，显然有∠A>∠B⇔BC>AC，所以p是q的充分必要条件．

(2)因为x＝2且y＝6⇒x＋y＝8，即q⇒p，但p⇒q，所以p是q的充分不必要条件．

(

) (

) (

)

(3)由(a－2)(a－3)＝0可以推出a＝2或a＝3，不一定有a＝3；由a＝3可以得出(a－2)(a－3)＝0.因此，p是q的必要不充分条件．

a(4)由于a＜b，当b＜0时，b＞1；

aa当b＞0时，b＜1，故若a＜b，不一定有b＜1；

a当a＞0，b＞0，b＜1时，可以推出a＜b；

a当a＜0，b＜0，b＜1时，可以推出a＞b. 因此p是q的既不充分也不必要条件．

[规律方法]

充分条件与必要条件的判断方法

(1)定义法

(2)等价法：将命题转化为另一个等价的又便于判断真假的命题．

(3)逆否法：这是等价法的一种特殊情况．

若若若若pp⇒p⇒p⇔q，则p是q的必要条件，q是p的充分条件；

q，且qp，则p是q的必要不充分条件；

q，则p与q互为充要条件；

q，且qp，则p是q的既不充分也不必要条件．

[跟踪训练] 1．(1)设a，b是实数，则“a>b”是“a2>b2”的(

)

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件

D

[令a＝1，b＝－1，满足a>b，但不满足a2>b2，即“a>b”不能推出“a2>b2”；再令a＝－1，b＝0，满足a2>b2，但不满足a>b，即“a2>b2”不能推出“a>b”，所以“a>b”是“a2>b2”的既不充分也不必要条件．] (2)对于二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，下列结论正确的是(

) ①Δ＝b2－4ac≥0是函数f(x)有零点的充要条件；

②Δ＝b2－4ac＝0是函数f(x)有零点的充分条件；

③Δ＝b2－4ac>0是函数f(x)有零点的必要条件；

④Δ＝b2－4ac<0是函数f(x)没有零点的充要条件．

[当

堂

达

标·固

双

基] 1．“|x|＝|y|”是“x＝y”的(

) A．充分不必要条件

C．充分必要条件

B．必要不充分条件

D．既不充分也不必要条件

B

[若x＝1，y＝－1，则|x|＝|y|，但x≠y；若x＝y，则|x|＝|y|，故选B.] 2．“x2－4x－5＝0”是“x＝5”的(

) A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

B

[由x2－4x－5＝0得x＝5或x＝－1，则当x＝5时，x2－4x－5＝0成立，但x2－4x－5＝0时，x＝5不一定成立，故选B.] 3．下列条件中，是x2<4的必要不充分条件是(

) A．－2≤x≤2

C．0

B．－2

[由x2<4得－2

(－∞，1]

[由(x－1)(x－2)＞0可得x＞2或x＜1，

由已知条件，知{x|x＜m}∴m≤1.] {x|x＞2或x＜1}，

5．求证：关于x的方程x2＋mx＋1＝0有两个负实数根的充要条件是m≥2. [证明]

(1)充分性：因为m≥2，所以Δ＝m2－4≥0，所以方程x2＋mx＋1＝0有实根，设两根为x1，x2，

由根与系数的关系知，x1·x2＝1>0，所以x1，x2同号．

又x1＋x2＝－m≤－2<0，所以x1，x2同为负数．

即x2＋mx＋1＝0有两个负实根的充分条件是m≥2. (2)必要性：因为x2＋mx＋1＝0有两个负实根，设其为x1，x2，且x1x2＝1，

2Δ＝m－4≥0，m≥2或m≤－2，所以即

x＋x＝－m<0，m>0，12

所以m≥2，即x2＋mx＋1＝0有两个负实根的必要条件是m≥2. 综上可知，m≥2是x2＋mx＋1＝0有两个负实J根的充分必要条件．