3.2.1 几个常用函数的导数名师教学设计2

课

题

§3.2

几种常见函数的导数

教学目标

一、教学知识点

1.公式1

C′=0(C为常数) 2.公式2

(xn)′=nxn-1(n∈Q) 3.公式3

(sinx)′=cosx

4.公式4

(cosx)′=-sinx

5.变化率

二、能力训练要求

1.掌握四个公式，理解公式的证明过程. 2.学会利用公式，求一些函数的导数. 3.理解变化率的概念，解决一些物理上的简单问题.

三、德育渗透目标

1.培养学生的计算能力. 2.培养学生的应用能力. 3.培养学生自学的能力. 教学重点

四种常见函数的导数:C′=0(C为常数)，(xn)′=nxn-1(x∈Q)，

(sinx)′=cosx,(cosx)′=-sinx. 教学难点

四种常见函数的导数的内容，以及证明的过程，这些公式是由导数定义导出的. 教学方法

建构主义式

让学生自己根据导数的定义来推导公式1、公式2、公式3、公式4，公式2中先证n∈N*的情况. 教学过程

Ⅰ.课题导入

［师］我们上一节课学习了导数的概念，导数的几何意义.我们是用极限来定义函数的导数的，我们这节课来求几种常见函数的导数.以后可以把它们当作直接的结论来用. Ⅱ.讲授新课

［师］请几位同学上来用导数的定义求函数的导数. 1.y=C(C是常数)，求y′.

［学生板演］解：y=f(x)=C，

Δy=f(x+Δx)-f(x)=C-C=0, y=0. xy′=C′=limy=0,∴y′=0.

x0x2.y=xn(n∈N*),求y′.

［学生板演］解：y=f(x)=xn, ∴Δy=f(x+Δx)-f(x)=(x+Δx)n-xn

1n12n2nxnCnxxCnx(x)2Cn(x)nxn

1n12n2nCnxxCnx(x)2Cn(x)n

y1n12n2nCnxCnxxCn(x)n1

x∴y′=(xn)′

limy1n12n2n1n1limCnxCnxxCn(x)n1Cnxnxn1. x0xx0∴y′=nxn-1. 3.y=x-n(n∈N*),求y′.

［学生板演］

解：Δy=(x+Δx)-n-x-n

11(xx)nxnxn(xx)n(xx)nxnCx1nn1Cx(x)C(x)(xx)nxn2nn22nnn

1n12n2nCnxCnxxCn(x)n1yx(xx)nxn∴ylimy

x0x1n12n2nCnxCnxxCn(x)n1lim[]nnx0(xx)xCxxxn1nnn1

=-nx-n-1. ∴y′=-nx-n-1. ※4.y=sinx,求y′.(叫两位同学做) ［学生板演］

［生甲］解：Δy=sin(x+Δx)-sinx

=sinxcosΔx+cosxsinΔx-sinx, ysinxcosxcosxsinxsinx, xxy∴ylim

x0x

sinxcosxcosxsinxsinxx0xsinx(cosx1)cosxsinxlimx0xxsinx(2sin2)sinx

2limlimcosxx0x0xxxsin22xcosxlim(2sinx)x0x4()22lim=-2sinx·1·0+cosx=cosx. ∴y′=cosx. ［生乙］Δy=sin(x+Δx)-sinx

xx)sin，

22xx2cos(x)siny22, xxy∴ylim

x0x=2cos(x+xx)sin22limx0xxxcos(x)sin22limx0x22cos(xlimcos(xx0

x)lim2x0sinx2x2=cosx. ∴y′=cosx. (如果叫两位同学上去做没有得到两种方法，老师可把另一种方法介绍一下) ※5.y=cosx,求y′.(也叫两位同学一起做) ［生甲］解：Δy=cos(x+Δx)-cosx

=cosxcosΔx-sinxsinΔx-cosx, yx0x

cosxcosxsinxsinxcosxlimx0xylim

cosx(cosx1)sinxsinxx0xxcosx(2sin2)sinx2limlimsinx

x0x0xxxsin22xsinx1lim(2cosx)x0x4()22lim=-2cosx·1·0-sinx=-sinx, ∴y′=-sinx. ［生乙］解：cos(xx)cosx

x0xxx2sin(x)sin22limx0xxx

sin(x)sin22limx0x2lim=-sinx, ∴y′=-sinx. ［师］由4、5两道题我们可以比较一下，第二种方法比较简便，所以求三角函数的极限时，选择哪一种公式进行三角函数的转化，要根据具体情况而定，选择好的公式，可以简化计算过程.上面的第2题和第3题中，只证明了n∈N*的情况，实际上它对于全体实数都成立.我们把上面四种函数的导数作为四个公式，以后可以直接用. ［板书］

(一)公式1

C′=0(C是常数) 公式2

(xn)′=nxn-1(n∈R) 公式3

(sinx)′=cosx

公式4

(cosx)′=-sinx

(二)课本例题

［师］下面我们来看几个函数的导数，运用公式求: (1)(x3)′；(2)(1)′;(3)(x)′.

x2［学生板演］(1)解：(x3)′=3x3-1=3x2. (2)解：(12213)(x)2x2x. 2x12111111(3)解：(x)(x)x2x2. 222x(还可以叫两个同学同做一道题，一个用极限即定义来求，一个用公式来求，比较一下) (三)变化率举例

［师］我们知道在物理上求瞬时速度时，可以用求导的方法来求.知道运动方程s=s(t)，

瞬时速度v=s′(t). ［板书］物体按s=s(t)作直线运动，则物体在时刻t0的瞬时速度v0=s′(t0). v0=s′(t0)叫做位移s在时刻t0对时间t的变化率. ［师］我们引入了变化率的概念，函数f(x)在点x0的导数也可以叫做函数f(x)在点x0对自变量x的变化率.很多物理量都是用变化率定义的，除了瞬时速度外，还有什么？

［板书］函数y=f(x)在点x0的导数叫做函数f(x)在点x0对自变量x的变化率. ［生］例如角速度、电流等. ［师］它们是分别对哪些量的变化率呢？

［生］角速度是角度(作为时间的函数)对时间的变化率；电流是电量(作为时间的函数)对时间的变化率. ［师］下面来看两道例题. ［例1］已知物质所吸收的热量Q=Q(T)(热量Q的单位是J，绝对温度T的单位是K)，求热量对温度的变化率C(即热容量). ［学生分析］由变化率的含义，热量是温度的函数，所以热量对温度的变化率就是热量函数Q(T)对T求导. 解：C=Q′(T),即热容量为Q′(T)J/K. ［师］单位质量物质的热容量叫做比热容，那么上例中，如果物质的质量是v

kg,那么比热容怎么表示？

［生］比热容是1Q′(T) J/(kg·K). v

图3-9 ［例2］如图3-9，质点P在半径为10 cm的圆上逆时针作匀角速运动，角速度为1 rad/s，设A为起始点，求时刻t时，点P在y轴上的射影点M的速度. ［学生分析］要求时刻t时M点的速度，首先要求出在y轴的运动方程，是关于t的函数，再对t求导，就能得到M点的速度了. 解：时刻t时，∵角速度为1 rad/s, ∴∠POA=1·t=t rad. ∴∠MPO=∠POA=t rad. ∴OM=OP·sin∠MPO=10·sint. ∴点M的运动方程为y=10sint. ∴v=y′=(10sint)′=10cost，

即时刻t时，点P在y轴上的射影点M的速度为10cost cm/s. ［师］我们学习了有关导数的知识，对于一些物理问题，就可以利用导数知识轻而易举地解决了.求导时，系数可提出来. Ⅲ.课堂练习

1.(口答)求下列函数的导数. (1)y=x5;(2)y=x6;(3)x=sint;(4)u=cosφ.

［生］(1)y′=(x5)′=5x4. ［生］(2)y′=(x6)′=6x5. ［生］(3)x′=(sint)′=cost. ［生］(4)u′=(cosφ)′=-sinφ. 2.求下列函数的导数. 1;(2)y3x. 3x1(1)解：y′=(3)′=(x-3)′=-3x-3-1=-3x-4. x(1)y13113(2)解：y(x)(x)xx. 33313123.质点的运动方程是s=t3(s单位：m,t单位：s),求质点在t=3时的速度. 解：v=s′=(t3)′=3t3-1=3t2, 当t=3时，v=3×32=27(m/s), ∴质点在t=3时的速度为27 m/s. 4.物体自由落体的运动方程是s=s(t)=速度. 2解：vs(t)(gt)12gt(s单位：m,t单位：s,g=9.8 m/s2),求t=3时的2121g2t21gt, 2当t=3时，v=g·3=9.8×3=29.4(m/s), ∴t=3时的速度为29.4 m/s. ［师］该题也用到求导时系数可提出来,根据［Cf(x)］′=Cf′(x)(C是常数). 这由极限的知识可以证得. [Cf(x)]limCf(xx)Cf(x)f(xx)f(x)limC=Cf′(x). x0x0xx5.求曲线y=x4在点P(2，16)处的切线方程. 解：y′=(x4)′=4x4-1=4x3. ∴y′|x=2=4×23=32. ∴点P(2，16)处的切线方程为y-16=32(x-2), 即32x-y-48=0. Ⅳ.课时小结

［学生总结］这节课主要学习了四个公式(①C′=0(C是常数)，②(xn)′=nxn-1(n∈R),③(sinx)′=cosx,④(cosx)′=-sinx)以及变化率的概念:v0=s′(t0)叫做位移s在时刻t0对时间t的变化率，函数y=f(x)在点x0的导数f′(x0)叫做函数f(x)在点x0对自变量x的变化率. Ⅴ.课后作业

(一)课本P116习题3.2

2，4，5. (二)1.预习内容：课本P118~119和(或差)、积的导数. 2.预习提纲：

(1)和(或差)的导数公式、证明过程. (2)积的导数

公式、证明过程. (3)预习例1、例2、例3，如何运用法则1、法则2.

板书设计

§3.2

几种常见函数的导数

公式1C′=0(C为常数) 公式2(xn)′=nxn-1(n∈R) 公式3(sinx)′=cosx

公式4(cosx)′=-sinx

v0=s′(t0)是位移s在t0对时间t的变化率. 函数y=f(x)在点x0的导数叫做函数f(x)在

点x0对自变量x的变化率. 1.y=C(C是常数),求y′.

2.y=xn(n∈N*),求y′.

3.y=x-n(n∈N*),求y′.

4.y=sinx,求y′.(两种方法) 5.y=cosx,求y′.(两种方法) 课本例题

(1)(x3)′;(2)(1)′;(3)(x)′.

2x例1.已知物质所吸收的热量Q=Q(T)(Q单位:J，T单位:K)，求热量对温度的变化率C(热容量). 例2.质点P在半径为10 cm的圆上逆时针作匀角速运动，角速度为1 rad/s，设A为起始点，求时刻t时，点P在y轴上的射影点M的速度. 课堂练习

1.(口答)(1)(x5)′;(2)(x6)′;(3)(sint)′；(4)(cosφ)′.

2.(1)

(13);(2)(x)′.

3x3.质点运动方程是s=t3，求t=3时的速度. 4.s12gt,求t=3时的速度. 25.求曲线y=x4在P(2，16)处的切线方程. 课后作业