3.2.1 几个常用函数的导数教学实录

3.2.1

几个常用函数的导数及基本初等函数的导数公式

学习目标：

11.能根据定义求函数y＝c，y＝x，y＝x2，y＝x，y＝x的导数. 2.能利用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数．(重点、难点) [自

主

预

习·探

新

知] 1．几个常用函数的导数

原函数

f(x)＝c f(x)＝x f(x)＝x2

1f(x)＝x

2.基本初等函数的导数公式

原函数

f(x)＝c f(x)＝xn(n∈Q*)

f(x)＝sin x f(x)＝cos x f(x)＝ax

f(x)＝ex

f(x)＝logax f(x)＝ln x 导函数

f′(x)＝0 f′(x)＝nxn－1

f′(x)＝cos_x

f′(x)＝－sin_x

f′(x)＝axln_a(a>0) f′(x)＝ex

1f′(x)＝xln a(a>0，且a≠1)

1f′(x)＝x

导函数

f′(x)＝0 f′(x)＝1 f′(x)＝2x

1f′(x)＝－x2

思考：你能根据导数公式(xn)′＝nxn－1，求f(x)＝x的导数吗？

【即时小测】

1.y= 3x2

的导数是

(

) A.3x2 B.

1212x C. D.3323x

1

2.下列运算正确的是

(

) 1A.(x5)′=x5ln5

B.(lgx)′= x

1C.(π5)′=5π4

D.(log2x)′=xln 2

3.若f(x)=ex,则f(x)在点(0,1)处的切线方程为

. 【知识探究】

探究点

几个常用函数的导数与导数公式

1.若函数f(x)=22,那么f′(x)=2×2=4成立吗? 提示:不成立.因为f(x)=22=4是常数函数,所以f′(x) =0.

2.若函数f(x)=

,那么f′(x)=

成立吗? 1提示:不成立.f′(x)=2【归纳总结】

x

. 1.几个常用函数的导数的几何意义和物理意义

(1)常数函数f(x)=c:导数值为0,几何意义为函数图象在任意点处的切线垂直于y轴,斜率为0; 当y=c表示路程关于时间的函数时,y′=0可以解释为某物体的瞬时速度始终为0,即一直处于静止状态. (2)一次函数y=x:导数值为1,几何意义为函数图象在任意点处的切线的斜率为1, 当y=x表示路程与时间的函数时,则y′=1可以解释为某物体作瞬时速度为1的匀速运动; 一般地,一次函数y=kx:导数y′=k的几何意义为函数图象在任意点处的切线斜率为k,|k|越大,函数的变化越快. (3)二次函数f(x)=x2:导数y′=2x,几何意义为函数

y=x2的图象上点(x,y)处切线的斜率为2x;当y=x2表示

路程关于时间的函数时,y′=2x表示物体作变速运动, 在时刻x的瞬时速度为2x. (4)反比例函数f(x)=1x

:导数y′=-1x2

,几何意义表示

2

112函数y= x

的图象上点(x,y)处切线的斜率为-x

. 2.关于几个基本初等函数导数公式的特点

(1)正、余弦函数的导数可以记忆为“正余互换,(符号)正同余反”.

(2)指数函数的导数等于指数函数本身乘以底数的自然对数,⑥是⑤的特例. (3)对数函数的导数等于x与底数的自然对数乘积的倒数,⑧是⑦的特例. 特别提醒:幂函数f(x)=xα中的α可以由Q*推广到任意实数. 类型一

利用导数公式求函数的导数

【典例】1.函数y=cos3的导数是

(

)

A.133 B. C. D.0222

2.函数f(x)=x2在x=6处的导数为

. 3.求下列函数的导数

11y4 2yx提示:常数函数的导数. 2.典例2中如何求函数在x=6处的导数? 提示:先求导,再代值. 5x3.

【解题探究】1.典例1中考查的是哪类函数的导数? 3.典例3中的函数是哪种基本函数?怎样求解? 提示:典例3中的函数是幂函数,需要化成幂的形式后求导数. 【方法技巧】求基本初等函数的导数

(1)若给出的函数符合基本初等函数的导数公式,则直接利用公式求导. (2)若给出的函数不符合导数公式,则通过恒等变换对函数进行化简或变形后求导,如根式要化成指数幂的形式求导.

3

【变式训练】下列函数中,导函数是奇函数的是(

) A.y=sinx

B.y=ex

C.y=lnx

D.y=cosx

类型二

导数公式的综合应用

【典例】已知点P(-1,1),点Q(2,4)是曲线y=x2上两点,求与直线PQ平行的曲线y=x2的切线方程. 【解题探究】与直线PQ平行的曲线y=x2的切线的斜率怎样求?切点怎样求? 提示:求出直线PQ的斜率即所求切线的斜率;设出切点后求导数,导数值等于斜率.

【延伸探究】

1.是否存在与直线PQ垂直的切线,若有,求出切线方程,若没有,说明理由.

2.若函数改为y=lnx,试求与直线PQ平行的切线方程.

【方法技巧】

1.利用导数的几何意义解决切线问题的两种情况

4

(1)若已知点是切点,则在该点处的切线斜率就是该点处的导数. (2)如果已知点不是切点,则应先设出切点,再借助两点连线的斜率公式进行求解. 2.求过点P与曲线相切的直线方程的三个步骤

11(,2)2x【课堂训练】函数y=-

在

处的切线方程是(

) A.y=4x

B.y=4x-4 C.y=4x+4

D.y=2x-4

自我纠错

求切点坐标

【典例】过原点作曲线y=ex的切线,则切点的坐标为

课堂练习：

1．下列结论：

其中正确的有(

) A．0个

B．1个

C．2个

D．3个

5

12．质点的运动方程是s＝t4(其中s的单位为m，t的单位为s)，则质点在t＝3 s时的速度为(

) A．－4×3－4 m/s

C．－5×3－5 m/s

B．－3×3－4 m/s D．－4×3－5 m/s 3．曲线y＝ex在点(0,1)处的切线方程为__________．

4．已知函数f(x)＝x2在点(x0，y0)处的导数为1，则x0＋y0＝________. 5．求下列函数的导数.

π1x2π(1)y＝cos 6；(2)y＝x5；(3)y＝；(4)y＝lg x；(5)y＝5x；(6)y＝cos2－x. x课后作业：

课本习题：3.2

1，2

6