小结优秀教案内容

利用空间向量求空间角

一、知识回顾：

1．两条异面直线所成角的求法

设两条异面直线a，b的方向向量为a，b，其夹角为θ，则cos φ＝|cos θ|＝______ (其中φ为异面直线a，b所成的角)．

2．直线和平面所成角的求法

如图所示，设直线l的方向向量为e，平面α的法向量为n，直线l与平面α所成的角为φ，向量e与n的夹角为θ，

则有sin φ＝|cos θ|＝____.

3．求二面角的大小

(1)如图①，AB，CD是二面角α

-l-β的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小θ＝__________．

(2)如图②和图③，n1，n2分别是二面角α-l-β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ＝_______________________.

二、典例分析

例：如图，四棱锥P-ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，ABBC1AD,BADABC90o,E是PD的中点．

2（1）

证明：直线CE∥平面PAB；

（2）

求BE与AD所成角余弦值；

（3）

求BE与平面PAB所成角正弦值；

（4）

求二面角P-AB-D所成角的余弦值；

（5）

点M在棱PC 上，且直线BM与底面ABCD所成角为1

45o，求二面角MABD的余弦值; （6）

线段PC上是否存在点M，使二面角M-AB-D余弦值为

（2）解由已知得BA⊥AD,以A为坐标原点,的方向为x轴正方向,设AB长度为1,建立如图所示的7.

2空间直角坐标系A-xyz,则A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0),P(0,1,

33D（0，2,0）E（0，，），3 ), 2233

PC=(1,0,-3),AB=(1,0,0)，BE=（-1,,)，AD=（0,2,0）22BE与AD所成角余弦值cos|（3）

BEAD3|=

|BE||AD|42

三、课堂练习练习：如图，在四棱锥

P-ABCD中，PC⊥底面

ABCD，四边形ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB∥CD，AB＝2AD＝2CD＝2，E是PB的中点．

（1）求证：平面EAC⊥平面PBC；

（2）若PC=2，求直线PC与平面EAC所成角余弦值及二面角E-AC-B的余弦值；

（3）若二面角

P-AC-E-的余弦值为EAC所成角的正弦值．

3，求直线PA与平面3

四、小结

1. 当两异面直线的方向向量的夹角为锐角或直角时，就是这两条异面直线所成的角；当两异面直线的方向向量的夹角为钝角时，其补角才是两异面直线所成的角．

2. (1)求出直线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角后(求出是钝角时取其补角)，取其余角即为直线与平面所成的角．

22(2)若求线面角的余弦值，要注意利用平方关系sinθ＋cosθ＝1求出其值．不要误认为直线的方向向量与平面的法向量所成夹角的余弦值即为所求．

3．分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角的大小．

五、作业：

如图，在四棱锥P­ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝∠PAB＝90°，BC1＝CD＝2AD，E为棱AD的中点，异面直线PA与CD所成的角为3

90°.

(1)在平面PAB内找一点M，使得直线CM∥平面PBE，并说明理由；

(2)若二面角P­CD­A的大小为45°，

求直线PA与平面PCE所成角的正弦值．

4