习题4.1教案（名师）

《圆的方程复习课》教学设计

一

本节课的作用

本节课主要是使学生加深对上一节课内容的理解和掌握,并进一步培养学生的计算能力和合作探究能力,并使学生初步了解利用代数方法解决几何问题,使学生感受到数学中代数和几何之间的内在联系,增强学生对数学的兴趣,并为以后学习圆的参数方程打下基础。

二

本节内容分析

本节课是上一节课的延伸和加强,首先回顾圆的标准方程和一般方程,并了解只要能够确定a,b,r或D,E,F三个参数,那么圆的方程也随之确定,让学生自己探究出利用圆的几何性质来求圆的方程,这样避免解方程组,可是使运算得到简化。在解决和圆有关有关的最值问题时,利用代数方法和几何方法两种方法来解决,体现了一题多解,并使学生初步了解代数方法在几何问题中的应用。

三

教学目标

知识与技能目标:(1)理解并掌握求圆的方程的几种解法

(2)会解决和圆有关的最值问题。

(3)初步了解用代数方法解决几何问题。

过程与方法目标:在复习上节课知识的基础上,让学生通过思考,讨论,小组合作,最终总结,归纳出解题方法。

情感态度与价值观目标: 在探索求圆的方程的方法中,培养学生的合作探究精神和创新意识。

四

学情分析

学生在前面已经学习了圆的标准方程和一般方程,对这两种形式已经有了一定的了解,并掌握了一些基础的解题方法,但对和圆有关的一些类型题了解不够,本班学生基础较好,所以在自己小组讨论的过程中,经过教师的稍微点拨,就可以很好掌握本节内容。

五

重点难点

教学重点: 求圆的方程及解决和圆有关的最值问题。

教学难点: 利用代数式所表示的几何意义解决最值问题。

六

教学过程

◆.环节一

知识梳理

师：首先来回忆一下上节课所学内容，找学生回答以下问题

1、圆的定义：

平面内到

的距离等于

的点的集合（轨迹）。

2、圆的标准方程：

其中圆心为

半径为

3、圆的一般方程：

（

其中圆心为

半径为

说明：1，

x2和y2的系数相同，没有xy项

, 2.求圆的一般方程，只需求D，E，F三个参数

3.D2E24F0,方程表示圆

D2E24F0，方程表示点

D2E24F0,方程不表示任何图形4．点与圆的位置关系

点和圆的位置关系有三种。圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，M(x0，y0)，

(1)点在圆上：________________________；

(2)点在圆外：________________________；

(3)点在圆内：________________________。

设计意图:让学生回顾上节课知识,达到复习旧知的目的,可以让学生更快的接受新知识◆

环节二

牛刀小试

在复习完旧知识以后，趁热打铁，让学生抓紧时间完成牛刀小试两道题目。

1．方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆，则a的取值范围是(

) A．a＜－2或a＞223

B．－3＜a＜0 C．－2＜a＜0

D．－2＜a＜23

2．若点(1,1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的内部，则实数a的取值范围是(

) A．－1＜a＜1

B．0＜a＜1 C．a＞1或a＜－1

D．a＝±1 设计意图:检测学生的掌握情况。

◆

环节三

考点一 求圆的方程

）

师:圆是高中数学的一个重要内容,和圆有关的类型题有很多,这节课我们主要学习和圆有关的两种类型题。

【例1】

根据下列条件，求圆的方程：

(1)经过P(－2,4)、Q(3，－1)两点，并且在x轴上截得的弦长等于6；

(2)圆心在直线y＝－4x上，且与直线l：x＋y－1＝0相切于点P(3，－2)。

设计意图:设圆的方程,利用条件得到方程组,通过解方程组得到圆的三个参数。

◆

环节四 探究利用圆的几何性质求圆的方程

师:通过解方程组的方法求圆的方程比较容易理解,但有时方程组不太好解,下面请同学们小组讨论,来寻求运算量小一点的求圆的方程的解法。

(学生小组讨论,教师在下面巡视,并适时予以指导) 学生所找的方法主要是利用圆心和切点的连线与切线垂直,从而利用斜率相乘等于-1,进而求出圆心坐标,再求出半径,写出圆的方程,这种方法避免了解方程组的繁琐。

找几位学生在黑板上展写讨论结果,师生一起对展写内容进行评价,然后一起总结出求圆的方程的方法。

◆

环节五 小结求圆的方程的两种方法

(1)直接法:根据圆的几何性质,直接求出圆心坐标和半径,进而写出方程。

(2)待定系数法:设圆的标准方程或一般方程,依据已知条件列出关于a,b,r或D,E,F的方程组,从而求出a,b,r或D,E,F的值。

◆

环节六 考点二探究与圆有关的最值问题

【例2】

已知实数x、y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0。

（1）求y－x的最大值和最小值；

(2)求x2＋y2的最大值和最小值

(3)求的最大值和最小值。

yx 第一小题可令t=y-x,则t表示直线在y轴上的截距,教师在黑板上画图,引导学生看动直线y=x+t与圆相切时纵截距可取得最大或最小值,利用直线和圆相切时圆心到直线的距离等于半径可列出关于t的方程,解出t,得到y-x的最值。

第二小题看做(x,y)与(0,0)之间距离的平方,通过数形结合,引导学生发现圆心到原点的距离加上半径就可以得到原点和圆上点的距离的最大值,减去半径就可以得到原点和圆上点的距离的最小值。

第三小题可看做圆上的点(x,y)与(0,0)连线的直线的斜率,同样通过图形可观察到当直线与圆相切时,斜率可取得最大或最小值,可采用和第一小题相同的方法求解

设计意图:利用代数式所表示的几何意义求最值问题,向学生渗透数形结合的思想。

◆

环节七 通过三角换元解决例2 师:和圆的方程有关的最值问题中,我们还经常采用三角还原的方法。即令

x23cos,y3sin

则y-x和x2+y2就可以表示成关于sin,cos 的三角函数式。再利用三角函数的最值求解。

设计意图:利用三角换元法求最值是高中数学中经常用的方法,利用代数方法解决几何问题正是体现了数学中内容的内在联系性,也为以后学习圆的参数方程打下了基础。

◆

环节八 小结

与圆有关的最值问题的常见类型及解题策略

与圆有关的最值问题，常见的有以下几种类型：①形如μ＝y－b形式的最值问题，可x－a转化为动直线斜率的最值问题；②形如t＝ax＋by形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；③形如(x－a)＋(y－b)形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题。

22◆

环节九

当堂检测

1．[2015·北京]圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是(

) A．(x－1)2＋(y－1)2＝1

B．(x＋1)2＋(y＋1)2＝1 C．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2

D．(x－1)2＋(y－1)2＝2 2．[2015·课标Ⅱ]已知三点A(1,0)，B(0，3)，C(2，3)，则△ABC外接圆的圆心到原点的距离为(

) 5A.

3B.21254

C.

D.

33333．[2016·孝感模拟]若a∈－2，0，1，4，则方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示的圆的个数为(

) A．0

B．1

C．2

D．3 4．[2015·衡水三模]圆C：(x－1)2＋y2＝25，过点P(2，－1)的圆的所有弦中，以最长弦和最短弦为对角线的四边形的面积是(

) A．1013

B．921

C．1023

D．911 5．[2016·湖北八校联考]已知圆C关于y轴对称，经过点A(1,0)，且被x轴分成两段弧，

弧长之比为1∶2，则圆C的标准方程为________。

七

板书设计

4.1

圆的方程

例1

解法1

例2

解法1

学生展写区

解法2

解法2

八

教学反思

本节课主要采用的是教师讲授和学生小组讨论相结合的教学方法，在教学过程中，教师要积极引导学生思维，注重一题多解，寻求最优解法，打开学生的思路，在教学过程中学生配合也较好，能很好的掌握新知识以及新解法，不足之处是，有些题给学生留的时间有点少，没有让学生得到充分的思考，这点在以后的教学中一定要注意。