信息技术应用 用《几何画板》探究点的轨迹：椭圆教学内容概述

课题：椭圆及其标准方程

教材：人教版（必修）数学第二册(上)第八章第一节

授课教师： 兴业高中

一、教学目标：

1．知识与技能目标：

（1）掌握椭圆定义和标准方程。 （2）能用椭圆的定义解决一些简单的问题。

2．过程与方法目标： （1）通过椭圆定义的归纳和标准方程的推导，培养学生发现规律、认识规律并利用规律解决实际问题的能力。

（2）在椭圆定义的获得和其标准方程的推导过程中进一步渗透数形结合等数学思想和方法。

3．情感态度与价值观目标：

（1）通过椭圆定义的获得培养学生探索数学的兴趣。

（2）通过标准方程的推导培养学生求简意识并能懂得欣赏数学的“简洁美”。

（3）通过师生、生生的合作学习，增强学生团队协作能力的培养，增强主动与他人合作交流的意识。

二、教学重点：椭圆的定义和椭圆的标准方程。

三、教学难点：椭圆标准方程的推导。

四、教学方法：探究式教学法，即教师通过问题诱导→启发讨论→探索结果，引导学生直观观察→归纳抽象→总结规律，使学生在获得知识的同时，能够掌握方法、提升能力。

五、教具准备：多媒体课件和自制教具：绘图板、图钉、细绳。

六、教学过程

（一）设置情景，引出课题

问题：试一试，想一想

用一个平面去截圆锥面，观察截线的情况，并思考：得到什么样的曲线？曲线具有哪些几何特征？

1

（二）认识椭圆，探求规律: 1．对椭圆的感性认识.通过演示课前老师和学生共同准备的有关椭圆的实

物和图片，让学生从感性上认识椭圆。

2．通过动画设计，展示椭圆的形成过程，使学生认识到椭圆是点按一定“规

律”运动的轨迹。

3.问题提出：画椭圆的过程中，动点M满足了什么样的条件？

（三）归纳出椭圆的定义

1. 椭圆定义：平面内与两个定点F1,F2距离的和等于常数（大于F1F2）的点

的轨迹叫做椭圆。

M 1、椭圆的定义：

F1F2

教师指出：这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫椭圆的焦距。

|MF1|+|MF2|=2a

，

F1F2=2c, 2a>2c时为椭圆

2．思考：平面内到两定点之间的距离等于定长的点的轨迹都是椭圆吗？

结论：

（若P为动点，F1、F2为定点，PF）

1PF2为定长，

１）当PF1PF2FF12时，P点的轨迹是椭圆。

２）当PF1F2

1PF2FF12时，P点的轨迹是一条线段F３）当时PF1PF2FF12,Ｐ点没有轨迹。

（四）椭圆标准方程的推导：

1．回顾：求曲线方程的一般步骤：建系、设点、列式、代坐标、化简证明。

2．提问：如何建系，使求出的方程最简？

由各小组讨论，请小组代表汇报研讨结果。

①建系：以F1,F2所在直线为x轴，以线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系。

2

②设点：设M(x,y)是椭圆上任意一点，为了使F1,F2的坐标简单及化简过程不那么繁杂，设|F1F2|=2c(c>0)，则F1(-c,0),F2(c,0)

设M与两定点F1,F2的距离的和等于2a

③列式：|MF1|+|MF2|=2a

∴(x+c)2+y2+(x-c)2+y2=2a,

④化简：（这里，教师为突破难点，进行设问：我们怎么化简带根式的式子？对于本式是直接平方好还是整理后再平方好呢？）

(x+c)2+y2=2a-(x-c)2+y2

两边平方，得：(x+c)2+y2=4a2-4a(x-c)2+y2+(x-c)2+y2

即a2-cx=a(x-c)2+y2

两边平方，得：a4-2a2cx+c2x2=a2(x-c)2+a2y2

整理，得：(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2)

令a2-c2=b2(b>0)，则方程可简化为：b2x2a2y2a2b2

x2y2整理成：221(ab0)

abx2y2指出：方程221(ab0)叫做椭圆的标准方程，焦点在x轴上，焦点是abF1(c,0),F2(c,0),c2a2b2

讨论：如果以F1,F2所在直线为y轴，线段F1F2的垂直平分线为x轴，建立直角坐标系，焦点是F1(0,c),F2(0,c)，椭圆的方程又如何呢？

y2x2根据同学发言并演示动画进行讨论得出：221(ab0)为椭圆的另一标准ab方程，即焦点在y轴上的标准方程。

x2y2y2x2教师指出：我们所得的两个方程2+2=1和2+2=1（ab0）都是椭圆的abba标准方程。

3

3.在归纳总结。

标准方程

x2y2+2=1(ab0)

2aby2x2+2=1(ab0)

2bay

图形

y M F2F2

x F1

O

M O x F1a,b,c关系

焦点坐标

焦点位置

b2a2c2

b2a2c2

(c,0)

(0,c)

在x轴上

在y轴上

x2y21,求a,b,c及焦点坐标。

练习：

已知椭圆的标准方程为2516解：∵a225，b216

∴a=5,

b=4 又

c2a2b225169

∴c=3

∴

焦点坐标为（－3，0）和（3，0）

x2y21,求a,b,c及焦点坐标。

变式：已知椭圆的标准方程为1625答案：a=5, b=4, c=3焦点坐标为（0，－3）和（0，3）

（五）例题研讨，变式精析

例1．椭圆的两个焦点的坐标分别是（－4，0）、（4，0），椭圆上一点P到两焦点距离之和等于10，求椭圆的标准方程。

解：

∵椭圆的焦点在x轴上

x2y2∴设它的标准方程为: 2+2=1（ab0）

ab∵

2a=10, 2c=8 ∴

a=5, c=4 ∴b2a2c225169

x2y21∴所求椭圆的标准方程为

2594

35例2．已知椭圆的两个焦点的坐标分别是（0，－2）、（0，2），并且经过点(,).求22它的标准方程。

y2x2解：因为椭圆的焦点y在轴上，所以设它的标准方程为2+2=1（ab0）

ba由椭圆的定义知

3535312a()2(2)2()2(2)21010210

222222a10

又c=2

b2a2c21046

y2x21

∴所求椭圆的标准方程为106111变式引申：求焦点在y轴上，且经过点A(,)、B（0,)的椭圆的标准方程。

233y2x2解：因为椭圆的焦点y在轴上，所以设它的标准方程为2+2=1（ab0）

ba111y2x2分别将点A(,)、B（0,)代入2+2=1得

233ba1212()()32131a22a4b

解得

11b2()22512ay2x21

∴所求椭圆的标准方程为1145想一想：如果把上题中的“焦点在y轴上”删去，又怎样做呢？

小结：求曲线方程的方法：1. 定义法：如果所给几何条件正好符合某一特定的曲线（圆，椭圆等）的定义，则可直接利用定义写出动点的轨迹方程。

2. 待定系数法：所求曲线方程的类型已知，则可以设出所求曲线的方程，然后根据条件求出系数.用待定系数法求椭圆方程时，要“先定型，再定量”。

（六）课堂练习，巩固提高

5

x2y21．已知椭圆方程为1，则这个椭圆的焦距为（

A

）

2332（A）6

（B）3

（C）35

（D）65

2．F1,F2是定点，且|F1F2|6，动点M满足|MF1||MF2|6，则点M的轨迹是（

D ）

（A）椭圆

（B）直线

（C）圆

（D）线段

x2y23．已知椭圆1上一点P到椭圆一个焦点的距离为3，则P到另一焦点的距离2516为（

D ）

（A）2

（B）3

（C）5

（D）7 4. 写出适合下列条件的椭圆标准方程

（1）a=4, b=1,焦点在x轴上

（2）a=4,c=15,焦点在y轴上

(3)a+b=10,c=25

x2y22y1

（2）x21

答案：（1）1616x2y2y2x21或1

（3）36163616（七）课堂小结

（1）一个概念：椭圆的概念|MF1|+|MF2|=2a（2a>

F1F2）

x2y2y2x2（2）两个方程：2+2=1和2+2=1（ab0）

abba（3）两个方法：去根号的方法；求标准方程的方法

（八）作业训练，巩固提高

1.课本第96页习题§8.1第3题、第4题。

2.课后思考题：

x2y2已知F1,F2是椭圆221(ab0)的两个焦点，AB是过F1的弦，则ABF1周长是ab（B）

（A）2a

（B）4a

（C）8a

（D）2a+2b 6

（九）板书设计

§8.1椭圆及其标准方程

一

椭圆的定义

二

椭圆的标准方程

教学设计说明

椭圆是圆锥曲线中重要的一种，本节内容的学习是后继学习其它圆锥曲线的基础，坐标法是解析几何中的重要数学方法，椭圆方程的推导是利用坐标法求曲线方程的很好应用实例。本节课内容的学习能很好地在课堂教学中展现新课程的理念，主要采用学生自主探究学习的方式，使培养学生的探索精神和创新能力的教学思想贯穿于本节课教学设计的始终。

椭圆是生活中常见的图形，通过实验演示，创设生动而直观的情境，使学生亲身体会椭圆与生活联系，有助于激发学生对椭圆知识的学习兴趣；在椭圆概念引入的过程中，不仅动画画出椭圆的方式，还采用学生动手画椭圆并合作探究的学习方式，让学生亲身经历椭圆概念形成的数学化过程，有利于培养学生观察分析、抽象概括的能力。

椭圆方程的化简是学生从未经历的问题，方程的推导过程采用学生分组探究，师生共同研讨方程的化简和方程的特征，可以让学生主体参与椭圆方程建立的具体过程，使学生真正了解椭圆标准方程的来源，并在这种师生尝试探究、合作讨论的活动中，使学生体会成功的快乐，提高学生的数学探究能力，培养学生独立主动获取知识的能力。

设计例题、习题的研讨探究变式训练，是为了让学生能灵活地运用椭圆的知识解决问题，同时也是为了更好地调动、活跃学生的思维，发展学生数学思维能力，让学生在解决问题中发展学生的数学应用意识和创新能力，同时培养学生大胆实践、勇于探索的精神，开阔学生知识应用视野。

椭圆标准方程的推导

例一

例二

变式引申

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