3.4 生活中的优化问题举例第一课时教学实录

生活中的优化问题举例

几何中的最值问题

[典例]

有一块边长为a的正方形铁板，现从铁板的四个角各截去一个相同的小正方形，做成一个长方体形的无盖容器．为使其容积最大，截下的小正方形边长应为多少？

[解]

设截下的小正方形边长为x，容器容积为V(x)，则做成的长方体形无盖容器底面边长为a－2x，高为x，

aV(x)＝(a－2x)2x,0

实际问题归结为求V(x)在区间2a0，内，

为此，先求V(x)的极值点．在开区间2V′(x)＝12x2－8ax＋a2. 令V′(x)＝0，得12x2－8ax＋a2＝0. 11解得x1＝a，x2＝a(舍去)．

62a10，内，x1可能是极值点．且

x1＝a在区间26当00；

a当x1

1即当截下的小正方形边长为a时，容积最大．

6

1．利用导数解决实际问题中的最值的一般步骤

(1)分析实际问题中各量之间的关系，找出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式y＝f(x)；

(2)求函数的导数f′(x)，解方程f′(x)＝0；

(3)比较函数在区间端点和极值点的函数值大小，最大(小)者为最大(小)值；

(4)把所得数学结论回归到数学问题中，看是否符合实际情况并下结论．

2．几何中最值问题的求解思路

面积、体积(容积)最大，周长最短，距离最小等实际几何问题，求解时先设出恰当的变量，将待求解最值的问题表示为变量的函数，再按函数求最值的方法求解，最后检验．

[活学活用] 1．已知圆柱的表面积为定值S，当圆柱的容积V最大时，圆柱的高h的值为________．

解析：设圆柱的底面半径为r，

则S圆柱底＝2πr2，

S圆柱侧＝2πrh，

∴圆柱的表面积S＝2πr2＋2πrh. S－2πr2∴h＝，

2πrrS－2πrr又圆柱的体积V＝πrh＝(S－2πr2)＝，

2223S－6πr2V′(r)＝，

2令V′(r)＝0得S＝6πr2，∴h＝2r，因为V′(r)只有一个极值点，故当h＝2r时圆柱的容积量大．

又r＝S，∴h＝26πS6πS＝. 6π3π6πS. 3π即当圆柱的容积V最大时，圆柱的高h为答案：6πS

3π2．将一段长为100 cm的铁丝截成两段，一段弯成正方形，一段弯成圆，问如何截可使正方形与圆面积之和最小？

解：设弯成圆的一段长为x(0＜x＜100)，另一段长为100－x，记正方形与圆的面积之x2100－x2x1和为S，则S＝π＋(0＜x＜100)，则S′＝－(100－x)．

2π42π8令S′＝0，则x＝100π. π＋4由于在(0,100)内函数只有一个导数为零的点，问题中面积之和最小值显然存在，故当x

100π＝

cm时，面积之和最小．

π＋4故当截得弯成圆的一段长为

[典例]

某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距m米，余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩．经测算，一个桥墩的工程费用为256万元；距离为x米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2＋x)x万元．假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为y万元．

(1)试写出y关于x的函数关系式；

(2)当m＝640米时，需新建多少个桥墩才能使y最小？

[解]

(1)设需新建n个桥墩，则(n＋1)x＝m，

m即n＝－1. x所以y＝f(x)＝256n＋(n＋1)(2＋x)x

mm＝256x－1＋x(2＋x)x

＝256m＋mx＋2m－256. x256m11m332＋mx－＝2(x－512)．令f′(x)＝0，得x＝512，所以x222x22用料、费用最少问题

100π

cm时，两种图形面积之和最小．

π＋4(2)由(1)知，f′(x)＝－x＝64. 当0

当640，f(x)在区间(64,640)内为增函数，

所以f(x)在x＝64处取得最小值．

m640此时n＝－1＝－1＝9. x64故需新建9个桥墩才能使y最小．

费用、用料最省问题是日常生活中常见的问题之一，解决这类问题要明确自变量的意义以及最值问题所研究的对象．正确书写函数表达式，准确求导，结合实际做答．

[活学活用] 某工厂要围建一个面积为128 m2的矩形堆料场，一边可以用原有的墙壁，其它三边要砌新的墙壁，要使砌墙所用的材料最省，则堆料场的长、宽应分别是多少？

解：设场地宽为x m，则长为128

m，

x128因此新墙总长度为y＝2x＋x(x＞0)，

y′＝2－128，令y′＝0，∵x>0，∴x＝8. x2因为当0＜x＜8时，y′＜0；当x＞8时，y′＞0，

所以当x＝8时，y取最小值，此时宽为8 m，长为16 m. 即当堆料场的长为16 m，宽为8 m时，可使砌墙所用材料最省.

[典例]

某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售a价格x(单位：元/千克)满足关系式y＝＋10(x－6)2.其中3＜x＜6，a为常数．已知销售x－3价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克．

(1)求a的值；

(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．

[解]

(1)因为x＝5时，y＝11，

a所以＋10＝11，a＝2. 2(2)由(1)可知，该商品每日的销售量y＝2＋10(x－6)2，

x－3利润最大问题

所以商场每日销售该商品所获得的利润

22f(x)＝(x－3)x－3＋10x－6＝2＋10(x－3)·(x－6)2,3＜x＜6. 从而f′(x)＝10[(x－6)2＋2(x－3)(x－6)] ＝30(x－4)(x－6)．

于是，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：

x f′(x)

f(x)

由上表可得，x＝4是函数f(x)在区间(3,6)内的极大值点，也是最大值点．

所以当x＝4时，函数f(x)取得最大值，且最大值等于42. 即当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大．

(3,4)

＋

单调递增↗

4

0

极大值42

(4,6) －

单调递减↘

1．经济生活中优化问题的解法

经济生活中要分析生产的成本与利润及利润增减的快慢，以产量或单价为自变量很容易建立函数关系，从而可以利用导数来分析、研究、指导生产活动．

2．关于利润问题常用的两个等量关系

(1)利润＝收入－成本．

(2)利润＝每件产品的利润×销售件数．

[活学活用] 6－x，0c，(1)将日盈利额y(万元)表示为日产量x(万件)的函数；

次品数(2)为使日盈利额最大，日产量应为多少万件？(注：次品率＝×100%) 产品总数22231－·解：(1)当x>c时，p＝，y＝x·3－·x·＝0；

3332当0

6－x21

(c为常数，且0

11339x－2x∴y＝1－6－x·x·3－·x·＝. 6－x226－x∴日盈利额y(万元)与日产量x(万件)的函数关系为

39x－2x，0

0，x>c，(2)由(1)知，当x>c时，日盈利额为0. 39x－2x2当0

26－x239－4x6－x＋9x－2x3x－3x－9∴y′＝·＝，

26－x26－x22

令y′＝0，得x＝3或x＝9(舍去)，

39c－2c2∴①当00，∴y在区间(0，c]上单调递增，∴y最大值＝f(c)＝. 26－c②当3≤c<6时，在(0,3)上，y′>0，在(3，c)上，y′<0，∴y在(0,3)上单调递增，在(3，c)上单调递减．

9∴y最大值＝f(3)＝. 2

综上，若0

层级一

学业水平达标

1．福建炼油厂某分厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，如果第x小时时，1原油温度(单位：℃)为f(x)＝x3－x2＋8(0≤x≤5)，那么原油温度的瞬时变化率的最小值是3(

) A．8

C．－1 20

B.

3

D．－8 解析：选C

瞬时变化率即为f′(x)＝x2－2x为二次函数，且f′(x)＝(x－1)2－1，又x∈[0,5]，故x＝1时，f′(x)min＝－1. 2．把一段长为12 cm的细铁丝锯成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角形面积之和的最小值是(

) 33A.

cm2

2C．32 cm2

B．4 cm2

D．23 cm2

解析：选D

设一段为x，则另一段为12－x(0＜x＜12)，

21x23112－x2332x8x348x－. 则S(x)＝×3×＋××＝9－3＋16，∴S′(x)＝222324493令S′(x)＝0，得x＝6，

当x∈(0,6)时，S′(x)＜0，

当x∈(6,12)时，S′(x)＞0，

∴当x＝6时，S(x)最小．

∴S＝8312××62－×6＋16＝23(cm2)．

3493．某公司生产某种产品，固定成本为20 000元，每生产一单位产品，成本增加100元，1400x－2x20≤x≤400，已知总收益R与年产量x的关系是R(x)＝则总利润最大时，每80 000x>400，年生产的产品是(

) A．100 C．200

B．150

D．300

解析：选D

由题意，总成本为：C＝20 000＋100x，所以总利润为P＝R－C＝

x300x－2－20 000，0≤x≤400，

60 000－100x，x>400，300－x，0≤x≤400，P′＝令P′＝0，当0≤x≤400时，得x＝300；当x>400时，－100，x>400，2

P′<0恒成立，易知当x＝300时，总利润最大．

4．设正三棱柱的体积为V，那么其表面积最小时，底面边长为(

) A.4V

3C.4V

3

B．2V

1

D.V

24V，

3x2解析：选C

设底面边长为x，则高为h＝∴S表＝3×4V3243V32×x＋2×x＝＋x，

x423x243V＋3x，

x2∴S表′＝－3令S表′＝0，得x＝4V. 3经检验知，当x＝4V时，S表取得最小值．

5．内接于半径为R的球且体积最大的圆锥的高为(

) A．R

4C.R

3

B．2R

3

D.R

4解析：选C

设圆锥高为h，底面半径为r，则R2＝(h－R)2＋r2，∴r2＝2Rh－h2，∴V4R1π2π44＝πr2h＝h(2Rh－h2)＝πRh2－h3，V′＝πRh－πh2.令V′＝0得h＝R. 当00；当4R4

解析：设甲地销售x辆，则乙地销售(15－x)辆．

总利润L＝5.06x－0.15x2＋2(15－x) ＝－0.15x2＋3.06x＋30(x≥0)．

令L′＝－0.3x＋3.06＝0，得x＝10.2. ∴当x＝10时，L有最大值45.6.

答案：45.6 7．如图，内接于抛物线y＝1－x2的矩形ABCD，其中A，B在抛物线上运动，C，D在x轴上运动，则此矩形的面积的最大值是________．

xxx，0，点B坐标为，1－，

解析：设CD＝x，则点C坐标为224∴矩形ABCD的面积

221－x

S＝f(x)＝x·4x3＝－＋x，x∈(0,2)．

43由f′(x)＝－x2＋1＝0，

4得x1＝－22(舍)，x2＝，

3320，∴x∈时，f′(x)＞0，f(x)是递增的，

3x∈2，2时，f′(x)＜0，f(x)是递减的，

3243时，f(x)取最大值. 9343

9当x＝答案：28．某厂生产某种产品x件的总成本：C(x)＝1 200＋x3，又产品单价的平方与产品件75数x成反比，生产100件这样的产品的单价为50元，总利润最大时，产量应定为__________件．

解析：设产品单价为a元，又产品单价的平方与产品件数x成反比，即a2x＝k，由题500知a＝. x总利润y＝500x－y′＝23x－1 200(x>0)，

7525022－x，由y′＝0，得x＝25，x∈(0,25)时，

x25y′>0，x∈(25，＋∞)时，y′<0，所以x＝25时，

y取最大值．

答案：25 9．为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每

年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：C(x)＝k3x＋5(0≤x≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元，设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．

(1)求k的值及f(x)的表达式；

(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值．

解：(1)设隔热层厚度为x

cm，由题设，每年能源消耗费用为C(x)＝＝8，得k＝40，

因此C(x)＝40. 3x＋5k，再由C(0)3x＋5而建造费用为C1(x)＝6x. 最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为

40f(x)＝20C(x)＋C1(x)＝20×＋6x

3x＋5＝800＋6x(0≤x≤10)．

3x＋52 400，

3x＋522 400＝6，

3x＋52(2)f′(x)＝6－令f′(x)＝0，即25解得x＝5，x＝－(舍去)．

3当00，

故x＝5是f(x)的最小值点，对应的最小值为

f(5)＝6×5＋800＝70. 15＋5当隔热层修建5 cm厚时，总费用达到最小值70万元．

10．某厂生产某种电子元件，如果生产出一件正品，可获利200元，如果生产出一件次品，则损失100元．已知该厂制造电子元件过程中，次品率p与日产量x的函数关系是：p＝3x(x∈N*)．

4x＋32(1)写出该厂的日盈利额T(元)用日产量x(件)表示的函数关系式；

(2)为获最大日盈利，该厂的日产量应定为多少件？

解：(1)由题意可知次品率p＝日产次品数/日产量，每天生产x件，次品数为xp，正品数为x(1－p)．

因为次品率p＝3x，当每天生产x件时，

4x＋32

3x3x有x·件次品，有x1－4x＋32件正品．

4x＋323x3x所以T＝200x1－4x＋32－100x·

4x＋3264x－x2＝25·(x∈N*)．

x＋8x＋32·x－16(2)T′＝－25·，

x＋82由T′＝0得x＝16或x＝－32(舍去)．

当0

层级二

应试能力达标

1．已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为y1＝－x3＋81x－234，则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为(

) 3A．13万件

C．9万件

B．11万件

D．7万件

解析：选C

y′＝－x2＋81，令y′＝0，解得x＝9或x＝－9(舍去)，当0＜x＜9时，y′＞0；当x＞9时，y′＜0. 所以当x＝9时，y取得最大值．

2．若一球的半径为r，作内接于球的圆柱，则圆柱侧面积的最大值为(

) A．2πr2

C．4πr2

B．πr2

1

D.πr2

2解析：选A

设内接圆柱的底面半径为r1，高为t，

22则S＝2πr1t＝2πr12r2－r21＝4πr1r－r1. 4224∴S＝4πr2r21－r1. 令(rr1－r1)′＝0得r1＝2r. 2此时S＝4π·2r·2r2－2r2＝4π·2r·2r＝2πr2. 2223．某商品一件的成本为30元，在某段时间内若以每件x元出售，可卖出(200－x)件，要使利润最大每件定价为(

) A．80元

C．90元

B．85元

D．95元

解析：选B

设每件商品定价x元，依题意可得

利润为L＝x(200－x)－30x＝－x2＋170x(0＜x＜200)．

L′＝－2x＋170，令－2x＋170＝0，解得x＝170＝85. 2

因为在(0,200)内L只有一个极值，所以以每件85元出售时利润最大．

4．内接于半径为R的半圆的周长最大的矩形的宽和长分别为(

) R3A.和R

2247C.R和R

55

B.545R和R

55

D．以上都不对

解析：选B

设矩形的宽为x，则长为2R2－x2，

则l＝2x＋4R2－x2(0

R2－x255R，x2＝－R(舍去)．

5555R时，l′>0，当R

555545R时，l取最大值，即周长最大的矩形的宽和长分别为R，R. 555所以当x＝5．某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元/次，一年的总存储费为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x＝________吨．

400解析：设该公司一年内总共购买n次货物，则n＝x，

∴总运费与总存储费之和f(x)＝4n＋4x＝＝20，x＝－20(舍去)，

x＝20是函数f(x)的最小值点，故当x＝20时，f(x)最小．

答案：20

6.一个帐篷，它下部的形状是高为1 m的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3 m的正六棱锥(如图所示)．当帐篷的顶点O到底面中心O1的距离为__________ m时，帐篷的体积最大．

解析：设OO1为x m，底面正六边形的面积为S m2，帐篷的体积为V m3. 则由题设可得正六棱锥底面边长为32－x－12＝8＋2x－x2(m)，于是底面正六边形的面积为S＝6×333(8＋2x－x2)2＝(8＋2x－x2)．

42帐篷的体积为

13333V＝×(8＋2x－x2)(x－1)＋(8＋2x－x2) 3221 6001 600＋4x，令f′(x)＝4－2＝0，解得xxx

＝＝3(8＋2x－x2)[x－1＋3]

23(16＋12x－x3)，

23(12－3x2)．

2V′＝令V′＝0，解得x＝2或x＝－2(不合题意，舍去)．

当1＜x＜2时，V′＞0；当2＜x＜4时，V′＜0. 所以当x＝2时，V最大．

答案：2 7．某集团为了获得更大的收益，每年要投入一定的资金用于广告促销，经调查，每年投入广告费t(百万元)，可增加销售额约为－t2＋5t(百万元)(0≤t≤3)．

(1)若该公司将当年的广告费控制在3百万元之内，则应投入多少广告费，才能使该公司由此获得的收益最大？

(2)现该公司准备共投入3百万元，分别用于广告促销和技术改造，经预测，每投入技1术改造费x百万元，可增加的销售额约为－x3＋x2＋3x(百万元)．请设计一个资金分配方案，3使该公司由此获得的收益最大．(收益＝销售额－投入) 解：(1)设投入t(百万元)的广告费后增加的收益为f(t)，

则有f(t)＝(－t2＋5t)－t＝－t2＋4t＝－(t－2)2＋4(0≤t≤3)，

∴当t＝2时，f(t)取得最大值4，即投入2百万元的广告费时，该公司由此获得的收益最大．

(2)设用于技术改造的资金为x(百万元)，

则用于广告促销的资金为(3－x)(百万元)，又设由此获得的收益是g(x)(百万元)，

11－x3＋x2＋3x＋[－(3－x)2＋5(3－x)]－3＝－x3＋4x＋3(0≤x≤3)，

则g(x)＝33∴g′(x)＝－x2＋4，

令g′(x)＝0，解得x＝－2(舍去)或x＝2. 又当0≤x<2时，g′(x)>0；当2

∴当x＝2时，g(x)取得最大值，即将2百万元用于技术改造，1百万元用于广告促销，该公司由此获得的收益最大．

8．统计表明某型号汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y(升)关于行驶速度x(千米/小时)的函数为y＝13x3－x＋8(0

128 00080(1)当x＝64千米/小时时，行驶100千米耗油量多少升？

(2)若油箱有22.5升油，则该型号汽车最多行驶多少千米？

解：(1)当x＝64千米/小时时，要行驶100千米需要10025＝小时，要耗油

64161×643－3×64＋8×25＝11.95(升)．

80128 00016(2)设22.5升油能使该型号汽车行驶a千米，由题意得，

1x3－3x＋8×a＝22.5，

80128 000x∴a＝22.5183x2＋x－128 00080，

设h(x)＝183x2＋x－，

128 00080则当h(x)最小时，a取最大值，

3318x－80h′(x)＝x－＝，

64 000x264 000x2令h′(x)＝0⇒x＝80，

当x∈(0,80)时，h′(x)<0，

当x∈(80,120)时，h′(x)>0，

故当x∈(0,80)时，函数h(x)为减函数，

当x∈(80,120)时，函数h(x)为增函数，

∴当x＝80时，h(x)取得最小值，此时a取最大值为

a＝22.5183×802＋－128 0008080＝200. 故若油箱有22.5升油，则该型号汽车最多行驶200千米．

(时间：

120分钟

满分：150分) 一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．以正弦曲线y＝sin x上一点P为切点的切线为直线l，则直线l的倾斜角的范围是(

) π3π0，∪，π

A.44π3πC.4，4

B．[0，π)

ππ3π0，∪，

D.424解析：选A

y′＝cos x，∵cos x∈[－1,1]，∴切线的斜率范围是[－1,1]，∴倾斜角的π3π0，∪，π. 范围是44

2．函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内有极小值点(

)

A．1个

C．3个

B．2个

D．4个

解析：选A

设极值点依次为x1，x2，x3且a＜x1＜x2＜x3＜b，则f(x)在(a，x1)，(x2，x3)上递增，在(x1，x2)，(x3，b)上递减，因此，x1，x3是极大值点，只有x2是极小值点．

3．函数f(x)＝x2－ln x的单调递减区间是(

) A. 0，

B.2

22，＋∞

222，0，

22C. －∞，－D.－22

，

0，0，

22212x－12解析：选A

∵f′(x)＝2x－＝，当0＜x≤时，f′(x)≤0，故f(x)的单调递xx2减区间为0，2. 24．函数f(x)＝3x－4x3(x∈[0,1])的最大值是(

) A．1 C．0 1

B.

2

D．－1 解析：选A

f′(x)＝3－12x2，令f′(x)＝0，

11则x＝－(舍去)或x＝，f(0)＝0，f(1)＝－1，

22131f2＝2－2＝1，∴f(x)在[0,1]上的最大值为1. 5.已知函数f(x)的导函数f′(x)＝a(x－b)2＋c的图象如图所示，则函数f(x)的图象可能是(

)

解析：选D

由导函数图象可知，当x<0时，函数f(x)递减，排除A、B；当0

时，f′(x)>0，函数f(x)递增．因此，当x＝0时，f(x)取得极小值，故选D. 16．定义域为R的函数f(x)满足f(1)＝1，且f(x)的导函数f′(x)>，则满足2f(x)

) A．{x|－11}

B．{x|x<1}

D．{x|x>1} 1解析：选B

令g(x)＝2f(x)－x－1，∵f′(x)>，

2∴g′(x)＝2f′(x)－1>0，∴g(x)为单调增函数，

∵f(1)＝1，∴g(1)＝2f(1)－1－1＝0，∴当x<1时，

g(x)<0，即2f(x)

) A．6千台

C．8千台

B．7千台

D．9千台

解析：选A

设利润为y，则y＝y1－y2＝17x2－(2x3－x2)＝18x2－2x3，y′＝36x－6x2，令y′＝0得x＝6或x＝0(舍)，f(x)在(0,6)上是增函数，在(6，＋∞)上是减函数，∴x＝6时y取得最大值．

8．已知定义在R上的函数f(x)，f(x)＋x·f′(x)＜0，若a＜b，则一定有(

) A．af(a)＜bf(b) C．af(a)＞bf(b)

B．af(b)＜bf(a)

D．af(b)＞bf(a) 解析：选C

[x·f(x)]′＝x′f(x)＋x·f′(x)＝f(x)＋x·f′(x)＜0，

∴函数x·f(x)是R上的减函数，

∵a＜b，∴af(a)＞bf(b)．

二、填空题(本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．请把正确答案填在题中横线上) 9．函数f(x)＝x3＋ax2＋3x－9，已知f(x)在x＝－3处取得极值，则a＝________. 解析：f′(x)＝3x2＋2ax＋3，∵f′(－3)＝0. ∴3×(－3)2＋2a×(－3)＋3＝0，∴a＝5. 答案：5 110．若f(x)＝x3－f′(1)x2＋x＋5，则f′(1)＝________，f′(2)＝________. 3227解析：f′(x)＝x2－2f′(1)x＋1，令x＝1，得f′(1)＝，∴f′(2)＝22－2××2＋1＝. 33327答案：

33

11．函数y＝ln(x2－x－2)的定义域为________，单调递减区间为________．

解析：由题意，x2－x－2＞0，解得x＜－1或x＞2，故函数y＝ln(x2－x－2)的定义域为(－∞，－1)∪(2，＋∞)，

1令f(x)＝x2－x－2，f′(x)＝2x－1＜0，得x＜，

2∴函数y＝ln(x2－x－2)的单调递减区间为(－∞，－1)．

答案：(－∞，－1)∪(2，＋∞)

(－∞，－1) 12．函数y＝x3－6x＋a的极大值为________，极小值为________．

解析：y′＝3x2－6＝3(x＋2)(x－2)，

令y′＞0，得x＞2或x＜－2，

令y′＜0，得－2＜x＜2，

∴当x＝－2时取得极大值a＋42，

当x＝2时取得极小值a－42. 答案：a＋42

a－42 13．已知函数y＝x3＋ax2＋bx＋27在x＝－1处有极大值，在x＝3处有极小值，则a＝________，b＝________. 解析：y′＝3x2＋2ax＋b，方程y′＝0有根－1及3，

由根与系数的关系得，

b－3＝3，2a－1＋3＝－，3

a＝－3，∴

b＝－9.

答案：－3

－9 ππ－，时，f(x)＝x＋sin x，设a＝f(1)，14．已知函数f(x)满足f(x)＝f(π－x)，且当x∈22b＝f(2)，c＝f(3)，则a，b，c的大小关系是________．

解析：f(2)＝f(π－2)，f(3)＝f(π－3)，

因为f′(x)＝1＋cos x≥0，

ππ－，上是增函数，

故f(x)在22π∵>π－2>1>π－3>0，

2∴f(π－2)>f(1)>f(π－3)，即c

15．若函数f(x)＝4x在区间(m,2m＋1)上单调递增，则实数m的取值范围是x＋12

__________．

4－4x2解析：f′(x)＝2，令f′(x)＞0，得－1＜x＜1，

x＋12即函数f(x)的增区间为(－1,1)．

又f(x)在(m,2m＋1)上单调递增，

m≥－1，所以m＜2m＋1，2m＋1≤1.答案：(－1,0] 三、解答题(本大题共5小题，共74分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 16．(本小题满分14分)已知函数f(x)＝ax3＋bx2－3x在x＝±1处取得极值．

(1)讨论f(1)和f(－1)是函数f(x)的极大值还是极小值；

(2)过点A(0,16)作曲线y＝f(x)的切线，求此切线方程．

解：(1)f′(x)＝3ax2＋2bx－3，依题意，

3a＋2b－3＝0，f′(1)＝f′(－1)＝0，即

3a－2b－3＝0，

解得－1＜m≤0.

解得a＝1，b＝0. ∴f(x)＝x3－3x，f′(x)＝3x2－3＝3(x－1)(x＋1)．

令f′(x)＝0，得x＝－1或x＝1. 若x∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)，则f′(x)＞0，

故f(x)在(－∞，－1)上是增函数，f(x)在(1，＋∞)上是增函数．

若x∈(－1,1)，则f′(x)＜0，故f(x)在(－1,1)上是减函数．

∴f(－1)＝2是极大值；f(1)＝－2是极小值．

(2)曲线方程为y＝x3－3x.点A(0,16)不在曲线上．

设切点为M(x0，y0)，则点M的坐标满足y0＝x30－3x0. ∵f′(x0)＝3(x20－1)，

故切线的方程为y－y0＝3(x20－1)(x－x0)．

2注意到点A(0,16)在切线上，有16－(x30－3x0)＝3(x0－1)(0－x0)．

化简得x30＝－8，解得x0＝－2. ∴切点为M(－2，－2)，切线方程为9x－y＋16＝0. 17. (本小题满分15分)设函数f(x)＝xeax＋bx，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程－为y＝(e－1)x＋4. (1)求a，b的值；

(2)求f(x)的单调区间．

解：(1)因为f(x)＝xeax＋bx，

－所以f′(x)＝(1－x)eax＋b. －a2f2＝2e＋2，2e＋2b＝2e＋2，依题设有即a－2

f′2＝e－1，－e＋b＝e－1.－

a＝2，解得

b＝e.

－(2)由(1)知f(x)＝xe2x＋ex. －由f′(x)＝e2x(1－x＋ex1)及e2x>0知，

－－f′(x)与1－x＋ex－1－同号．

－令g(x)＝1－x＋ex1，则g′(x)＝－1＋ex1. 所以当x∈(－∞，1)时，g′(x)<0，

g(x)在区间(－∞，1)上单调递减；

当x∈(1，＋∞)时，g′(x)>0，

g(x)在区间(1，＋∞)上单调递增．

故g(1)＝1是g(x)在区间(－∞，＋∞)上的最小值，

从而g(x)>0，x∈(－∞，＋∞)．

综上可知，f′(x)>0，x∈(－∞，＋∞)，

故f(x)的单调递增区间为(－∞，＋∞)．

18．(本小题满分15分)某个体户计划经销A，B两种商品，据调查统计，当投资额为x(x≥0)万元时，在经销A，B商品中所获得的收益分别为f(x)万元与g(x)万元，其中f(x)＝a(x－1)＋2，g(x)＝6ln(x＋b)(a＞0，b＞0)．已知投资额为零时收益为零．

(1)求a，b的值；

(2)如果该个体户准备投入5万元经销这两种商品，请你帮他制定一个资金投入方案，使他能获得最大利润．

解：(1)由投资额为零时收益为零，

可知f(0)＝－a＋2＝0，g(0)＝6ln b＝0，

解得a＝2，b＝1. (2)由(1)可得f(x)＝2x，g(x)＝6ln(x＋1)．

设投入经销B商品的资金为x万元(0＜x≤5)，

则投入经销A商品的资金为(5－x)万元，

设所获得的收益为S(x)万元，

则S(x)＝2(5－x)＋6ln(x＋1) ＝6ln(x＋1)－2x＋10(0＜x≤5)．

S′(x)＝6－2，令S′(x)＝0，得x＝2. x＋1当0＜x＜2时，S′(x)＞0，函数S(x)单调递增；

当2＜x≤5时，S′(x)＜0，函数S(x)单调递减．

所以当x＝2时，函数S(x)取得最大值，

S(x)max＝S(2)＝6ln 3＋6≈12.6万元．

所以，当投入经销A商品3万元，B商品2万元时，

他可获得最大收益，收益的最大值约为12.6万元．

19．(本小题满分15分)已知函数f(x)＝ax2＋2ln(1－x)(a为常数)．

(1)若f(x)在x＝－1处有极值，求a的值并判断x＝－1是极大值点还是极小值点；

(2)若f(x)在[－3，－2]上是增函数，求a的取值范围．

解：(1)f′(x)＝2ax－2，x∈(－∞，1)，

1－xf′(－1)＝－2a－1＝0，

1所以a＝－. 2f′(x)＝－x－x＋1x－22＝. 1－x1－x∵x<1，∴1－x>0，x－2<0，

因此，当x<－1时f′(x)>0，

当－1

∴x＝－1是f(x)的极大值点．

(2)由题意f′(x)≥0在x∈[－3，－2]上恒成立，

即2ax－2≥0在x∈[－3，－2]上恒成立

1－x1∴a≤在x∈[－3，－2]上恒成立，

－x2＋x11x－2＋

∈[－12，－6]，

∵－x2＋x＝－24∴111－，－，

∈212－x＋x6111∴－x2＋

xmin＝－，a≤－. 661－∞，－. 即a的取值范围为6t20．(本小题满分15分)已知函数f(x)＝x＋x(t＞0)和点P(1,0)，过点P作曲线y＝f(x)的两条切线PM，PN，切点分别为M(x1，y1)，N(x2，y2)．

(1)求证：x1，x2为关于x的方程x2＋2tx－t＝0的两根；

(2)设|MN|＝g(t)，求函数g(t)的表达式；

(3)在(2)的条件下，若在区间[2,16]内总存在m＋1个实数a1，a2，…，am＋1(可以相同)，使得不等式g(a1)＋g(a2)＋…＋g(am)＜g(am＋1)成立，求m的最大值．

tt解：(1)证明：由题意可知：y1＝x1＋，y2＝x2＋

x1x2t∵f′(x)＝1－2，

xttx1＋＝1－2(x－x1)，

∴切线PM的方程为：y－xx11又∵切线PM过点P(1,0)，

ttx1＋＝1－2(1－x1)，

∴0－xx112即x1＋2tx1－t＝0，①

同理，由切线PN也过点P(1,0)，

2得x2＋2tx2－t＝0.②

由①②，可得x1，x2是方程x2＋2tx－t＝0(*)的两根

x1＋x2＝－2t，(2)由(*)知

x1x2＝－t.

|MN|＝＝ttx1＋－x2－2

x1－x22＋xx122[x1＋x22－4x1x2]1＋1－x1x2

t＝20t2＋20t，

∴g(t)＝20t2＋20t(t＞0)．

(3)易知g(t)在区间[2,16]上为增函数，

∴g(2)≤g(ai)≤g(16)(i＝1,2，…，m＋1)，

则m·g(2)≤g(a1)＋g(a2)＋…＋g(am)＜g(am＋1)≤g(16)．

即m·g(2)＜g(16)，

即m20·22＋20·2＜20·162＋20·16，

所以m＜

136，由于m为正整数，所以m≤6. 3又当m＝6时，存在a1＝a2＝…＝a6＝2，a7＝16满足条件，所以m的最大值为6.