3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示教学设计内容推荐

3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示

一、教学内容分析

本节内容为人教版高中数学教材选修2-1《空间向量的正交分解及其坐标表示》，空间向量的正交分解及其坐标表示是高中数学重要内容之一，它不仅有着广泛的实际应用，而且起着承前启后的作用。首先，它是在平面向量正交分解及其坐标表示学习的基础之上来学习的；其次,学习它也是为进一步更好更快的解决立体几何中的问题等内容做好准备。

二、教学目标

1、知识与技能：

1）.理解空间向量基本定理,并能用基本定理解决一些几何问题. 2）.理解基底、基向量及向量的线性组合的概念. 3）.掌握空间向量的坐标表示,能在适当的坐标系中写出向量的坐标.。

2、过程与方法：经历用向量方法解决某些简单的几何问题，体会向量是一种处理几何问题的工具，鼓励学生灵活选择运用向量方法与综合方法，从不同角度解决立体几何问题。. 3、情感态度与价值观：通过大量实例，体会向量语言或运算在解决数学问题中的工具作用，向量是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，体会他们之间的联系。

三、教学重点及难点

①重点：1.理解空间向量基本定理,并能用基本定理解决一些几何问题。

②难点：理解基底、基向量及向量的线性组合的概念。

四、教学过程

教师活动

学生活动

1.理解空间向量基本定理,并能用基本定理解决一些几何问题. 让学生明2.理解基底、基向量及向量的线性组合的概念. 目标解读

3.掌握空间向量的坐标表示,能在适当的坐标系中写出向量的的学习目标

坐标. 确目标这节课设计意图

1、如果向量e1和e2是一平面内的两个不平行的向量，那么，该平面内的任一向量a与 e1, e2有什么关系? 复***面向量基本定理

预习反馈

如果e1和e2是一平面内的两个不平行的向量，那么，该平面识

内的任一向量a，存在惟一的一对实数a1，a2，使 a＝ a1 e1 ＋a2 e2 1识，引出新知空间向量基本定理：如果三个向量a,b,c不共面，那么对空间任一向量p,存在有序实数组x,y,z,使得pxaybzc.空间所有向量的集合{p|pxaybzc,x,y,zR}2.空间向量的正交分解及其坐标表示

(1)单位正交基底

有公共起点的三个两两垂直的单位向量e1,e2,e3称为单位正交基底. (2)空间直角坐标系

知识梳理

以e1,e2,e3的公共起点O为原点,分别以e1,e2,e3的方向为x轴,y轴,z轴的正方向建立空间直角坐标系Oxyz. (3)空间向量的坐标表示

对于空间任意一个向量p,一定可以把它平移,使它的起点与原点O重合,得到向量OP=p.由空间向量基本定理可知,存在有序实数组{x,y,z}使得p=xe

1+ye2+ze3.把x,y,z称作向量p在单位正交基底e1,e2,e3下的坐标,记作p= .

例题讲解

题后反思 判断某一向量组能否作为基底,关键是判断它们是否共

面.如果从正【例1】

已知{e1,e2,e3}为空间一基底,且OA=e1+2e2-e3,OB=-3e1+e2+2e3,

OC

=e1+e2-e3,能否以OA,OB,OC构成空间的一个基底? 面难以入手,

解:能.假设OA,OB,OC共面, 可用反证法或

根据向量共面的充要条件有:

OA=xOB+yOC, 利用一些常见即e1+2e2-e3=x(-3e1+e2+2e3)+y(e1+e2-e3)

=(-3x+y)e的几何图形进1+(x+y)e2+(2x-y)e3.

3xy1,行判断. 所以xy2,此方程组无解.

2xy1.

所以OA,OB,OC不共面. 即时训练所以OA,1OB1:,已知OC{可构成空间的一个基底a,b,c}是空间的一个基底. ,则可以与向量p=a+b,q=a-b构

成基底的向量是(

)

(A)2a

(B)2b

(C)2a+3b

(D)2a+5c

解析:由于{a,b,c}是空间的一个基底,所以a,b,c不共面,在四个选项中,只有选项D与p,q不共面,因此,2a+5c与p,q能构成基底,题后反思 【例故选2】D.

如图,四棱锥POABC的底面为一矩形,PO⊥平面OABC,设(1)若基底确OA

=a,

OC=b,OP=c,E,F分别是PC和PB的中点,试用a,b,c表定,要充分利示:BF,BE,AE,EF.

用向量加法、解:连接BO,

减法的三角形则BF=1BP=12(BO+OP)=12(c-b-a)=-12a-12b+122c.

法则和平行四BE

=BC+CE=-a+112CP=-a+2(CO+OP)=-a-12b+12c. 边形法则,以

AE=AP+PE=AO+OP+1(PO+OC)=-a+c+1(-c+b)=-a+1b+1c及数乘向量的2222.

运算进行. EF=12CB=12OA=12a.

(2)若没给定即时训练21:(2015北京大兴高二期中)如图,在平行六面体ABCDA1B1C1D1中,

基底时,首先已知AB=a,

AD=b,

AA1=c,则用向量a,b,c可表示向量BD1等于(

)

选择基底,选(A)a+b+c

(B)a-b+c

(C)

a+b-c

(D)-a+b+c

择时,要尽量使所选的基向量能方便地表解析:BD1=AD1-AB=AA1+AD-AB=c+b-a.故选D. 示其他向量,再就是看基向

一、选择题

1.(空间向量的坐标表示)已知e1,e2,e3是空间直角坐标系中分别与x轴、y轴、z轴同向的单位向量,且p=e1+2e2-3e3,则p的坐标是( ) (A)(1,2,3) (B)(-1,-2,3) (C)(1,2,-3) (D)(1,-2,-3)

2.(空间向量的坐标表示)(2015白鹭洲中学高二月考)若点

A(x2+4,4-y,

1+2z)关于y轴的对称点是B(-4x,9,7-z),则x,y,z的值依次为

( )

随堂练习与学生展示

(A)1,-4,9 (B)2,-5,-8

(C)2,5,8 (D)-2,-5,8

4.(坐标表示)设{i,j,k}是空间向量的一个单位正交基底,且

m=2i+3j-4k,n=-i+2j-5k,则m,n的坐标分别为

.

答案: (2,3,-4),(-1,2,-5) 5.(

空间向量基本定理的应用)从空间一点P引出三条射线PA,PB,PC,在PA, PB,PC上分别取PQ=a,

PR=b,PS=c,点G在PQ上,且PG=2GQ,H为RS的中点,则GH=

.(用a,b,c表示)

3.(

空间向量基本定理的理解)O,A,B,C为空间四点,且向量OA,OB,OC不能构成空间的一个基底,则( )

OA,OB,OC共线

(A)(C)D OB,OC共线

(B)OA,OB共线

(D)O,A,B,C四点共面

答案:

点评与课堂小结

112b+c-a

223小结：

1．空间向量基本定理．

2．基底、基向量及向量的线性组合的概念. 3.空间向量的坐标表示,能在适当的坐标系中写出向量的坐标

培养学生梳理总结的习惯，使学生当堂内容当堂掌握。

检查课堂作业布置

教材P94练习题

第2、3题，P98习题3.1 第3题

学习效果