习题2.4教学评价实录

圆锥曲线------抛物线

一、知识要点回顾：

、

1、抛物线的定义：|MF|=d，（d表示点M到准线L的距离）。（离心率e = 1）

2、

抛物线标准方程：（有四种形式）：y

＝±2px，x

＝±2py (p>0)。

图

形

方向

向右

x轴

y＝2px(p>0) 2

22对称轴

标准方程

焦点坐标

准线方程

顶点坐标

焦半径公式

|MF|=p(,0)2

px2

（0、0）

p2+x0

向左

x轴

y＝－2px(p>0)

2

（0、0）

|MF|=pp(,0)x2

2

p2+|x0|

向上

向下

y轴

x＝2py(p>0) 2

|MF|=p(0,)2

py2

（0、0）

p2+y0

y轴

x＝－2py(p>0) 2

（0、0）

|MF|=pp(0,)y2

2

p2

+|y0|

3．标准方程中p的几何意义：它表示抛物线的焦点到其准线的距离，简称焦准距，所以p>0．

4．抛物线的焦点在一次项对应的轴上，开口方向由它的标准方程中2p前面正、负号决定．

5、若AB是抛物线y2＝2px(p>0)的焦点弦，且设A（x1 、y1），B（x2

、y2），点F是抛物线的焦点，则：

2pp2（1）y1y2 =- p；（2）x1x2 =；（3）弦长|AB| = x1+ x2 + p =

（为直线AB的倾斜角）；

sin242

p2112（4）三角形AOB的面积为：S△AOB

=

（为直线AB的倾斜角）；（5）

+

为定值；2sin|AF||BF|p

（6）当直线AB的倾斜角=900时，弦长|AB| =

2p

=2p，此时|AB|叫做抛物线的通径。

sin26、抛物线中一般的弦长公式：|AB|=1k2|x1x2|； 7、焦半径公式：（上表）。

二、【典型习题剖析】1．求焦点到准线的距离是2的抛物线的标准方程______．

解析：由抛物线的定义知p＝2，因此所求抛物线的标准方程有以下四种形式：y2＝4x，y2＝－4x，x2＝4y，x2＝－4y．

2、点M与点F(0，－2)的距离比它到直线l：y－3＝0的距离小1，则点M的轨迹方程是______ 。

解：设点M的坐标为(x，y)．由已知条件可知，点M与点F的距离等于它到直线y－2＝0的距离．根据抛物p线的定义，点M的轨迹是以F(0，－2)为焦点的抛物线．∵2＝2，∴p＝4．∵焦点在y轴的负半轴上，∴点M的轨迹方程x2＝－8y．

3．过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于A（x1、y1）、B（x2、y2）两点，若

x1+x2=8，则弦长|AB| _______。

4、斜率为1的直线经过抛物线y24x的焦点，与抛物线相交于A、B两点，则弦长|AB|_______。

点评：1、本题有三种解法：一是求出A、B两点坐标，再利用两点间距离公式求出AB的长；二是利用韦达定理找到x1与x2的关系，再利用弦长公式|AB|=1k2|x1x2|求得，这是设而不求的思想方法；三是把过焦点的弦分成两个焦半径的和，转化为到准线的距离。

5.

过抛物线y2=12 x的焦点作倾斜角为1350的弦，则此弦长为__24_____；若一条焦点弦长为16，则弦所在的2p直线的倾斜角为____600或1200___。{分析}：利用焦点弦长公式|AB| =

解答。

sin226.若AB为经过抛物线y=4x焦点的弦,长为4, O为坐标原点,则AOB的面积等于

7．经过点P(4，－2)的抛物线标准方程为

(

A

) A．y2＝x或x2＝－8y ，

B．y2＝x或y2＝8x ，

C．y2＝－8x ，

D．x2＝－8y 。

8．焦点在直线3x－4y－12＝0上的抛物线标准方程为

(

C

) A．x2＝16y或y2

＝

16x，

B．y2＝16x或x2＝12y，

C．y2＝16x或x2＝－12y，

D．x2＝16y或y2＝－12x 9．动点到点(3，0)的距离比它到直线x＝－2的距离大1，则动点的轨迹是

(

D

) A．椭圆

B．双曲线

C．双曲线的一支

D．抛物线

解析：由题意可知，动点到点(3，0)的距离等于它到直线x＝－3的距离，由抛物线定义知动点的轨迹是抛物线．

10、过抛物线y=ax2的焦点F作一条直线交抛物线于P、Q两点，若线段PF与FQ的长分别是p、q，则1411+等于（ C ）。A、2a B、 C、4a D、 2aapq11、过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的直线与抛物线交于A（x1、y1）、B（x2、y2）两点，设为直2pp2线AB的倾斜角。（1）求证：弦长|AB|

=

；（2）求证：三角形AOB的面积为：S△AOB=。

sin22sin

圆锥曲线------抛物线

一、知识要点回顾：

1、抛物线的定义：|MF|=d，（d表示点M到准线L的距离）。（离心率e = 1）

2、抛物线标准方程：（有四种形式）：y2

＝±2px，x2

＝±2py (p>0)。

图

形

方对称标准方程

向

轴

向右

向左

向

上

向下

y轴

y轴

x轴

x轴

焦点准线方顶点坐标

焦半径公式

坐标

程

y2＝2px(p>0)

pp(,0)xp2

2

（0、0）

|MF|=+x0

2

y＝－2px(p>0)

2

pp(,0)x2

2

p|MF|=+|x0|

（0、0）

2

x2＝2py(p>0)

pp(0,)yp2

2

（0、0）

|MF|=+y0

2

x＝－2py(p>0)

2

pp(0,)y2

2

p|MF|=+|y0|

（0、0）

2

3．p的几何意义：它表示抛物线的焦点到其准线的距离，简称焦准距，所以p>0．

4．抛物线的焦点在一次项对应的轴上，开口方向由它的标准方程中2p前面正、负号决定．

6、若AB是抛物线y2＝2px(p>0)的焦点弦，且设A（x1 、y1），B（x2

、y2），点F是抛物线的焦点，则：（1）y1y2 = - p2

2pp2；

（2）x1x2 = ；（3）弦长|AB|= x1+ x2 + p =

（为

sin24

p2直线AB的倾斜角）；（4）三角形AOB的面积为：

（为直线AB的倾斜角）；

2sin（5）2p112

+

为定值；（6）当直线AB的倾斜角=900时，弦长|AB|=

=2p，2sin|AF||BF|p此时|AB|叫做抛物线的通径；

7、抛物线中一般的弦长公式：|AB|=1k2|x1x2|；8、焦半径公式：（上表）。

二、【典例剖析】

1．求焦点到准线的距离是2的抛物线的标准方程______．

2、点M与点F(0，－2)的距离比它到直线l：y－3＝0的距离小1，则点M的轨迹方程是______ 。

3．过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于A（x1、y1）、B（x2、y2）两点，若

x1+x2=8，则弦长|AB| _______。

4、斜率为1的直线经过抛物线y4x的焦点，与抛物线相交于A、B两点，则弦长|AB|_______。

25.

过抛物线y2=12 x的焦点作倾斜角为1350的弦，则此弦长为_______；若一条焦点弦长为16，则弦所在的直线的倾斜角为_____。

26.若AB为经过抛物线y=4x焦点的弦,长为4, O为坐标原点,则AOB的面积等于

7．经过点P(4，－2)的抛物线标准方程为

(

) A．y2＝x或x2＝－8y ，

B．y2＝x或y2＝8x ，

C．y2＝－8x ，

D．x2＝－8y 。

8．焦点在直线3x－4y－12＝0上的抛物线标准方程为

(

) A．x2＝16y或y2

＝

16x，

B．y2＝16x或x2＝12y，

C．y2＝16x或x2＝－12y，

D．x2＝16y或y2＝－12x 9．动点到点(3，0)的距离比它到直线x＝－2的距离大1，则动点的轨迹是

(

) A．椭圆

B．双曲线

C．双曲线的一支

D．抛物线

10、过抛物线y=ax2的焦点F作一条直线交抛物线于P、Q两点，若线段PF与FQ的长分别是p、q，则1411+等于（ ）。A、2a B、 C、4a D、 2aapq11、过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的直线与抛物线交于A（x1、y1）、B（x2、y2）两点，设为直线AB的倾斜角。（1）求证：弦长|AB| =

2p；

sin2p2（2）求证：三角形AOB的面积为：S△AOB=。

2sin