3.3.1 两条直线的交点坐标教案及板书设计

第三章

直线的交点坐标与距离公式

第3.3.1 两条直线的交点坐标

教学设计

（一）教学目标

1．知识与技能（1）直线和直线的交点.（2）二元一次方程组的解.2．过程和方法（1）学习两直线交点坐标的求法，以及判断两直线位置的方法.（2）掌握数形结合的学习法.（3）由直线方程对直线的位置进行判断，归纳过定点的直线束方程.3．情感态度和价值观（1）通过两直线交点和二元一次方程组的解的联系，认识事物之间的内在的联系.（2）能够用辩证的观点看问题.（二）教学重点

根据直线的方程判断两直线的位置关系和已知两相交直线求交点. （三）教学难点

对方程组系数的分类讨论与两直线位置关系对应情况的理解. （四）学情分析：学生前面已学***面直角坐标系中建立直线方程的方法，这一节我们将通过直线方程，用代数方法解决直线的交点问题，及两条直线位置关系的判定。

（五）教学方法：引导发现式

多媒体辅助教学

在学生认识直线方程的基础上，启发学生理解两直线交点与二元一次方程组的的相互关系。引导学生将两直线交点的求解问题转化为相应的直线方程构成的二元一次方程组解的问题。由此体会“形”的问题由“数”的运算来解决。

学法分析：探究学习

合作学习

自主学习

（（）（））（六）教学过程导入：

思考1：判断下面两条直线, 的位置关系

：3x+4y－2=0；

：2x+y+2=0.

若是相交，交点有何特点？如何求出交点坐标？

设计意图：由直线方程的概念，我们知道直线上的一点与二元一次方程的解的关系，那如果两直线相交于一点，这一点与这两条直线的方程有何关系？用问题引导学生思考直线交点与对应方程组的解的关系,从而引出本节课的主题.. 学生解出方程组的解之后，引导学生发现通过直线方程，可以用代数方法解决直线的交点问题，即联立方程组求解. 思考2：已知两直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0相交,如何求这两条直线的交点坐标？

（有了思考1的铺垫，学生可以总结出联立方程组的方法.）

如果这两条直线相交，由于交点同时在这两条直线上，交点的坐标一定是这两个方程构成方程组的唯一公共解,那么以这个解为坐标的点必是直线l1和l2的交点. 探究1：由直线方程组成的方程组解的情况与方程组所表示的两条直线的位置关系有何对应关系？

两条直线是否有交点,就要看这两条直线方程所组成的方程组A1xB1yC10,xB0是否有唯一解. A22yC2(ⅰ)若二元一次方程组有唯一解，则l1与l2相交; (ⅱ)若二元一次方程组无解，则l1与l2平行; (ⅲ)若二元一次方程组有无数解，则l1与l2重合.即

唯一解l转化1、l2相交,直线l1、l2联立得方程组无穷多解l1、l2重合,

无解l1、l2平行.

(代数问题)

(几何问题) 设计意图：鼓励学生讨论，从数形两个角度理解两直线是否相交与其方程所组成的方程组的关系. 典例分析1：判断下列各对直线的位置关系.如果相交，求出交点坐标. (1)l1：x-y=0，l2：3x+3y-10=0. (2)l1：3x-y+4=0，l2：6x-2y-1=0. (3)l1：3x+4y-5=0，l2：6x+8y-10=0 活动：教师让学生自己动手解方程组，看解题是否规范，条理是否清楚，表达是否简洁，然后再进行讲评.

解:(1)解方程组xy0,x53,3x3y100,得5

y3.所以l1与l2相交,交点是(553,3). (2)解方程组3xy40,(1)6x2y10,(2)

①×2-②得9=0,矛盾, 方程组无解，所以两直线无公共点,l1∥l2. (3)解方程组3x4y50,(1)6x8y100,(2)

①×2得6x+8y-10=0. 因此,①和②可以化成同一个方程,即①和②表示同一条直线,l1与l2重合. 学生可以利用方程组的解判断直线关系，也可以利用斜率、截距判断直线关系.

探究2：求直线3x+2y－1=0和2x－3y－5=0的交点M的坐标，并证明方程：

3x+2y－1+λ（2x－3y－5）=0（λ为任意常数）表示过M点的直线. 证明：联立方程组求解x=1,y=-1,带入方程成立，所以M在直线上.

结论：

A1x+B1y+C1+λ（

A2x+B2y+C2）=0是过直A1x+B1y+C1=0和A2x+B2y+C2=0的

交点

的直线束方程.

试一试：已知不论m取何值，直线：(2m-1)x+(m+3)y-(m-11)=0都过一定点，请求出该点的坐标. 思路解析：题目所给的直线方程的系数含有字母m，给m任何一个实数值，就可以得到一条确定的直线，因此所给的方程是以m为参数的直线系方程.要证明这个直线系中的直线都过一定点，就是证明它是一个共点的直线系，我们可以给出m的两个特殊值，得到直线系中的两条直线，它们的交点即是直线系中任何直线都过的定点. 另一个思路是：由于方程对任意的m都成立，那么就以m为未知数，整理为关于m的一元一次方程，再由一元一次方程有无数个解的条件求得定点的坐标. 解：解法一：对于方程(2m-1)x+(m+3)y-(m-11)=0，令m=0，得x-3y-11=0；令m=1，得x+4y+10=0.解x-3y-110,方程组x4y100,得两条直线的交点为(2，-3).将点(2，-3)代入已知直线方程左边，得(2m-1)×2+(m+3)×(-3)-(m-11)=4m-2-3m-9-m+11=0.

这表明不论m为什么实数，所给直线均经过定点(2，-3).

解法二：将已知方程以m为未知数，整理为(2x+y-1)m+(-x+3y+11)=0. 2xy-10,x2,

由于m的取值的任意性，有-x3y110.解得y-3.

所以所给直线不论m取什么实数，均经过定点(2，-3) 点评

含参直线过定点问题的解题思路有二：一是曲线过定点，即与参数无关，则参数的同次幂的系数为0，从而求出定点；二是令参数的系数和不含参数另一部分都得零，解方程组，求出点的坐标，则此点为所求定点.

练习1：求经过两条直线x+2y－1=0和2x－y－7=0的交点，且垂直于直线x+3y－5=0的直线方程. 答案：y=3x-10

变式：求经过两直线2x-3y-3=0和x+y+2=0的交点且与直线3x+y-1=0平行的直线方程. 思路解析：根据本题的条件，一种思路是先求出交点坐标，再设所求直线的点斜式方程求出所要求的直线方程；另一种思路是利用直线束(平行系或过定点系)直接设出方程，根据条件求未知量，得出所求直线的方程. x3解：(方法一)由方程组2x-3y-30,5,20,得xy7

y5.∵直线l和直线3x+y-1=0平行，

∴直线l的斜率k=-3. ∴根据点斜式有y-(75)=-3［x-(35)］，

即所求直线方程为15x+5y+16=0.[来源学。科。网]

(方法二)∵直线l过两直线2x-3y-3=0和x+y+2=0的交点，

∴设直线l的方程为2x-3y-3+λ(x+y+2)=0，

即(λ+2)x+(λ-3)y+2λ-3=0. ∵直线l与直线3x+y-1=0平行，

∴2323311.解得λ=112. 从而所求直线方程为15x+5y+16=0. 点评：考查熟练求解直线方程，注意应用直线束快速简洁解决问题，此题还有第三种解法，利用

平行线束解答。

练习2：

1）．两条直线2x－my＋4＝0和2mx＋3y－6＝0的交点位于第四象限，则m的取值范围是(

) 333A．－≤m≤2

B．－

C．－≤m<2

222

3D．－

) A．－2

1B．－

C．2

2

1D.

23）．两直线3ax－y－2＝0和(2a－1)x＋5ay－1＝0分别过定点A、B，则|AB|等于(

) A.89

5

17B.5[来源学科网]C.13

5

11D.

5课堂小结

本节课通过讨论两直线方程联立方程组来研究两直线的位置关系，得出了方程系数比的关系与直线位置关系的联系.培养了同学们的数形结合思想、分类讨论思想和转化思想.通过本节学习，要求学生掌握两直线方程联立方程组解的情况与两直线不同位置的对立关系，并且会通过直线方程系数判定解的情况，培养学生树立辩证统一的观点.当两条直线相交时，会求交点坐标.注意语言表述能力的训练.通过一般形式的直线方程解的讨论，加深对解析法的理解，培养转化能力.以“特殊”到“一般”，培养探索事物本质属性的精神，以及运动变化的相互联系的观点. 作业

课本习题3.3

A组1、2、3,选做4题.