2.3 抛物线（通用）公开课教案（教学设计）

人教A版

2003 课标版

选修1-1

第二章

圆锥曲线与方程

2.3抛物线（通用）

课题：直线与椭圆的位置关系

----弦长问题

授课教师：汕头市潮师高级中学 黄彦芝 2018.6.23 一、教材分析及学情分析

从教材角度来看，本节课选自人教A版2003课标版

选修1-1。“直线与圆锥曲线的位置关系”一直是教学的一个重点，并且是一个必考的考点内容，该内容涉及到了很多重要的数学思想，“转化思想”、“分类讨论思想”、“数形结合思想”，这些数学思想在讨论直线与圆锥曲线的位置关系时起着至关重要的作用。鉴于教材并未专门设置“直线与圆锥曲线的位置关系”这一内容，因此本节课通过研究“直线与椭圆的位置关系”，探讨出相应的解题方法，并把相应的研究方法运用到讨论“直线与双曲线、抛物线的位置关系”中，起到抛砖引玉的作用。从而提高教材知识的系统性和全面性，从学生的角度分析，学生在之前已经学习了“直线与圆的位置关系”，并对其位置关系的研究已掌握了基本的方法，但是这节“直线与椭圆的位置关系”内容又与“直线与圆的位置关系”有所不同，因此这节课采用了类比的方法研究“直线与椭圆的位置关系”，并解决弦长问题，在知识的衔接上起到了“承上启下”的作用。

二、教学目标 1、知识与技能：掌握直线与椭圆的位置关系及判断方法，会求直线与曲线相交的弦长；

2、过程与方法：联立方程组的代数法及使用弦长公式及韦达定理在解题中的应用；

3、情感态度价值观：让学生体验解析几何的基本思想，激发提出问题和解决问题的兴趣；

三、教学的重点与难点

●

重点：直线与椭圆的位置关系判断方法，会求弦长；

●

难点：等价转换、“坐标法”设而不求在解题中的灵活应用；

四、考情分析

五、教学过程分析

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1、知识回顾：【问题】直线与圆的位置关系有哪一些？

【目的】通过问题，类比直线与圆的位置关系得出直线与椭圆的位置关系，并得到研究直线与椭圆的位置关系的方法，为后面的内容做好铺垫。

2、例题讲解：x2例1：已知直线yx2与椭圆y21,判断它们的位置关系？4

【例题设计思路及目的】：直线与椭圆的交点个数情况与方程组有什么关系呢？根据曲线与方程的关系，点既在直线上又在曲线上，那么点的坐标就是方程组的解，所以联立直线与椭圆曲线的方程进行消元后得到关于x(或y)的一元二次方程，根据△的取值情况就可以确定根的个数，从而得到交点个数，进而确定三种位置关系。这样我们就把交点个数问题转化为方程组解的个数问题，即把几何图形问题转化成代数问题。这个思维过程体现了转化与化归、数形结合的思想。

【结论】知识点1：直线与圆锥曲线位置关系的判定方法：

g(x,y)0联立方程组

f(x,y)0

（1）相交：0

 方程组有两组解

 直线与椭圆相交； （2）相切：0 

方程组有一组解

 直线与圆锥曲线相切；

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（3）相离：0 

方程组无解

 直线与圆锥曲线相离. 【问题】：相交时所得的弦的弦长是多少？如何求？

【目的】通过问题的设置、公式的推导，引导学生进一步对公式推导的思考，加深对公式的认识,充分利用“韦达定理”，体会解析几何中“设而不求，整体代换”的思想.

知识点2：弦长公式

x2y21相交于P,Q两点. 【巩固训练】：已知直线ykx2与椭圆4（1）求k的取值范围；（2）求相交弦PQ的长. 学生先训练、讨论后个别展示，教师总结：

334k214k23（1）k或k(2)PQ2214k2

3、直击高考

x2y23例2：(2014年全国卷I第20题)已知点A(0,2),椭圆E:221(ab0)的离心率为，F是2ab椭圆的焦点，直线AF的斜率为（1）求E的方程；

23，O为坐标原点. 3第

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（2）设过点A的直线l与E相交于P,Q两点，当OPQ的面积最大时，求l的方程. 【思路分析】

【解答过程】

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223c3【解】

(1)设F(c，0)，由已知得c＝3，得c＝3.又a＝2，

所以a＝2，b2＝a2－c2＝1，

x22故E的方程为4＋y＝1.

(2)依题意当l⊥x轴时，不合题意，

故设直线l：y＝kx－2，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，

x22将y＝kx－2代入4＋y＝1，得

(1＋4k2)x2－16kx＋12＝0，

316k12当Δ＝16(4k2－3)＞0，即k2＞4时，x1＋x2＝，x1·x2＝，

21＋4k1＋4k2从而|PQ|＝＝k2＋1|x1－x2| k2＋1·（x1＋x2）2－4x1x2＝2k2＋1，

4k2＋1·4k2－31＋4k2.

又点O到直线PQ的距离d＝44k2－31所以△OPQ的面积S△OPQ＝

|PQ| d＝，

21＋4k2设4k2－3＝t，则t＞0，S△OPQ＝4t4＝≤1，

t2＋4t＋4t7当且仅当t＝2，即k＝±2时等号成立，且满足Δ＞0，所以当

△OPQ的面77积最大时，l的方程为y＝2x－2或y＝－2x－2.

【方法指导总结】：

1.

解圆锥曲线题目是要注重数形结合、化归与转化、函数与方程等的数学思想方法，做到以形入题，以数求解；

2.

圆锥曲线中常见最值问题及解题方法

（1）圆锥曲线中的最值问题大致可分为两类：

①涉及距离、面积的最值以及与之相关的一些问题; ②求直线或圆锥曲线中几何元素的最值以及这些元素存在最值时确定与之有关的一些问题. (2)求最值常见的解法有两种: ①几何法,若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义,则考虑利用图形性质来解决; 第

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②代数法,若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系,则可先建立起目标函数,再求这个函数的最值. 提醒:求最值问题时,一定要注意特殊情况的讨论,如直线斜率不存在的情况,二次三项式最高次项的系数的讨论等. 4、课堂作业

课堂作业：椭圆两顶点A(－1,0)，B(1,0)过焦点F(0,1)的直线l与椭圆交于C、D两点．当|CD|＝32时．求l的方程．

2

【解答过程】：

【解析】

由题意b＝1，c＝1. ∴a2＝b2＋c2＝1＋1＝2. y2∴椭圆方程为＋x2＝1. 2当直线l斜率不存在时，|CD|＝22，不合题意．

当l斜率存在时，设l方程y＝kx＋1，

y＝kx＋1，22联立2得(k＋2)x＋2kx－1＝0. 2y＋2x＝1，

∵△=8（k2+1）>0

设C(x1，y1)，D(x2，y2)．

2k1∴x1＋x2＝－2，x1x2＝－2. k＋2k＋2∴|CD|＝1＋k2|x1－x2|＝1＋k2x1＋x22－4x1x2

22k2＋1＝. k2＋222k2＋132即＝2，解得k2＝2.∴k＝±2. 2k＋2∴直线l方程为2x－y＋1＝0或2x＋y－1＝0.

【总结】：(1)由已知点设直线方程时，要注意斜率存在和不存在的情况，需要时要分类讨论．

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(2)在解决有关弦长问题时，常用设而不求思想．

5、课堂小结

1.

直线与椭圆的三种位置关系及判断方法；

2.

弦长公式；

3.

两种思想. 6、课后作业

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