习题1.2ppt课件课堂实录

“充分条件和必要条件习题课”教学设计

一、教材分析

充要条件是中学数学中最重要的数学概念之一，它主要讨论了命题的条件与结论之间的逻辑关系，目的是为数学推理的学习打下基础。新教学大纲把教学目标定位在“掌握充要条件的意义”。

从学生学习的角度看，可能会因为学生逻辑思维能力还不够充分，而给教师的教学带来一定的困难。因此，新教材在第一章的小结与复习中，把学生的学习要求规定为“初步掌握充要条件”，是比较切合教学实际的。

从教材编写角度来看，新旧教材最大的差异在于对“充分条件”和“必要条件”定义的处理上。新教材的定义显得更简洁精炼，而新教材的例题、练习题和习题量均大幅增加，大约是旧教材的两倍。显然，新教材的编写者在数学概念的处理上贯彻了“淡化形式，注重实质”这一新的教学观。当然，一次性给出定义也增加了学生理解上的困难，也是教学中必须突破的难点。

二、教学目标

知识方面：（１）

正确理解充要条件的定义,理解充分条件, 必要条件.

（２）

正确判断充分条件、

必要条件、充要条件.

（３）

通过学习，使学生明白对条件的判定应该归结为判断 命题的真假．初步掌握充分、必要条件的判断方法。

能力方面：培养学生的阅读理解能力、逻辑推理能力和归纳总结的能力。在观察和思考中，在解题和证明题中，培养学生思维能力的严密性品质

情感方面：让学生感受“在生活中数学地思维”，增加对学习逻辑知识的兴趣和信心，克服畏惧感，激发求知欲。

·1·

三、教学重难点

教学重点：充要条件的概念和判断方法。

教学难点：理解充要条件的概念。

四、教法与学法

（一）在教学方法上，主要是采用讲练结合法进行教学。教师通过点拨引导的方式，启动学生的思维活动，从具体问题出发引出数学概念，并在实际问题中反复应用和辨析，启发学生理解概念并能在实践中总结判定方法。由于这是充要条件的概念起始课，文字信息量比较大，教师可以借助多媒体辅助教学手段，提高学生的学习兴趣，增加课堂教学的信息容量，提高教学效益。

（二）整个教学过程中体现“分析”——“探究”——“总结”的学习环节，从三个方面引发学生的学习思维活动：

1、通过问题情境的创设，学生通过对具体命题的正反辨析，对“充分的”和“必要的”这两个词汇产生感性化的认识。

2、学生通过解题实践，总结判定方法，形成辨别充要条件的初步能力。

3、学生探究生活中的充要关系，把学习延伸到课外，体验“在生活中数学地思维”。

五、教学程序

1、复习旧知，引入新课

首先，在导入阶段的教学中，回顾上节研究的命题的一般形式“若p则q”和其真假判断的方法，先向学生介绍真假命题的简记符号。由此，引入了定义：

[幻灯显示] 充分、必要条件的定义

如果已知pq，则说p是q的充分条件，q是p的必要条件。

·2·

在引导学生理解定义的过程中提出问题，引发思考：

问题这里的p和q都叫做“条件”,那么“结论”又是什么呢?（注意使学生理解“条件”与“结论”的相对性。）（明确特征，有助于学生在后面的判定充要条件的过程中，找准基点，掌握方法）

同时以命题“若x>0，则x2>0。”和其逆命题“若x2>0，则x>0。”为例让学生学习符号的使用。(复习旧知,为新课学习作好准备) (P12)练习：判断下列命题的真假：

(1)“a>b”是“a2>b2” 的充分条件; (2)“│a│>│b│”是“a2>b2”的必要条件; (3)“a>b”是“a+c>b+c”的充要条件. 教师在学生回答的基础上，结合（1）、（2）两个命题，分析引出对“充分的”和“必要的”这两个词汇的感性认识：

首先，在原命题中研究前者对后者的制约程度：

比如（1）中，p能推出q，表明要得到结论q，有了条件p就足够了，也就是说条件p对于结论q是“充分的”。在（2）中，p不能推出q，表明条件p对于结论q是“不充分的”。

其次，在逆命题中研究后者对前者的依赖程度：

比如（2）中，p不能推出q，但p能被q推出，这说明p对于q又是一种什么样的联系呢？作出分析：“必要的”。关于这一点，可以（2）为例做出如下的分析：

（从具体问题引出数学概念符合学生的认知规律，由例1引出对“充分的”和“必要的”的感性认识，使引入概念顺理成章。）

结合上面的分析，向学生指明：命题中的条件与结论之间这种相互推出的关系反映了两者之间的一种“充分的”或是“必要的”联系。在数学中，

·3·

我们对这种联系进行了进一步的研究，引入的新的定义来描述它，这就是本节将研究的主要内容，从而引出课题：

2、用推出符号“若p若p若p若p”概括充分条件、必要条件、充要条件

q，qq，qq，qq，qp，则p是q的充分不必要条件．

p，则p是q的________________条件．

p，则p是q的________________条件．

p，则p是q的__________________条件．

特别地：在讨论条件

和条件

的关系时，要注意：

①若

②若

③若

④若

⑤若

，但

，但

，且

，且

，且

，则

是

的充分但不必要条件；

，则

是

的必要但不充分条件；

，则

是

的充要条件；

，则

是

的充要条件；

，则

是

的既不充分也不必要条件．

知识拓展：从四种命题的角度考虑充分条件和必要条件：

①

如果p是q的充分条件, 则原命题“若p则q”以及逆否命题“若q

则p”都是真命题.

②

如果p是q的必要条件, 则逆命题“若q则p”以及否命题“若p

则q”为真命题.

③如果p是q的充要条件, 则四种命题均为真命题.

有了“四种命题”的知识铺垫，既可以使学生丰富并深化对命题的理解，也便于老师讲透充要条件这一基本数学概念．

3．充要条件的定义---集合的观点：

（4）若条件

以集合

的形式出现，结论

以集合

的形式出现，则借助集合知识，有助于充要条件的理解和判断．

·4·

①若

，则

是

的充分条件；

，只需

就够了．类似地还有：

显然，要使元素

②若

③

若

④若

，则

是

的必要条件；

，则

是

的充要条件；

，且

，则

是

的既不必要也不充分条件．

1

B （2）

A

A

B

B A

充分、必要条件判断的几种常用方法

（1）定义法：直接利用定义进行判断。

﹁﹁（4 )

（2）等价法：要判断p是q的什么条件，可等价转化为判断q是p的什么条件，特别对于条件和结论中含有否定性词语时常采用此法；

（3）利用集合间的包含关系进行判断。（用集合法判断时，要尽可能用图示法、数轴、直角坐标平面等几何方法、图形，形象、直观，能简化解题过程，降低思维难度。）

4.课堂练习。

接下来从几个练习对充分、必要关系再次进行认识。

指出下列各组命题中，条件p是结论q的什么条件：

（1）p:(x2)(x5)0,q:x20；

(2) p:x3,q:x5；

分析：（1）由条件p：(x2)(x5)0可得x2或x5，而结论q：x2,

·5·

所以p不能推出q，但是q能推出p，即pq，所以p是q的必要条件；

（2）x3与x5的关系利用数轴可以比较清楚地发现：

3 4 5

所以可见p不能推出q，比如x4不在x5的范围内，但是所有比5大的数字肯定比3大的，所以q能推出p，即pq，从而p是q的必要条件；

从以上2例可见，p是大范围，q是小范围，用集合中的

维恩图可以表示为（图5），从而可以认为“大必要”。

①、教师在对学生的回答作出纠正和完善后，可以自然引出充分不必要、必要不充分、充分必要和既不充分也不必要条件的概念，使学生认识趋于完善。

②、注意引导学生观察答案的特点：

当条件与结论位置对换的时候，条件的类型也相应的发生着变化。

③、同时也要使学生明确：

区分条件和结论是准确判断充分、必要条件的重要前提。

（例1又起到巩固学生认识的作用。）

（3）分析理解课本例题，深化认识

观察如下3个电路图：

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条件p：开关A闭合，结论q：灯泡B亮；

对于图1和图3，如果开关A闭合那么灯泡B亮，即如果p那么q是真命题，记作pq；对于图2，如果开关A闭合那么灯泡B不会亮，即如果p那么q是假命题。

下面具体分析条件p对于保证结论q成立所起的作用：

图1：“开关A闭合”能保证“灯泡B亮”成立，要使“灯泡B亮”成立，具备条件“开关A闭合”就够了，“开关A闭合”是“灯泡B亮”的足够（充分）条件，从而说p是q的充分条件，即pq，则称p是q的充分条件。

图2：“灯泡B亮”必须要“开关A闭合”，

“开关A闭合”是“灯泡B亮”的必要条件，即pq，则称p是q的必要条件。

图3：“开关A闭合”能保证“灯泡B亮”，反过来，“灯泡B亮”必须是“开关A闭合”，即“pq且pq”，简记“pq”，则称p是q的充分必要条件，简称充要条件。

5、小结：

这节课我们学了三个条件关系：

（1）pq,则称p是q的充分条件，简单地理解为“小充分”；

（2）pq，则称q是p的充分条件，简单地理解为“大必要”；

(3) pq,则称p是q的充要条件，简单地理解为“等充要”。

5、布置作业：书本第18页A组。

6、小结作业

1、完成P35练习1、2；P36练习1、2 2、完成本节习题1.6之1、2、3 3、写出生活中有四种关系的名言名句各1句。（设计了作业3这个开放性的文字数学作业，目的是将课堂上的数学思维延伸到了课外。）

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六、教学设计的后记

这是一节概念新授课，也是实践、总结和体验的研究课。通过“分析—探究—总结”的学习过程，在学生学习新知识的同时，也注意培养学生的能力。

本教学设计的例4和作业3，不同于通常的数学习题和数学问题，具有浓郁的文化气息，希望能成为是点缀的花边而且是点睛的妙笔，将课堂的学习延伸至课外，让学生在生活中自觉地体验“数学地思维”。

课后反思：

1．学习充分条件、必要条件和充要条件知识，要注意与前面有关逻辑初步知识内容相联系．充要条件中的

，

与四种命题中的

，

要求是一样的．它们可以是简单命题，也可以是不能判断真假的语句，也可以是含有逻辑联结词或“若

则

”形式的复合命题．

2．由于这节课概念性、理论性较强，一般的教学使学生感到枯燥乏味，为此，激发学生的学习兴趣是关键．教学中始终要注意以学生为主，让学生在自我思考、相互交流中去结概念“下定义”，去体会概念的本质属性．

3．由于“充要条件”与命题的真假、命题的条件与结论的相互关系紧密相关，为此，教学时可以从判断命题的真假入手，来分析命题的条件对于结论来说，是否充分，从而引入“充分条件”的概念，进而引入“必要条件”的概念．

4．教材中对“充分条件”、“必要条件”的定义没有作过多的解释说明，为了让学生能理解定义的合理性，在教学过程中，可以从一些熟悉的命题的条件与结论之间的关系来认识“充分条件”的概念，从互为逆否命题的等价性来引出“必要条件”的概念

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1.8充分条件和必要条件

1、命题：若p则q 3、判断充要条件的步骤：

符号表示：真、假 （1）

pq,pq. （2）

电脑投影屏幕

2、定义： （3） 已知pq， 4、生活中的充要关系：

则称p是q的充分条件，

q是p的必要条件。

作业：

附：板书设计：

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