1.1.2 四种命题优质课一等奖

【金版学案】2015-2016学年高中数学 1.1.2四种命题及其相互关系学案

新人教A版选修1-1

►基础梳理

1．四种命题的概念．

(1)一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论

分别是另一个命题的结论和条件，那么我们把这样的两个命题叫做互逆命题．其中一个命题叫做原命题，另一个叫做原命题的逆命题．

(2)如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，我们把这样的两个命题叫做互否命题．如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的否命题．

(3)如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，我们把这样的两个命题叫做互为逆否命题．如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的逆否命题．

2．四种命题的相互关系．

3．四种命题的真假性．

由于逆命题和否命题也是互为逆否命题，因此四种命题的真假性之间的关系如下：

(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性．

(2)两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．,►自测自评

1．命题“若函数f(x)＝logax(a>0，a≠1)在其定义域内是减函数，则loga2<0”的逆否命题是(A) A．若loga2≥0，则函数f(x)＝logax(a>0，a≠1)在其定义域内不是减函数

B．若loga2＜0，则函数f(x)＝logax(a>0，a≠1)在其定义域内不是减函数

C．若loga2≥0，则函数f(x)＝logax(a>0，a≠1)在其定义域内是减函数

D．若loga2＜0，则函数f(x)＝logax(a>0，a≠1)在其定义域内是减函数

2．在原命题及其逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数可以是(D) A．1或2或3或4 B．1或3 C．0或4 D．0或2或4

1

3．若命题p的逆命题为q，命题q的否命题为r，则p是r的逆否命题．

解析：设p为：“若m，则n”，则q为：“若n，则m”，所以r为：“若綈n，则綈m”．故p是r的逆否命题．

1．“若x，y∈R且(x－1)＋(y－1)＝0，则x，y全为1”的否命题是(B) 22A．若x，y∈R且(x－1)＋(y－1)≠0，则x，y全不为1 22B．若x，y∈R且(x－1)＋(y－1)≠0，则x，y不全为1 22C．若x，y∈R且x，y全为1，则(x－1)＋(y－1)＝0 22D．若x，y∈R且xy≠1，则(x－1)＋(y－1)＝0 2．下列命题中，不是真命题的是(D) 22A．“若b－4ac>0，则二次方程ax＋bx＋c＝0有实根”的逆否命题

B．“四边相等的四边形是正方形”的逆命题

2C．“x＝9，则x＝3”的否命题

D．“内错角相等”的逆命题

3．命题“a，b是实数，若|a－1|＋|b－1|＝0，则a＝b＝1”，用反证法证明时反设为：________________________________________________________________________. 答案：若a≠1或b≠1

4．已知命题：“已知a，b，c，d是实数，若a＝b，c＝d，则a＋c＝b＋d.”写出其逆命题、否命题、逆否命题，并判断真假．

答案：逆命题：已知，a，b，c，d是实数，若a＋c＝b＋d，则a＝b，c＝d.假命题．

否命题：已知，a，b，c，d是实数，若a≠b或c≠d，则a＋c≠b＋d.假命题．

逆否命题：已知，a，b，c，d是实数，若a＋c≠b＋d，则a≠b或c≠d.真命题．

5．已知函数y＝f(x)是R上的增函数，对a，b∈R，若f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)成立，证明a＋b≥0.

证明：原命题的逆否命题为：

a，b∈R，若a＋b<0，

则f(a)＋f(b)

以下证明其逆否命题：若a＋b<0，则a<－b，b<－a，又因为y＝f(x)是R上的增函数，

所以f(a)

f(b)

又因为原命题和逆否命题有相同的真假性，所以求证成立．

22

1．否定结论“至多有两个解”的说法中，正确的是(C) A．有一个解 B．有两个解

C．至少有三个解 D．至少有两个解

2．下列说法中正确的是(D) A．一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真

B．“a>b”与“a＋c>b＋c”不等价

2222C．“a＋b＝0，则a，b全为0”的逆否命题是“若a，b全不为0，则a＋b≠0”

D．一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真

解析：否命题和逆命题是互为逆否命题，有着一致的真假性．

3．已知原命题“若两个三角形全等，则这两个三角形面积相等”，那么它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数是(B) A．0个 B．1个

2

C．2个 D．3个

4．有下列四个命题：

①“若x＋y＝0，则x、y互为相反数”的逆命题；

222②“若a>b，则a>b”的逆否命题；③“若x≤－3，则x＋x－6>0”的否命题；④“若ab是无理数，则a、b是无理数”的逆命题．

其中真命题的个数是(B) A．0个 B．1个

C．2个 D．3个

25．命题“若c>0，则函数f(x)＝x＋x－c有两个零点”的逆否命题的是：________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________，则c≤0.

2答案：若函数f(x)＝x＋x－c没有两个零点

6．若命题p的否命题是q，命题q的逆命题是r，则r是p的逆命题的________．

解析：本题主要考查四种命题的相互关系．显然，r与p互为逆否命题．

答案：否命题

7．(x－1)(x＋2)＝0的否定形式是________________________________________________________________________．

答案：(x－1)(x＋2)≠0

ab8．命题“若a>b，则2>2－1”的否命题为________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________. ab答案：若a≤b，则2≤2－1 9．有下列五个命题：

22①“若a＋b＝0，则ab＝0”的逆否命题；

②“若a>b，则ac>bc”的逆命题

11③“若a”的逆否命题；

ab112④“若<<0，则ab

abba⑤“若＞，则a

ab其中假命题有________．

22解析：①逆否命题为“若ab≠0，则a＋b≠0”，这是一个真命题．

②逆命题为“若ac>bc，则a>b”，这是一个假命题．

③原命题是一个真命题，所以逆否命题也为真命题．

112④若<<0，则bb故原命题为真命题，所以逆否命题也为真命题．

ab⑤逆命题为“若a”．

－a>－b>0，若a

<<0，ba－a>－b>0，则11ab

－>－>0，故>.baba故这是一个假命题．

答案：②⑤

πππ22210．若a，b，c均为实数，且a＝x－2y＋，b＝y－2z＋，c＝z－2x＋，求证：236

3 baab

a，b，c中至少有一个大于0. 证明(用反证法)：假设a，b，c都不大于0，即

a≤0，b≤0，c≤0，则a＋b＋c≤0，而a＋b＋c＝x－2y＋＋y－2z＋＋232π2πz2－2x＋π

6＝(x－2x)＋(y－2y)＋(z－2z)＋π

222＝(x－1)＋(y－1)＋(z－1)＋π－3，

显然a＋b＋c>0，这与假设a＋b＋c≤0相矛盾．

因此a，b，c中至少有一个大于0.

►体验高考

1．给出命题：若函数y＝f(x)是幂函数，则函数y＝f(x)的图象不过第四象限，在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是(C) A．3个 B．2个 C．1个 D．0个

解析：本小题主要考查四种命题的真假，易知原命题是真命题，则其逆否命题也是真命题，而逆命题、否命题是假命题，故它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题有一个，选C. 2222．已知a，b，c∈R，命题“若a＋b＋c＝3，则a＋b＋c≥3”的否命题是(A) 222A．若a＋b＋c≠3，则a＋b＋c<3 222B．若a＋b＋c＝3，则a＋b＋c<3 222C．若a＋b＋c≠3，则a＋b＋c≥3 222D．若a＋b＋c≥3，则a＋b＋c＝3 3．命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是(B) A．若一个数是负数，则它的平方不是正数

B．若一个数的平方是正数，则它是负数

C．若一个数不是负数，则它的平方不是正数

D．若一个数的平方不是正数，则它不是负数

4．命题“若p则q”的逆命题是(A) A．若q则p B．若綈p则綈q

C．若綈q则綈p D．若p则綈q

π5．命题“若a＝，则tan α＝1”的逆否命题是(C) 4πA．若α≠，则tan α≠1 4πB．若α＝，则tan α≠1 4πC．若tan α≠1，则α≠

4πD．若tan α≠1，则α＝

4

222

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