复习参考题优质课一等奖

第2讲

空间点、线、面的位置关系

一．教学目标

知识与技能：

1. 掌握空间中直线与直线之间的位置关系、直线与平面、平面与平面之间的位置关系

2. 通过例题的研究，会利用线面平行、垂直的判定定理以及性质定理证明具体问题中的线面位置关系。

过程与方法：

体会利用性质定理和判定定理的相互转化解决立体几何问题的重要思想。

情感态度价值观：

培养学生的空间观念和系统学习概念的意识。

二．教学重点

空间中直线与直线之间的位置关系、直线与平面、平面与平面之间的位置关系的判断

三．教学难点

会判断以及证明空间中直线与直线之间的位置关系、直线与平面、平面与平面之间的位置关系

四．教学过程

年份

卷别

卷Ⅰ

2018

考查内容及考题位置

线面角的问题·T10

面面垂直的证明及体积计算·T18

命题分析

1.以几何体为载体考查空间点、线、面位置关系的判断，主要卷Ⅱ

异面直线所成角·T9

线面垂直的

证明及点到平面距离的计算·T19

卷Ⅲ

线面平行、面面垂直的证明·T19

空间直线与平面位置关系的判卷Ⅰ

断·T6

以选择、填空题的形式，题目难度较小．

2．以解答题的形式考查空间平行、垂直面面垂直的证明、四棱锥体积及侧的证明，并常与几何面积的计算·T18

体的表面积、体积相2017

卷Ⅱ

线面平行的证明、四棱锥体积的计渗透.

算·T18

空间中线线垂直的判断·T10

卷Ⅲ

线线垂直的判定、四面体体积的计算·T19

求异面直线所成的角·T11

卷Ⅰ

线线垂直、线面垂直的判定与性质、几何体体积的计算·T18

2016

卷Ⅱ

线线垂直、空间几何体体积的计算·T19

线面平行、空间几何体体积的计算·T19

[典型例题]

(2018·高考北京卷)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA＝PD，E，F分别为AD，PB的中点．

卷Ⅲ

(1)求证：PE⊥BC；

(2)求证：平面PAB⊥平面PCD；

(3)求证：EF∥平面PCD. 【证明】

(1)因为PA＝PD，E为AD的中点，

所以PE⊥AD.

因为底面ABCD为矩形，

所以BC∥AD.

所以PE⊥BC.

(2)因为底面ABCD为矩形，

所以AB⊥AD.

又因为平面PAD⊥平面ABCD，

所以AB⊥平面PAD.

所以AB⊥PD.

又因为PA⊥PD，

所以PD⊥平面PAB.

所以平面PAB⊥平面PCD.

(3)取PC中点G，连接FG，DG.

因为F，G分别为PB，PC的中点，

1所以FG∥BC，FG＝2BC.

因为四边形ABCD为矩形，且E为AD的中点，

1所以DE∥BC，DE＝2BC.

所以DE∥FG，DE＝FG.

所以四边形DEFG为平行四边形．

所以EF∥DG.

又因为EF⊄平面PCD，DG⊂平面PCD，

所以EF∥平面PCD.

平行关系及垂直关系的转化

空间平行、垂直关系证明的主要思想是转化，即通过判定、性质定理将线线、线面、面面之间的平行、垂直关系相互转化．

[对点训练])

1. (2018·陕西省质量检测(一))在三棱锥P-ABC中，△PAC和△PBC都是边长为2的等边三角形，AB＝2，O，D分别是AB，PB的中点．

(1)求证：OD∥平面PAC；

(2)连接PO，求证：

PO⊥平面ABC；

(3)求三棱锥A-PBC的体积．

解：(1)证明：因为O，D分别为AB，PB的中点，

所以OD∥PA.

又PA⊂平面PAC，OD⊄平面PAC，

所以OD∥平面PAC.

(2)证明：如图，连接OC，

因为AC＝CB＝2，AB＝2，

所以∠ACB＝90°.

又O为AB的中点，

所以OC⊥AB，OC＝1.

同理，PO⊥AB，PO＝1.

又PC＝2，而PC2＝OC2＋PO2＝2，所以PO⊥OC.

又AB∩OC＝O，AB⊂平面ABC，OC⊂平面ABC，PO⊄平面ABC，

所以PO⊥平面ABC.

(3)由(2)可知PO⊥平面ABC，

所以PO为三棱锥P-ABC的高，且PO＝1.

1111所以VA­PBC＝VP­ABC＝3S△ABC·PO＝3×2×2×1×1＝3. 

2．(2018·高考江苏卷)在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AA1＝AB，AB1⊥B1C1.

求证：(1)AB∥平面A1B1C;

(2)平面ABB1A1⊥平面A1BC. 证明：(1)在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AB∥A1B1.因为AB⊄平面A1B1C，A1B1⊂平面A1B1C，所以AB∥平面A1B1C.

(2)在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，四边形ABB1A1为平行四边形．

又因为AA1＝AB，所以四边形ABB1A1为菱形，

因此AB1⊥A1B.

又因为AB1⊥B1C1，BC∥B1C1，

所以AB1⊥BC.

又因为A1B∩BC＝B，A1B⊂平面A1BC，BC⊂平面A1BC，AB1⊥平面A1BC.

因为AB1⊂平面ABB1A1，

所以平面ABB1A1⊥平面A1BC.

所以