习题1.1教学设计第一课时

第一章章末小结

1.空间几何体的结构特征

棱

柱

结构

(1)两个底面相互平行,其余各面都是平行四边形

(2)侧棱平行且相等

(1)两个底面相互平行

圆

柱

(2)侧面的母线平行于圆柱的轴

(3)以矩形的一边所在的直线为旋转轴,其余三边旋转形成的曲面所围成的几何体

棱

锥

(1)底面是多边形,各侧面均是三角形

(2)各侧面有一个公共顶点

(1)底面是圆

圆

锥

(2)以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴,其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体

(1)两个底面相互平行

棱

(2)用一个平行于棱锥底面的平台

面去截棱锥,底面和截面之间的部分

(1)两个底面相互平行

圆

(2)用一个平行于圆锥底面的平台

面去截圆锥,底面和截面之间的部分

(1)球心到球面上各点的距离相等球

(2)以半圆的直径所在的直线为旋转轴,半圆面旋转一周形成的几何体

图例

2.三视图的放置方式是正(主)视图与侧(左)视图在同一水平线上,正(主)视图在左,侧(左)视图在右,俯视图在正(主)视图的正下方.

在画三视图时,务必做到正(主)视图与侧(左)视图高平齐,正(主)视图与俯视图长对正,俯视图与侧(左)视图宽相等.

3.画空间几何体的直观图时,要注意两点:(1)在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴,两轴相交于点O.画直观图时,把它们画成对应的x'轴和y'轴,两轴相交于点O',且使∠x'O'y'=45°(或135°).在已知图形中,平行于x轴或y轴的线段,在直观图中,分别画成平行于x'轴或y'轴的线段,在已知图形中,平行于x轴的线段,在直观图中,长度保持不变,平行于y轴的线段,在直观图中,长度为原来的一半.

4.空间几何体的表面积与体积

(1)S柱表面积=S侧+2S底.

特别地,S长方体=2(ab+bc+ac),其中a、b、c分别是长方体的长、宽、高; 特别地,S圆柱表=cl+2πr2=2πr(r+l),其中r、l和c分别是圆柱的底面半径、母线和底面圆的周长.

(2)S锥表面积=S侧+S底.

特别地,S圆锥表=πr2+πrl=πr(r+l),其中r和l分别是圆锥的底面半径和母线.

(3)S台表面积=S侧+S上+S下.

特别地,S圆台表=π(r2+r'2+rl+r'l),其中r、r'和l分别是圆台的上底面半径、下底面半径和母线.

(4)V柱=Sh,其中S和h分别是柱体的底面积和高.

特别地,V圆柱=πr2h,其中r和h分别是圆柱的底面半径和高.

(5)V锥=Sh,其中S和h分别是锥体的底面积和高.

特别地,V圆锥=πr2h,其中r和h分别是圆锥的底面半径和高.

(6)V台=(S+

+S')h,其中S、S'和h分别是台体的上底面面积、下底面面积和高.

特别地, V圆台=π(r2+rr'+r'2)h,其中r、r'和h分别是圆台的上底面半径、下底面半径和高.

(7)V球=πR3,S球表面积=4πR2,其中R是球体的半径.

题型一:空间几何体的结构特征

【例1】根据下列对几何体结构特征的描述,说出几何体的名称.

(1)由六个面围成,其中一个面是凸五边形,其余各面是有公共顶点的三角形; (2)一个等腰梯形绕着两底边中点的连线所在的直线旋转180°形成的封闭曲面所围成的图形; (3)一个直角梯形绕较长的底边所在的直线旋转一周形成的曲面所围成的几何体.

【方法指导】根据所给的几何体结构特征的描述,结合所学几何体的结构特征做出判断.

【解析】(1)如图①,因为该几何体的五个面是有公共顶点的三角形,所以是棱锥.又其底面是凸五边形,所以是五棱锥.

(2)如图②,等腰梯形两底边中点的连线将梯形平分为两个直角梯形,每个直角梯形旋转180°形成半个圆台,故该几何体为圆台.

(3)如图③,过直角梯形ABCD的顶点A作AO⊥CD于点O,将直角梯形分为一个直角三角形AOD和一个矩形AOCB,绕CD旋转一周形成一个组合体,该组合体由一个圆锥和一个圆柱组成.

【小结】解决此类问题的策略是紧扣相关几何体的结构特征进行有关的概念辨析,多注意观察一些实物模型和图片便于反例排除.明确组合体的结构特征,主要弄清它是由哪些简单几何体组成的,会识别较复杂的图形是学好立体几何的第一步,注意观察周围的物体,然后将它们“分拆”成几个简单的几何体,培养空间想象能力和识图能力.

题型二:空间几何体的平面展开图

【例2】

一个长方体的同一个顶点出发的三条棱的长度分别是2,3,4,如图,一只蚂蚁欲从该长方体的一个顶点A处沿表面爬到该顶点所在的对角线的另一端C处,求最短的线路长.

【方法指导】求经过几何体的表面的距离最短问题,可以把几何体的表面平铺打开转化为平面上的两点距离的最短问题.

【解析】蚂蚁从A到C处需经过两个面,可分为三类情形讨论: (1)沿正面到右面再到C处,最短距离为

=

; (2)沿正面到上面再到C处,最短距离为

=

; (3)沿左面到上面再到C处,最短距离为

=

.

所以最短的线路长为

.

【小结】将空间几何体的表面通过翻转展开变成平面图形,能更好地解决空间几何体的距离、面积问题.

题型三:空间几何体的三视图和直观图

【例3】

水平放置的△ABC利用斜二测画法得到直观图△A'B'C'(如图),其中A'B'∥y'轴,B'C'∥x'轴,若测得A'B'=4,B'C'=5,求△ABC的面积.

【方法指导】由斜二测画法的规则先判断原图的形状,再根据线段长度之间的关系求其面积.

【解析】由A'B'∥y'轴,B'C'∥x'轴,知△ABC为直角三角形,其中∠ABC=90°,由A'B'=4,B'C'=5,及斜二测画法的规则,得AB=8,BC=5, 所以S△ABC=·AB·BC=×8×5=20.

【小结】本题的关键就是将水平放置的平面图形的直观图还原为实际图形,其方法就是逆用斜二测画法,也就是使平行于x'轴的线段的长度不变,而平行于y'轴的线段的长度变为原来的2倍.

题型四:空间几何体的表面积和体积

【例4】如图,AB是半径为R的球的直径,C为球面上一点,且∠BAC=30°,求该几何体的表面积及其体积.

【方法指导】该几何体的表面由外部球的表面、内部两个圆锥的侧面组成,分别计算相加;计算体积则是用球的体积减去两个圆锥的体积.

【解析】如图所示,过点C作CO1⊥AB于点O1, 由题意可得∠BCA=90°.又∵∠BAC=30°,AB=2R,

∴AC=

R,BC=R,CO1=

R,AO1=

R,BO1=

.

∴S球=4πR2,

圆锥

侧

=π×

R×

R=

πR2, =π×

R×R=

πR2, +

=4πR2+

πR2+

πR2=

圆锥

侧∴S几何体表=S球+

圆锥

侧圆锥

侧

πR2,

∴几何体的表面积为又∵V球=πR3,

πR2.

圆锥

=AO1·πC

=

πR3,

=

BO1·πC

=

πR3,

圆锥

∴V几何体=V球-(

圆锥

+

圆锥

)=πR3-πR3=πR3.

【小结】探究球及球内接几何体的表面积和体积问题,首先要找到球心所在的位置及与球内接几何体中的边角之间的关系,其次利用公式转化.

题型五:空间几何体的三视图、表面积与体积的综合应用

【例5】如图,已知几何体的三视图(单位:cm).

(1)画出这个几何体的直观图(不要求写画法); (2)求这个几何体的表面积和体积.

【方法指导】根据三视图确定空间几何体,画出直观图,再分析是由哪些简单几何体组成的,利用公式求出表面积和体积.

【解析】(1)这个几何体的直观图如图所示.

(2)这个几何体可看成是由正方体AC1及直三棱柱B1C1Q-A1D1P构成的组合体.

由PA1=PD1=

,A1D1=AD=2, 可得PA1⊥PD1.

故所求几何体的表面积S=5×22+2×2×

+2××(

)2=(22+4

) cm2, 体积V=23+×(

)2×2=10 cm3.

【小结】根据三视图画出直观图是本题的关键,求组合体的表面积与体积必须分析直观图的结构特征.

题型六:多面体与旋转体的切、接问题

【例6】如图,一个几何体的三视图中正(主)视图和侧(左)视图为边长为2,锐角为60°的菱形,俯视图为正方形,则此几何体的内切球的表面积为(

).

A.2π

B.3π

C.4π

D.8π

【方法指导】过球心(高)及正四棱锥的斜高作截面,将其转化为平面图形的内切问题.

【解析】由三视图可知,该几何体为两个正四棱锥的组合体,且四棱锥的斜高恰好等于底面正方形的边长,过正四棱锥的高、斜高作平面,得轴截面,由内切知,球的半径r=1×sin 60°=,所以S球=4π×

=3π.

【答案】B 【小结】本题主要考查多面体与球的结构特征及空间的点、线、面间的位置关系,体现空间想象能力、转化与化归思想的应用.多面体与球接、切问题的求解策略: (1)涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时,一般过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面,把空间问题转化为平面问题,再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系,或只画内切、外接的几何体的直观图,确定球心的位置,弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系,列方程(组)求解.

(2)若球面上四点P,A,B,C构成的三条线段PA,PB,PC两两互相垂直,且PA=a,PB=b,PC=c,一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体,则4R2=a2+b2+c2求解.

1.(2017年全国Ⅰ卷)某多面体的三视图如图所示,其中正(主)视图和侧(左)视图都由正方形和等腰直角三角形组成,正方形的边长为2,俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有若干个是梯形,这些梯形的面积之和为(

).

A.10 B.12 C.14 D.16

【解析】观察三视图可知该多面体是由直三棱柱和三棱锥组合而成的,且直三棱柱的底面是直角边长为2的等腰直角三角形,侧棱长为2.三棱锥的底面是直角边长为2的等腰直角三角形,高为2,如图所示.因此该多面体各个面中有2个梯形,且这两个梯形全等,梯形的上底长为2,下底长为4,高为2,故这些梯形的面积之和为2××(2+4)×2=12.故选B.

【答案】B 2.(2017年全国Ⅱ卷)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某几何体的三视图,该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得,则该几何体的体积为(

).

A.90π

B.63π

C.42π

D.36π

【解析】(法一:割补法)由几何体的三视图可知,该几何体是一个圆柱截去上面虚线部分所得,如图所示.

将圆柱补全,并将圆柱从点A处水平分成上下两部分.由图可知,该几何体的体积等于下部分圆柱的体积加上上部分圆柱体积的,所以该几何体的体积V=π×32×4+π×32×6×=63π.

(法二:估值法)由题意知,V圆柱

【答案】B 3.(2017年北京卷)某四棱锥的三视图如图所示,则该四棱锥的最长棱的长度为(

).

A.3

B.2

C.2

D.2 【解析】在正方体中还原该四棱锥,如图所示,

可知SD为该四棱锥的最长棱.

由三视图可知正方体的棱长为2, 故SD=

=2

.故选B.

【答案】B 4.(2017年全国Ⅲ卷)已知圆柱的高为1,它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上,则该圆柱的体积为(

).

A.π B.

C.

D.

【解析】设圆柱的底面半径为r,球的半径为,R,且R=1,由圆柱两个底面的圆周在同一个球的球面上可知r,R及圆柱的高的一半构成直角三角形.

∴r=

-

=

.

∴圆柱的体积为V=πr2h=

π×1=

.故选B.

【答案】B

活动:品味生活中的几何体——探究输液瓶问题

在我们的周围有许许多多的几何体,这些几何体都是由点、线、面、体组成的,点是构成图形的基本元素.点、线、面、体经过运动变化,就能组合成各种各样的几何图形,形成多姿多彩的图形世界.

实际情境:医生在给患者输液时,常将输液瓶竖直倒挂在输液架上.

活动的过程:学生动手测量某种输液瓶的尺寸如图所示.

在输液开始时(t=0),瓶内药液为一个圆柱与一个圆台的组合体,圆柱的高为9 cm,底面圆的直径为8 cm,圆台的高为3 cm,母线与底面成45°角,输液开始后滴管内匀速滴下近似球状的药液.若球状药液的半径R=

mm.

探究一:要使瓶内药液在165分钟内输完,则每分钟应滴下多少滴? 【解析】设滴管内每分钟应滴y滴药液.y滴药液的体积为y·V球=y·πR3=y·π(

)3=y·π(mm3)=y(cm3).

瓶内药液的体积V=V柱+V台=π×42×9+×π×3(12+1×4+42)=165π(cm3).

由165×y=165π,得y=75.

所以每分钟应滴下75滴药液.

探究二:若每分钟滴下100滴,瓶内药液在多少分钟内输完? 【解析】设瓶内药液在t分钟内输完.

滴管内每分钟滴下100滴药液.100滴药液的体积为100·V球=100×πR3=100×π(

)3=100×π(mm3)=(cm3). 由探究1知瓶内药液的体积为165π cm3, 由t·=165π,得t=123.75分钟.

所以瓶内药液在123.75分钟内输完.

探究三:若瓶内药液在165分钟内输完.设输液开始后t分钟,瓶内液面距离进气管x cm.已知当t=0时,x=13 cm,将t表示为关于x的函数.

【解析】因为165π cm3药液165分钟输完,所以每分钟输π cm3药液. 当4≤x≤13时,tπ=π·42·(13-x), 即t=208-16x.

当1≤x<4时,tπ=165π-(x-1)(1+x+x2),

即t=

3-x.

-

所以t=

-

活动的总结:上面的三个探究都是利用体积相等解题的.准确找出等量关系是解决应用性问题的关键.

模型应用:小明从医院找来一个输液瓶如图所示.

他很想算一下输液瓶的容积,虽然输液瓶下部是圆柱,但瓶颈部分却不是简单几何体(似圆台而非圆台),所以小明一时不知如何计算.通过前面的探究,结合学过的几何体知识,你能用一把刻度尺和一些水,帮助小明解决这个问题吗?

【解析】先在瓶子里装一些水,并测出瓶子底面直径d和盛水部分高度a,然后盖上瓶盖将酒瓶倒置(水量需保证酒瓶倒置后能完全淹没瓶颈部分),测出上部无水部分的高度b.

由于两图中无水部分的体积相同,因此该输液瓶的容积v=π

a+π

b=π(a+b)d2.

活动的总结:本问题是生活中常见的问题,处理方法非常巧妙,值得我们学习.

活动的设计 : 组

长

(全面负责)

老师评语

实践实地采访:

,

;

方法

查阅文献并整理资料:

.

单元组分工

备

注

撰写报告:

;

主要发言人:

;

方案设计、审核等:单元组全体成员.

评价等级

一、选择题

1.下列选项中,正确的是(

).

A.①是棱台

B.②是圆台

C.③是棱锥

D.④不是棱柱

【解析】图①不是由棱锥截来的,所以①不是棱台;图②上下两个面不平行,所以②不是圆台;图④前后两个面平行,其他面是平行四边形,且每相邻两个四边形的公共边平行,所以④是棱柱;很明显③是棱锥.

【答案】C 2.中央电视台有一个非常受欢迎的娱乐节目《墙来啦》,选手需按墙上的空洞造型摆出相同姿势,才能穿墙而过,否则会被墙推入水池.类似地,有一个几何体恰好无缝隙地以三个不同形状的“姿势”穿过“墙”上的三个空洞,则该几何体为(

).

【解析】由题设中的要求可知该几何体的三视图的图形分别是正方形,圆,三角形.符合条件的只有A,所以选A.

【答案】A 3.将正方体(如图①所示)截去两个三棱锥,得到图②所示的几何体,则该几何体的侧(左)视图为(

).

【解析】根据空间几何体的三视图的概念易知侧(左)视图AD1应画成实线,B1C应画成虚线,故选B.

【答案】B

4.如图,△O'A'B'是水平放置的△OAB的直观图,则△OAB的面积是(

).

A.6 B.3

C.6

D.12

【解析】由水平放置的平面图形的斜二测画法的规则可知,△OAB为直角三角形且直角边OB=2O'B'=4,OA=O'A'=6,因此S△OAB=

×4×6=12.

【答案】D 5.一个机器零件的三视图如图所示,其中俯视图是一个半圆内切于边长为2的正方形,则该机器零件的体积为(

).

A.8+

B.8+π

C.8+π

D.8+π

【解析】此几何体为组合体,下部是正方体,上面是球的,并且半径为1,所以此几何体的体积V=2×2×2+×π×13=8+,故选A.

【答案】A

6.如图,在底面边长为1,高为2的正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,点P是平面A1B1C1D1内一点,则三棱锥P-BCD的正(主)视图与侧(左)视图的面积之和为(

).

A.1 B.2 C.3 D.4 【解析】设点P在平面A1ADD1的射影为点P',在平面C1CDD1的射影为点P″,如图.

∴三棱锥P-BCD的正(主)视图与侧(左)视图分别为△P'AD与△P″CD, 因此所求面积S=S△P'AD+S△P″CD=×1×2+×1×2=2.

【答案】B 7.如图1,已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,动点M,N,Q分别在线段AD1,B1C,C1D1上.当三棱锥Q-BMN的俯视图如图2所示时,三棱锥Q-BMN的正(主)视图面积等于(

).

A.a2

B.a2

C.a2

D.a2

【解析】由三棱锥Q-BMN的俯视图可得点Q在点D1处,点N在点C处,点M在D1A的中点处,所以三棱锥Q-BMN的正(主)视图为△D1EC(E为D1D的中点),其面积为a×=a2.故选B. 【答案】B

8.一个空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为(

).

A. cm3

B.3π cm3

C. cm3

D. cm3

【解析】由三视图知,此几何体是底面半径为1 cm、高为3 cm的圆柱上部去掉一个半径为1 cm的半球,所以其体积为

V=πr2h-

r3=3π-

=

cm3.

【答案】D 9.将一个长方体沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥,得到的几何体的正(主)视图与俯视图如图所示,则该几何体的侧(左)视图为(

).

【解析】由几何体的正(主)视图和俯视图可知该几何体的直观图如图①,故其侧(左)视图为图②.

【答案】B 10.已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为(

).

A.+2π

B.

C.

D.

【解析】由三视图可知该几何体是由一个圆柱和半个圆锥构成的组合体,其中圆柱的底面半径为1,高为2,圆锥的底面半径为1,高也为1,故其体积为π×12×2+×π×12×1=【答案】B 11.一个正三棱柱的三视图如图所示,则这个三棱柱的表面积为(

).

.

A.(48+8

)cm2

C.46 cm2

B.(46+6

)cm2

D.(40+4

)cm2

【解析】由三视图易知,该正三棱柱的形状如图所示,且AA'=BB'=CC'=4 cm,正△ABC和正△A'B'C'的高为2

cm, ∴正△ABC的边长为AB=

=4 cm, ∴该三棱柱的表面积为(48+8

) cm2.

【答案】A

12.如图所示,扇形的中心角为,其所在圆的半径为R,弦AB将扇形分成两个部分,这两部分各以直线AO为轴旋转一周,若△ABO旋转得到的几何体体积为V1,弓形AB旋转得到的几何体体积为V2,则V1∶V2为(

).

A.1∶1 B.2∶1 C.1∶2 D.1∶4

【解析】△AOB绕AO旋转得到的几何体为圆锥,体积V1πR3,整个扇形绕AO旋转得到的几何体为半球,体积V=πR3,于是V2=V-V1=πR3.

【答案】A 二、填空题

13.体积为8的正方体的顶点都在一个球面上,则该球的表面积为

.

【解析】设正方体的棱长为a,则a3=8,得a=2.设球的半径为R,则2R=

a,即R=

.所以球的表面积S=4πR2=12π.

【答案】12π

14.在棱长为4的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M是棱AA1的中点,过点C、M、D1作正方体的截面,则截面图形的面积是

.

【解析】如图,截面为CD1MI,是等腰梯形,其面积为×(2

+4

)×

-

=18.

【答案】18

15.一块正方形薄铁片的边长为4 cm,以它的一个顶点为圆心,边长为半径画弧,沿弧剪下一个扇形(如图),用这块扇形铁片围成一个圆锥筒,则这个圆锥筒的容积等于

cm3.

【解析】由2πr=×2π×4,得r=1(cm).

又母线长为4 cm,h=

-

=

(cm).

则V=πr2h=π×12×

=【答案】

(cm3).

16.已知一几何体的三视图如图所示,正(主)视图和侧(左)视图都是矩形,俯视图为正方形,在该几何体上任意选择4个顶点,它们可能是如下各种几何图形的4个顶点,这些几何图形是

.(写出所有正确结论的序号)

①矩形; ②不是矩形的平行四边形; ③有三个面为直角三角形,有一个面为等腰三角形的四面体; ④每个面都是等腰三角形的四面体.

【解析】由三视图知,几何体是正四棱柱,所以从该几何体上任意选择4个顶点,它们所构成的几何图形只可能是①③④.

【答案】①③④

三、解答题

17.圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍,轴截面的面积等于392,母线与轴的夹角为45°,求这个圆台的高、母线长和底面半径.

【解析】作出圆台的轴截面如图, 设O'A'=r.

∵一底面周长是另一底面周长的3倍, ∴OA=3r,SA'=

r,SA=3

r,OO'=2r.

由轴截面的面积为392,得(2r+6r)·2r=392,解得r=7.

故上底面半径为7,下底面半径为21,高为14,母线长为14

.

18.已知一个几何体的三视图如图所示.

(1)求此几何体的表面积.

(2)如果点P,Q在正(主)视图中所示位置:P为所在线段中点,Q为顶点.求在几何体表面上,从点P到点Q的最短路径的长.

【解析】(1)由三视图知此几何体是一个圆锥加一个圆柱,其表面积是圆锥的侧面积、圆柱的侧面积和圆柱的一个底面积之和.

S圆锥侧=

×(2πa)×(

a)=

πa2,S圆柱侧=(2πa)×(2a)=4πa2,S圆柱底=πa2, 所以S表=

πa2+4πa2+πa2=(

+5)πa2.

(2)沿点P所在母线剪开圆柱侧面,如图所示.

则PQ=

=

=a

, 所以从点P到点Q在侧面上的最短路径的长为a

.

19.如图所示,正方体ABCD-A'B'C'D'的棱长为a,连接A'C',A'D,A'B,BD,BC',C'D得到一个三棱锥.求: (1)三棱锥A'-BC'D的表面积与正方体表面积的比值; (2)三棱锥A'-BC'D的体积.

【解析】 (1)∵ABCD-A'B'C'D'是正方体,∴六个面都是正方形, ∴A'C'=A'B=A'D=BC'=BD=C'D=

a, ∴S三棱锥=4×

×(

a)2=2

a2,S正方体=6a2,

∴

三棱锥

正方体=

.

(2)∵三棱锥A'-ABD、C'-BCD、D-A'D'C'、B-A'B'C'是完全一样的, ∴V三棱锥A'-BC'D=V正方体-4V三棱锥A'-ABD=a3-4×

×

a2×a=

a3.

20.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AD=AA1=1,AB>1,点E在棱AB上移动,小蚂蚁从点A沿长方体的表面爬到点C1,所爬的最短路程为2

.

(1)求AB的长度; (2)求该长方体外接球的表面积.

【解析】(1)设AB=x,点A到点C1可能有两种途径,如图甲的最短路程为AC1=

.

如图乙的最短路程为AC1=

=

.

因为x>1,所以x2+2x+2>x2+2+2=x2+4,故从点A沿长方体的表面爬到点C1的最短距离为

.

由题意得

=2

,解得x=2.

即AB的长度为2.

(2)设长方体外接球的半径为R,则(2R)2=12+12+22=6, 所以R2=,所以S表=4πR2=6π.

即该长方体外接球的表面积为6π.

21.已知底面为正方形的四棱锥P-ABCD如图(1)所示,PC⊥平面ABCD,其中图(2)为该四棱锥的正(主)视图和侧(左)视图,它们是腰长为4 cm的全等的等腰直角三角形.

(1)根据图(2)所给的正(主)视图、侧(左)视图,画出相应的俯视图,并求出该俯视图的面积; (2)求PA的长度.

【解析】(1)该四棱锥的俯视图是边长为4 cm的正方形内含一条对角线,俯视图如图所示,其面积为16 cm2.

(2)由侧(左)视图可求得PD=

=

=4

cm.

由正(主)视图可知AD=4 cm且AD⊥PD, 所以在Rt△APD中,PA=

=

=4

cm.

22.如图所示,为了制作一个圆柱形灯笼,先要制作4个全等的矩形骨架,总计耗用9.6米铁丝,再用S平方米塑料片制成圆柱的侧面和下底面(不安装上底面).

(1)当圆柱底面半径r取何值时,S取得最大值?并求出该最大值(结果精确到0.01平方米).

(2)若要制作一个如图放置的底面半径为0.3米的灯笼,请作出该灯笼的三视图(作图时,不需考虑骨架等因素).

【解析】(1)由题意可知矩形的高为 - =1.2-2r,

∴塑料片面积S=πr2+2πr(1.2-2r) =πr2+2.4πr-4πr2=-3πr2+2.4πr

=-3π(r2-0.8r), ∴当r=0.4米时,S有最大值,约为1.51平方米.

(2)若灯笼底面半径为0.3米, 则高为1.2-2×0.3=0.6米.

制作灯笼的三视图如图所示.