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专题复习—多面体的外接球问题

江门市培英高级中学 董艳丽 高三（18）班 2019年3月6日

【教学分析】

有关多面体外接球的问题，是立体几何的一个重点，也是高考考查的一个热点.研究多面体的外接球问题，既要运用多面体的知识，又要运用球的知识，并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系，而多面体外接球半径的求法在解题中往往会起到至关重要的作用. 【考情分析】

近年来高考题常把球与其它几何体相结合，对内切、外接问题进行考查.多以选择题、填空题的形式出现，难度不大，但设问方式多种多样，对空间想象能力的要求较高. 【教学目标】

知识与技能：学生掌握多面体外接球半径的常用方法，进而解决多面体的外接球的问题。

过程与方法：培养空间想象能力和感性认识，体会转化的数学思想方法。

教学重点：多面体外接球的半径的求法

教学难点：利用空间想象能力分析图形，明确接点及球心的位置，求出多面体的外接球半径。

【教学过程】

知识回顾：

(一)球的性质

性质1：用一个平面去截球，截面是圆面；

性质2：球心和截面圆心的连线垂直于截面

性质3：球心到截面的距离与球的半径R及截面的半径的关系：

R2d2r2（二）球体的体积与表面积：V

423

S4RR球面球3（三）长方体的外接球球心及半径：

（四）如何确定三棱锥外接球的球心及求外接球的半径：

新授课：

一、常考题型

(一）墙角模型（三条两两垂直的棱）

解题方法：找三条两两垂直的线段，直接利用长方体对角线公式即可：

2R2a2b2c22Ra2b2c2

1

例1.(期末试题第10题）

32，则该几何体的外接球的表面积为(

) 3A．12 B．24 C．36 D．48

如图所示的三视图表示的几何体的体积为

例2.(第13周周练16）

已知三棱锥OABC,BOC90,OA平面BOC，其中AB10，BC13，0AC5,O,A,B,C四点均在球S的表面上，则球S的表面积为

．

(二)侧棱垂直于底面型

（侧棱垂直于底面的棱锥）题型：PA平面ABC

h R2r2d2(其中d)

2例3.(第12周周练7）

已知三棱锥PABC中，AB平面APC，AB42，PA=PC=1,AC=3，则三棱锥PABC外接球的表面积为（

）

A．28

B．34

C．

36

D．38

例4.（第18周周练10）

三棱锥ABCD中，底面BCD是边长为3的等边三角形，侧面三角ACD为等腰三角形，

且腰长为13，若AB2，则三棱锥ABCD外接球表面积是(

) A．4

(三)对棱相等型

B．8

C．12

D．16

题型：三棱锥（即四面体）中，已知三组对棱分别相等（AB=CD=x,AD=BC=y,AC=BD=z），求外接球问题

2Rx2y2z2

22

例5：三棱锥A-BCD中，AB=CD=2,AD=BC=3,AC=BD=4，则三棱锥A-BCD的外接球的表面积为

(四)侧棱相等型

题型：三棱锥PABC的三条侧棱相等，且各个顶点都球面上

方法一：由R2hRr2,解出R

2方法二：2R

aa为棱长，为侧棱与底面所成角

sin例6：正三棱锥SABC中，底面ABC是边长为3

的正三角形，侧棱长为2，则该三棱锥的外接球体积等于

四、小结：

1.

墙角型与三条对棱分别相等型，求外接球的半径

方法：直接补成长方体，求其体对角线；

2长方体外接球半径公式：（2R）a2b2c22Ra2b2c2

2.

侧棱垂直于底面型

Rrd(其中d222h)

23、侧棱都相等型的棱锥，求外接球的半径

常用公式：R2hRr2

a特殊公式：2Ra为棱长，为侧棱与底面所成角sin

五、练习

1.正四棱锥S-ABCD的底面边长和各侧棱长都为2，点S、A、B、C、D都在同一个球面上，则该球的体积为

。

2.在三棱锥P-ABC中，PA=PB=PC=3,侧棱PA与底面ABC所成的角为60，则该三棱锥外接球的体积为( ) o2A.2 B.4 C.4 D. 333

3.已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上，

SA平面ABC,SA23，AB1，AC2，BAC60，则球O的表面积为（ ）

A.4

B.12

C.16

D.64

4.某几何休的三视图如图所示，若该几何体各顶点都在一球面上，则这个球的表面积为 。

5、已知三棱锥P-ABC,点P,A,B,C都在半径为3的球面上，若PA,PB,PC两两相互垂直,则球心到截面ABC的距离为_____

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