3.4 生活中的优化问题举例优质教案设计

生活中的优化问题举例

一、教学目标

1．知识和技能目标

（1）探究面积，容积最值问题；费用，用料最省问题；利润最大问题；体会导数在解决实际问题中的作用；

（2）提高将实际问题转化为数学问题的能力．

2．过程和方法目标

（1）培养学生主动发现问题、分析问题、解决问题的能力；

3．情感态度和价值观目标

(1)进一步培养学生应用数学的意识。

二、教学重点.难点

教学重点：利用导数求函数最值的方法.用导数方法求函数最值的方法步骤

教学难点：对最值的理解及与极值概念的区别与联系.求一些实际问题的最大值与最小值

三、学情分析

生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题．通过前面的学习，我们知道，导数是求函数最大（小）值的有力工具．这一节，我们利用导数，解决一些生活中的优化问题．

四、教学方法

师生互动探究式教学

五、教学过程

知识导学：

1.生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题称为优化问题，优化问题有时也称为最值问题．解决这些问题具有非常重要的现实意义．

2解决优化问题的方法：

（1）利用导数解决优化问题的基本思路：

优化问题

建立数学模型用函数表示的数学问题

解决数学模型

优化问题的答案

作答

用导数解决数学问题

(2)解决优化问题的一般步骤

①认真阅读理解关于实际问题的材料．一般地，实际问题的材料有时很冗长，涉及的量也比较多，这就需要耐心读题，去粗取精，化繁为简，揭示其数学本质．

②在阅读理解的基础上，建立数学模型．把要解决的实际问题转化为数学问题，建立相关的函数关系式．

③制定解决方案．用导数解决实际问题，在这里要特别注意实际问题的定义域．

④回归．根据数学问题的答案回答实际问题中的优化问题．

3．利用导数解决实际问题的步骤

(1)分析实际问题中各量之间的关系，把所求实际问题转化为数学问题，即列出函数关系式y＝f(x)；

(2)确定变量x和y的变化范围，求函数的导数f′(x)，解方程f′(x)＝0，求出在x变化范围内的各个极值点；

(3)求出x变化范围内端点的函数值；

(4)比较函数各极值点的函数值和端点函数值，根据问题的实际意义，确定函数的最大值(最小值)和最大值点(最小值点). 旧知回顾：函数单调性与导数的关系；闭区间上连续函数的最值定理

新课导入：在过去的学习中，我们一般把优化问题转化为数学中的函数问题,进而转化为求函数的最值问题．导数是求函数最大（小）值的强有力的工具，如何学以致用，利用导数求解优化问题呢？

探究1：

面积、容积的最大(小)值问题

例1．海报版面尺寸的设计

学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传。现让你设计一张如图1.4-1所示的竖向张贴的海报，要求版心面积为128dm2,上、下两边各空2dm,左、右两边各空1dm。如何设计海报的尺寸，才能使四周空心面积最小？

解：设版心的高为xdm，则版心的宽为128dm,此时四周空白面积为

x

128512S(x)(x4)(2)1282x8,x0。

xx512512求导数，得S'(x)22。令S'(x)220，解得x16(x16舍去）。

xx1281288。

于是宽为x16当x(0,16)时，S'(x)<0；当x(16,)时，S'(x)>0. 因此，x8是函数S(x)的极小值，也是最小值点。所以，当版心高为16dm，宽为8dm时，能使四周空白面积最小。

答：当版心高为16dm，宽为8dm时，海报四周空白面积最小。

归纳总结：利用导数解决几何问题，往往是求体积、面积的最值，首先看清题意，分析几何图形的特征，设出变量，列出目标函数式，注明定义域，再转化为用导数求最值．若在定义域内只有一个极值，则这个极值便为最值．

学以致用：1、将一段长为100 cm的铁丝截成两段，一段弯成正方形，一段弯成圆，问如何截可使正方形与圆面积之和最小？

探究2：

费用、用料最省问题

例2．某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距m米，余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩．经测算，一个桥墩的工程费用为256万元；距离为x米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2＋x)x万元．假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为y万元．

(1)试写出y关于x的函数关系式；

(2)当m＝640米时，需新建多少个桥墩才能使y最小？

解：(1)设需新建n个桥墩，则(n＋1)x＝m，即n＝－1. 所以y＝f(x)＝256n＋(n＋1)(2＋x)x

mm＝256－1＋(2＋x)x

xx＝256m＋mx＋2m－256. mxx

(2)由(1)知，f′(x)＝－256m11m3＋mx－＝(x－512)．

x2222x223令f′(x)＝0，得x＝512，所以x＝64. 2当0

当640，f(x)在区间(64,640)内为增函数，

m640所以f(x)在x＝64处取得最小值．此时n＝－1＝－1＝9. x64故需新建9个桥墩才能使y最小．

归纳总结：费用、用料最省问题是日常生活中常见的问题之一，解决这类问题要明确自变量的意义以及最值问题所研究的对象．正确书写函数表达式，准确求导，结合实际做答．

学以致用：2、有甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线河岸的岸边A处，乙厂与甲厂在河的同侧，乙厂位于离河岸40 km的B处，乙厂到河岸的垂足D与A相距50 km，两厂要在此岸边合建一个供水站C，从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米3a元和5a元，问供水站C建在岸边何处才能使水管费用最省？

探究3：

利润最大问题

例3．饮料瓶大小对饮料公司利润的影响

（1）你是否注意过，市场上等量的小包装的物品一般比大包装的要贵些？

（2）是不是饮料瓶越大，饮料公司的利润越大？

【背景知识】：某制造商制造并出售球型瓶装的某种饮料．瓶子的制造成本是 0.8r2分，其中

r

是瓶子的半径，单位是厘米。已知每出售1 mL的饮料，制造商可获利 0.2 分,且制造商能制作的瓶子的最大半径为 6cm 问题：（1）瓶子的半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？

（2）瓶子的半径多大时，每瓶的利润最小？

解：由于瓶子的半径为r，所以每瓶饮料的利润是

r3432yfr0.2r0.8r0.8r2,0r6

33

令fr0.8(r22r)0 解得 r2（r0舍去）

当r0,2时，fr0；当r2,6时，fr0．

当半径r2时，fr0它表示fr单调递增，即半径越大，利润越高；

当半径r2时，fr0

它表示fr单调递减，即半径越大，利润越低．

（1）半径为2cm 时，利润最小，这时f20，表示此种瓶内饮料的利润还不够瓶子的成本，此时利润是负值．[来源:学科网]

（2）半径为6cm时，利润最大．

换一个角度：如果我们不用导数工具，直接从函数的图像上观察，会有什么发现？

有图像知：当r3时，f30，即瓶子的半径为3cm时，饮料的利润与饮料瓶的成本恰好相等；当r3时，利润才为正值．

当r0,2时，fr0，fr为减函数，其实际意义为：瓶子的半径小于2cm时，瓶子的半径越大，利润越小，半径为2cm 时，利润最小．

归纳总结：

学以致用：3、某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y＝ax－3＋10(x－6)2.其中3＜x＜6，a为常数．已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克．

(1)求a的值；

(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．

课堂小结：

课后作业：1.阅读教材101-104页； 2.P104习题3.4: 2,3,6.