习题2.3教案及板书设计

空间距离

教学目标：

1、知识与技能目标

（1）通过实例探究，使学生掌握求点到平面的距离的方法. （2）会求点到直线的距离，并利用点到平面的距离求直线与平面所成角. 2、过程与方法目标

（1）通过探讨发现的过程，体会数学转化思想. （2）通过方法总结及应用，培养学生的总结和应用能力，以及空间想象能力. 3、情感与态度目标

通过经历数学探究的过程，培养其积极探索的精神以及方法总结和应用的能力. 教学重点：求点到平面的距离.

教学难点：利用转化思想解决点到平面的距离和直线与平面所成角.

——点到平面的距离

教学导图：

作垂线

点到平面的距离

等体积法

相交转化

转化法

平行转化

求直线与平面所成角

教学设计：

一．知识引入：

从平面外一点作一个平面的垂线，这个点与垂足之间的距离就是这个点到这个平面的距离.点到平面的距离是立体几何中的重点和难点.应用非常广泛，比如体积问题，直线与平面所成角问题，二面角问题等. 师生互动,共同探究

如图，点P为矩形ABCD所在平面外一点，PA平面ABCD，Q为PA的中点，

P 问题1: 点A到平面PCD的距离与点Q到

平面PCD的距离有什么关系,为什么?

答：2倍关系.因为Q为PA中点. 模型如右

问2: 点P到平面BQD的距离与点A到

平面BQD的距离有什么关系,为什么?

答：相等关系.因为Q为PA中点. 模型如右

B Q A C D

问3: 点P到平面BQD的距离与点C到平面BQD的距离有什么关系,为什么?

答：相等关系.因为Q为PA中点. 模型如右

二．例题讲解, 总结方法: 例1如图，点P为矩形ABCD所在平面外一点，PA平面ABCD，Q为PA的中P 点，AB3,BC4,PA2.

求:(1)点Q到平面PCD的距离；

E Q A D (2)点P到平面BQD的距离.

解：(1)

点Q是PA的中点

B C 点A到平面PCD的距离是点Q到平面PCD的距离的2倍

PA平面ABCDPACD又CDADCD平面PAD平面PCD平面PAD

过点A作AEPD于E，则AE平面PCD

RTPAD中，PA2,AD4AE45

5点Q到平面PCD的距离为(2) 因为点Q是PA的中点

25

5点P到平面BQD的距离等于点A到平面BQD的距离

BDQ中，BQ=10，DQ17,BD5BQ2DQ2BD21017251则cosBQD2BQDQ21017170

13sinBQD170111313SBQDBQDQsinBQD1017221702设A到平面BQD的距离为h

11V三棱锥ABQDV三棱锥QABD

SBQDhSABD|AQ|

331212又SABD6，h点P到平面BQD的距离为

1313

方法总结：

求点到平面的距离一般采用以下三种方法：

一是由平面和平面垂直的性质，直接作出点到平面的垂线再计算；

二是采用等体积法; 三是当该点到已知平面的距离不易求时，可转化为其他点到平面的距离再求.

教法：师生合作探究，展示成果，再归纳小结

三．巩固应用: 练习：已知ABCDA1BC11D1是底面边长为1的正四棱柱，O1是AC11和B1D1的交点,棱柱高为2. 求点D到平面AB1D1的距离.

解：连结A1D交AD1于E E为A1D的中点

E D到平面AB1D1的距离等于A1到平面AB1D1的距离

AB1D1中，AB1AD15,B1D12

SAB1D1设A1到平面AB1D1的距离为h

11V三棱锥A1AB1D1V三棱锥AA1B1D1

SAB1D1hSAB1D1|1AA1|

3312又SA1B1D1，h

232点P到平面BQD的距离为

33

2思考：点C到平面AB1D1的距离

教法：学生自主完成，展示成果，教师点评，再归纳小结

四．发散思维:

问：根据直线与平面所成角的定义，直线与平面所成角问题能否转化成点到平面的距离问题？

答：求直线与平面所成角的关键是找到直线在平面内的射影. 找直线在平面内的射影的关键是在直线上找一点作平面的垂线.斜

线段、射影线段、垂线段三者构成三角形.当垂线不好作的时候，

可通过求出斜线段和垂线段来求直线与平面所成角. 例2.【2017浙江】如图，已知四棱锥P–ABCD，△PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形，P

BC//AD，CD⊥AD，PC=AD=2DC=2CB，E，O分别为PD，AD中点. （Ⅰ）证明：平面POB平面PBC；

（Ⅱ）求直线CE与平面PBC所成角的正弦值．

（Ⅰ）证明：BCOD,BCOD,CDAD

F E

A

B

O D

C

四边形OBCD为正方形ODOBPAPD,O为AD中点POOD

OD平面POBBC平面POB平面POB平面PBCBCOD（Ⅱ）解：设BC=1 E为PD中点

E到平面PBC的距离等于D到平面PBC距离的一半

BCOD

D到平面PBC的距离等于O到平面PBC距离

作OFPB于F，则OF平面PBC RtPBC中，PC=2,BC=1,则PB=3

POB中，OP=OB=1, PB=3,则OF=1

21E到平面PBC的距离为

4PCD中，PC=2，DP2,DC1DP2DC2PC22141则cosCDP2DPDC22122

222CEDEDC2DEDCcosCDP121121()2CE2222212

直线CE与平面PBC所成角的正弦值为/2=48教法：教师引导，学生整理思路，展示结果

五．课堂小结（师生合作，多媒体展示）

点到平面的距离

求直线与平面所成角

作垂线

等体积法

相交转化

转化法

平行转化

六、教学反思：

本节内容是人教版2013版高二数学必修2的一节巩固复习课。本节课通过具体例子引入转化法求点到平面的距离。通过学生练习、展示与探究进一步巩固应用，提高升华。凸显了教学的有效性：给学生创造一个愉快的学习环境，是数学课堂

高效的切入点。课前给学生时间充分预习做铺垫，为创造有效的课堂提供条件，充分掌握学生的学情，精心设计学生的活动，激发学习兴趣，启迪学生智慧，启发学生思维，课堂鼓励学生动手操作、参与讨论、表述思想、展示自我、及时反馈信息、适时调控，使教师与学生、学生与学生之间保持有效互动的过程；使学生获得对该学科的积极体验与情感，使师生、生生合作和谐、默契，以实现课堂教学的优化。

另外，学生能够很好的掌握如何求点到平面的距离，体会数学的魅力。课后学生通过练习更好的掌握学习的内容。