小结教案和学案内容

《直线与方程》教学设计

课 题

教 者

直线与方程（第一课时）

张

健

课 型

复习课

本节课是对第三章的基本知识和方法的总结与归纳，从整体上来把握本章，使学生基本知识系统化和网络化，基本方法条理化。本章内容大致分为三个部分：（1）直线的倾斜角和斜率；（2）直线方程；（3）两条直线的位置关系。分两个课时复习。可采用分单元小结的方式，让学生自己回顾和小结各单元知识。再此基础上，教师可对一些关键处予以强调。比如可重申解析几何的基本思想——坐标法，并用解析几何的基本思想串联全章知识，使全章知识网络更加清晰。指出本章学习要求和要注意的问题，可让学生阅读教科书中“学习要求和要注意的问题”有关内容。教师重申坐标法、函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想及分类与讨论思想等数学思想方法在本章中的特殊地位。

1.直线的倾斜角和斜率的概念；

知识与技能

2.过两点的直线斜率计算公式；

3.直线的五种形式方程。

过程与方法

培养学生的运算能力、化归意识，培养学生思维的灵活性、严密性。

激发学生学习数学的兴趣,培养分类讨论的思想和抽象思维能力。

教

材

分

析

教

学

目

标

教学重点

教学难点

教学方法

教学用具

课时安排

教学内容

教

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情感、态度与价值观

1.直线的倾斜角和斜率；

2.求直线的方程。

直线方程的综合应用。

探究法，讲练结合法

白板

一课时

师生活动

一、基础知识·自主学习

1.直线的倾斜角与斜率

(1)直线的倾斜角

①定义：当直线l与x轴相交时，我们取x轴作为基准，x轴

正向与直线l 向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角.当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°

. ②倾斜角的范围为

0°≤α＜180° . (2)直线的斜率

①定义：一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝tanα

，倾斜角是90°平泉中学数学教研组

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的直线斜率不存在. ②过两点的直线的斜率公式

经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2) (x1≠x2)的直线的斜率公式

为 .

2.直线方程的五种形式

名称

点斜式

斜截式

方程

yy0k(xx0)

适用范围

不含垂直于x轴的直线

不含垂直于x轴的直线

不含直线x＝x1 (x1≠x2)和直线y＝y1 (y1≠y2)

不含垂直于坐标轴

和过原点的直线

平面直角坐标系内的

直线都适用

ykxb

yy1xx1y2y1x2x1

xy1

ab两点式

截距式

一般式

AxByC0

（A，B不同时为0）

3.过P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线方程

(1)若x1＝x2，且y1≠y2时，直线垂直于x轴，方程为

x＝x1 ；

(2) 若x1≠x2，且y1＝y2时，直线垂直于y轴，方程为

y＝y1 ；

(3)若x1＝x2＝0，且y1≠y2时，直线即为y轴，方程为

x=0

；

(4)若x1≠x2，且y1＝y2＝0时，直线即为x轴，方程为

y=0 . 4.线段的中点坐标公式

若点P1、P2的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)，且线段P1P2

x1＋x2

2

的中点M的坐标为(x，y)，则 ，此公式

y1＋y2

2

为线段P1P2的中点坐标公式. 二、题型分类·深度剖析

题型一 直线的倾斜角与斜率

【例1】

经过P(0，－1)作直线l，若直线l与连接A(1，－2)，B(2,1)的线段总有公共点，则直线l的斜率k和倾斜角α的取值范围分别为________，_______________. 平泉中学数学教研组

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思维启迪：

本题考查斜率求解公式以及k与α的函数关系，解题关键是在求倾斜角时要对其分锐角、钝角的讨论. 解析：

如图所示，结合图

形：为使l与线段AB 总有公共点，则kPA≤

k≤kPB，而kPB>0，kPA <0，故k<0时，倾斜角α为

钝角，k＝0时，α＝0，k>0 时，α为锐角. －2－－1又kPA＝＝－1，

1－0－1－1kPB＝＝1，∴－1≤k≤1. 0－2π又当0≤k≤1时，0≤α≤；

43π当－1≤k<0时，≤α<π.

4π3π故倾斜角α的取值范围为α∈[0，]∪[，π).

44思维提升：

直线倾斜角的范围是[0，π)，而这个区间不是正切函数的单调区ππ间，因此根据斜率求倾斜角的范围时，要分0，与，π两22π种情况讨论.由正切函数图象可以看出当α∈0，时，斜2ππ率k∈[0，＋∞)；当α＝时，斜率不存在；当α∈，π时，22斜率k∈(－∞，0). 跟踪训练1

(1)若直线l与直线y＝1，x＝7分别交于点P，Q，且线段PQ的中点坐标为(1，－1)，则直线l的斜率为

(

) 1 A. 31B.－

33C.－

22D.

3

解析

依题意，设点P(a,1)，Q(7，b)，

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a＋7＝2则有b＋1＝－2

，解得a＝－5，b＝－3，

－3－11从而可知直线l的斜率为＝－. 7＋53题型二 求直线的方程 【例2】

根据所给条件求直线的方程：

1(1)直线过点(－4,1)，倾斜角是直线y=-x+1的倾斜角的

；

3(2)直线过点(－3,4)，且在两坐标轴上的截距之和为12；

(3)直线过点(5,10)，且到原点的距离为5. 思维启迪：

本题考查直线方程的三种形式，解题关键在于设出正确的方程形式.

解：（1）设倾斜角为α，直线y=-x+1的倾斜角是135。则α=45。

斜率k=1，由直线的点斜式方程得y-1=x+4,

即 x-y+5=0. 解：(2)由题设知截距不为0，设直线方程为

xy＋a12－a＝1，

又直线过点(－3,4)，

－34从而a＋＝1，解得a＝－4或a＝9. 12－a故所求直线方程为4x－y＋16＝0或x＋3y－9＝0.

解：(3)当斜率不存在时，所求直线方程为

x－5＝0，符合题意；

当斜率存在时，设斜率为k，

则所求直线方程为y－10＝k(x－5)，

即

kx－y＋(10－5k)＝0. 平泉中学数学教研组

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|10－5k|由点到直线距离公式，得2＝5，

k＋13解得k＝4. 故所求直线方程为3x－4y＋25＝0. 综上所述，所求直线方程为x－5＝0 或3x－4y＋25＝0.

思维升华：

在求直线方程时，应先选择适当的直线方程的形式，并注意各种形式的适用条件. 用斜截式及点斜式时，直线的斜率必须存在，

两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，

截距式不能表示与坐标轴垂直或经过原点的直线.故在解题时，若采用截距式，应注意分类讨论，判断截距是否为零；

若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况. 跟踪训练2 求经过点P(3,2)，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程；

解 设直线l在x、y轴上的截距均为a，

①

若a＝0，即l过点(0,0)和(3,2)，

xy②

若a≠0，则设l的方程为a＋a＝1，

32∵l过点(3,2)，∴a＋a＝1，

∴a＝5，∴l的方程为x＋y－5＝0. 综上可知，直线l的方程为2x－3y＝0或x＋y－5＝0. 题型三 直线方程的综合应用

【例3】已知直线l过点P(3,2)，且与x轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点，如图所示，求△ABO的面积的最小值及此时直线l的方程. 平泉中学数学教研组

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思维启迪：

先求出AB所在的直线方程，再求出A，B两点的坐标，表示出△ABO的面积，然后利用相关的数学知识求最值. 解：依题意知，直线l的斜率k存在且k<0. 则直线l的方程为y－2＝k(x－3) (k<0)，

且有2，B(0,2－3k)，

3－，0Ak21∴S△ABO＝(2－3k)3－

2k112＋－9k＋4＝

2－k41－9k·≥212＋2

－k1＝2×(12＋12)＝12. 42当且仅当－9k＝，即k＝－3时，等号成立. －k即△ABO的面积的最小值为12. 故所求直线的方程为2x＋3y－12＝0.

思维升华：

直线方程综合问题的两大类型及解法

(1)与函数相结合的问题：解决这类问题，一般是利用直线方程中的x，y的关系，将问题转化为关于x(或y)的函数，借助函数的性质解决. (2)与方程、不等式相结合的问题：一般是利用方程、不等式的有关知识(如方程解的个数、根的存在问题，不等式的性质、基本不等式等)来解决. 跟踪训练3 已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R). (1)证明：直线l过定点；

(2)若直线l交x轴负半轴于A，交y轴正半轴于B，△AOB的面积为S(O为坐标原点)，求S的最小值并求此时直线l的方程. (1)证明

直线l的方程是k(x＋2)＋(1－y)＝0，

x＋2＝0令1－y＝0

x＝－2，解得y＝1

，

∴无论k取何值，直线总经过定点(－2,1). 第

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(2)解

由l的方程，得1＋2k－<0，k依题意得1＋2k>0，1＋2kA－，0，B(0,1＋2k).`` k

解得k>0.

21＋2k1111＋2k114k＋＋∵S＝2·|OA|·|OB|＝2··|1＋2k|＝·＝k22kk1≥×(2×2＋4)＝4，

211等号成立的条件是k>0且4k＝，即k＝，

k2∴Smin＝4，此时直线l的方程为x－2y＋4＝0. 三、思想方法·感悟提高

方法与技巧

1.要正确理解倾斜角的定义，明确倾斜角的取值范围，熟记y2－y1斜率公式：k＝，该公式与两点顺序无关，已知两点坐x2－x1标(x1≠x2)时，根据该公式可求出经过两点的直线的斜率.当x1＝x2，y1≠y2时，直线的斜率不存在，此时直线的倾斜角为90°. 2.求斜率可用k＝tan α(α≠90°)，其中α为倾斜角，由此可见倾斜角与斜率相互联系不可分割，牢记：“斜率变化分两段，90°是分界，遇到斜率要谨记，存在与否需讨论”. 3.求直线方程中一种重要的方法就是先设直线方程，再求直线方程中的系数，这种方法叫待定系数法. 失误与防范

1.求直线方程时要注意判断直线斜率是否存在；每条直线都有倾斜角，但不一定每条直线都存在斜率. 2.根据斜率求倾斜角，一是要注意倾斜角的范围；二是要考虑正切函数的单调性. 1.学业水平考试考试大纲与解读 作业布置

必修2 第三章第2,3,5,8,9,10,16题

2.复习3.3直线的交点坐标与距离公式

教学反思

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