习题1.2教案和学案内容

空间几何体的结构特征及三视图和直观图

适用学科

适用区域

知识点

数学

新课标

柱、锥、台、球的结构特征

简单几何体的结构特征

三视图

直观图

适用年级

课时

高二

1 教学目标

1、通过本课训练，进一步理解和掌握简单几何体与三视图和直观图的有关概念、常见题型

及解法；

2、培养和训练学生识别、选择、作图、运用及空间想象的能力。

教学重点

教学难点

柱、锥、台、球及简单组合体的结构特征及性质

柱、锥、台、球及简单组合体的结构特征及性质

教学过程

一、复习预习

教师引导学生复习上节内容，并引入本节课程内容

二、知识讲解

考点/易错点1

多面体的结构特征

多面体

棱柱

棱锥

棱台

结构特征

有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个面的交线都平行且相等

有一个面是多边形，而其余各面都是有一个公共顶点的三角形

棱锥被平行于底面的平面所截，截面和底面之间的部分

考点/易错点2

旋转体的形成

几何体

圆柱

圆锥

圆台

旋转图形

矩形

旋转轴

任一边所在的直线

直角三角形

一条直角边所在的直线

直角梯形

垂直于底边的腰所在的直线

球

半圆

直径所在的直线

考点/易错点3

简单组合体

简单组合体的构成有两种基本形式：一种是由简单几何体拼接而成；一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成，有多面体与多面体、多面体与旋转体、旋转体与旋转体的组合体．

考点/易错点4

平行投影与直观图

空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，其规则是：

(1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴、y′轴的夹角为45°(或135°)，z′轴与x′轴和y′轴所在平面垂直．

(2)原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行于坐标轴．平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的一半．

考点/易错点5

三视图

几何体的三视图包括正视图、侧视图、俯视图，分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线．

三、例题精析

【例题1】

【题干】如果四棱锥的四条侧棱都相等，就称它为“等腰四棱锥”，四条侧棱称为它的腰，以下4个命题中，假命题是(

) A．等腰四棱锥的腰与底面所成的角都相等

B．等腰四棱锥的侧面与底面所成的二面角都相等或互补

C．等腰四棱锥的底面四边形必存在外接圆

D．等腰四棱锥的各顶点必在同一球面上

【答案】B

【解析】如图，等腰四棱锥的侧棱均相等，其侧棱在底面的射影也相等，则其腰与底面所成角相等，即A正确；底面四边形必有一个外接圆，即C正确；在高线上可以找到一个点O，使得该点到四棱锥各个顶点的距离相等，这个点即为外接球的球心，即D正确；但四棱锥的侧面与底面所成角不一定相等或互补(若为正四棱锥则成立)．故仅命题B为假命题．

【例题2】

【题干】(1)如图是底面为正方形、一条侧棱垂直于底面的四棱锥的三视图，那么该四棱锥的直观图是下列各图中的(

)

(2)

如图，正三棱柱ABC－A1B1C1的各棱长均为2，其正视图如图所示，则此三棱柱侧视图的面积为(

) A．22

C.3

B．4 D．23

【答案】D.D

【解析】(1)由俯视图排除B、C；由正视图、侧视图可排除A

(2)依题意，得此三棱柱的左视图是边长分别为2，3的矩形，故其面积是23 【例题3】

【题干】如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是(

) A．2＋2

B.2＋2C.

2【答案】A

【解析】恢复后的原图形为一直角梯形

1＋22

D．1＋2 1S＝2(1＋2＋1)×2＝2＋2

【例题4】

【题干】已知△ABC的直观图A′B′C′是边长为a的正三角形，求原△ABC的面积．

【解析】建立如图所示的坐标系xOy′，

△A′B′C′的顶点C′在y′轴上，A′B′边在x轴上，OC为△ABC的高．

把y′轴绕原点逆时针旋转45°得y轴，

则点C′变为点C，且OC＝2OC′，A，B点即为A′，B′点，长度不变．

已知A′B′＝A′C′＝a，在△OA′C′中，

由正弦定理得

OC′A′C′＝，

sin∠OA′C′sin 45°

sin 120°6所以OC′＝sin 45°

a＝2

a，

所以原三角形ABC的高OC＝6a. 16所以S△ABC＝2×a×6a＝2a2. 四、课堂运用

【基础】

1．如图，在下列四个几何体中，其三视图(正视图、侧视图、俯视图)中有且仅有两个相同的是(

)

A．②③④

B．①②③

C．①③④

D．①②④

解析：选A

①的三个视图都是边长为1的正方形；②的俯视图是圆，正视图、侧视图都是边长为1的正方形；③的俯视图是一个圆及其圆心，正视图、侧视图是相同的等腰三角形；④的俯视图是边长为1的正方形，正视图、侧视图是相同的矩形．

2．一个锥体的正视图和侧视图如图所示，下面选项中，不可能是该锥体的俯视图的是(

)

解析：选C

C选项不符合三视图中“宽相等”的要求，故选C. 5.如图△A′B′C′是△ABC的直观图，那么△ABC是(

) A．等腰三角形

B．直角三角形

C．等腰直角三角形

D．钝角三角形

解析：选B

由斜二测画法知B正确．

13．一个几何体的正视图和侧视图都是边长为1的正方形，且体积为2，则这个几何体的俯视图可能是下列图形中的________．(填入所有可能的图形前的编号) ①锐角三角形；②直角三角形；③四边形；④扇形；⑤圆．

解析：如图1所示，直三棱柱ABE－A1B1E1符合题设要求，此时俯视图△ABE是锐角三角形；如图2所示，直三棱柱ABC－A1B1C1符合题设要求，此时俯视图△ABC是直角三角形；如图3所示，当直四棱柱的八个顶点分别是正方体上、下各边的中点时，所得直四棱柱ABCD－A1B1C1D1符合题设要求，此时俯视图(四边形ABCD)是正方形；若俯视图是扇形或圆，体积中会含有π，故排除④⑤.

答案：①②③

4．正四棱锥的底面边长为2，侧棱长均为3，其正视图(主视图)和侧视图(左视图)是全等的等腰三角形，则正视图的周长为________．

解析：由题意知，正视图就是如图所示的截面PEF，其中E、F分别是AD、BC的中点，连接AO，易得AO＝2，而PA＝3，于是解得PO＝1，所以PE＝2，故其正视图的周长为2＋22. 答案：2＋22 【巩固】

1．底面水平放置的正三棱柱的所有棱长均为2，当其正视图有最大面积时，其侧视图的面积为(

) A．23

C.3

B．3 D．4

解析：选A

当正视图的面积达最大时可知其为正三棱柱某个侧面的面积，可以按如图所示位置放置，此时侧视图的面积为23. 2．已知：图1是截去一个角的长方体，试按图示的方向画出其三视图；图2是某几何体的三视图，试说明该几何体的构成．

解：图1几何体的三视图为：

图2所示的几何体是上面为正六棱柱，下面为倒立的正六棱锥的组合体．

3．已知正三棱锥V－ABC的正视图、侧视图和俯视图如图所示．

(1)画出该三棱锥的直观图；

(2)求出侧视图的面积．

解：(1)三棱锥的直观图如图所示．

(2)根据三视图间的关系可得BC＝23，

∴侧视图中

VA＝

2342－××232

32＝12＝23，

1∴S△VBC＝2×23×23＝6.

【拔高】

1．有一个棱长为1的正方体，按任意方向正投影，其投影面积的最大值是(

) A．1

C.2

32B.2

D.3 解析：选D

如图所示是棱长为1的正方体．

当投影线与平面A1BC1垂直时，

∵面ACD1∥面A1BC1，

∴此时正方体的正投影为一个正六边形．设其边长为a，则3a＝2，

6∴a＝3. ∴投影面的面积为6×362×＝3. 43此时投影面积最大，故D正确．

2．已知正三棱柱ABC－A′B′C′的正视图和侧视图如图所示，设△ABC，△A′B′C′的中心分别是O，O′，现将此三棱柱绕直线OO′旋转，射线OA旋转所成的角为x弧度(x可以取到任意一个实数)，对应的俯视图的面积为S(x)，则函数S(x)的最大值为________；最小正周期为________．

(说明：“三棱柱绕直线OO′旋转”包括逆时针方向和顺时针方向，逆时针方向旋转时，OA旋转所成的角为正角，顺时针方向旋转时，OA旋转所成的角为负角．) 解析：由题意可知，当三棱柱的一个侧面在水平面内时，该三棱柱的俯视图的面积最大．此时俯视图为一个矩形，其宽为3×tan 30°×2＝2，长为4，故S(x)的最大值为8.当三棱柱绕OO′旋转时，当A点旋转到B点，B点旋转到C点，C点旋转到A点时，所得三角

2π形与原三角形重合，故S(x)的最小正周期为3. 2π答案：8

3

课程小结

1.正棱柱与正棱锥

(1)底面是正多边形的直棱柱，叫正棱柱，注意正棱柱中“正”字包含两层含义：①侧棱垂直于底面；②底面是正多边形．

(2)底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面正多边形的中心的棱锥叫正棱锥，注意正棱锥中“正”字包含两层含义：①顶点在底面上的射影必需是底面正多边形的中心，②底面是正多边形，特别地，各棱均相等的正三棱锥叫正四面体．

2．对三视图的认识及三视图画法

(1)空间几何体的三视图是该几何体在三个两两垂直的平面上的正投影，并不是从三个方向看到的该几何体的侧面表示的图形．

(2)在画三视图时，重叠的线只画一条，能看见的轮廓线和棱用实线表示，挡住的线要画成虚线．

(3)三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体用平行投影画出的轮廓线．

3．对斜二测画法的认识及直观图的画法

(1)在斜二测画法中，要确定关键点及关键线段，“平行于x轴的线段平行性不变，长度不变；平行于y轴的线段平行性不变，长度减半．”

(2)按照斜二测画法得到的平面图形的直观图，其面积与原图形的面积有以下关系：

S直观图＝2S原图形，S原图形＝22S直观图．

4课后作业

【基础】

1．有下列四个命题：

①底面是矩形的平行六面体是长方体；

②棱长相等的直四棱柱是正方体；

③有两条侧棱都垂直于底面一边的平行六面体是直平行六面体；

④对角线相等的平行六面体是直平行六面体．

其中真命题的个数是(

) A．1

C．3

B．2 D．4 解析：选A

命题①不是真命题，因为底面是矩形，但侧棱不垂直于底面的平行六面体不是长方体；命题②不是真命题，因为底面是菱形(非正方形)，底面边长与侧棱长相等的直四棱柱不是正方体；命题③也不是真命题，因为有两条侧棱都垂直于底面一边不能推出侧棱与底面垂直；命题④是真命题，由对角线相等，可知平行六面体的对角面是矩形，从而推得侧棱与底面垂直，故平行六面体是直平行六面体．

2．如图是一几何体的直观图、正视图和俯视图．在正视图右侧，按照画三视图的要求画出的该几何体的侧视图是(

)

解析：选B

由直观图和正视图、俯视图可知，该几何体的侧视图应为面PAD，且EC投影在面PAD上，故B正确．

3．一个几何体的三视图如图所示，则侧视图的面积为(

)

A．2＋3

B．1＋3 D．4＋3 C．2＋23

1解析：选D

依题意得，该几何体的侧视图的面积等于22＋2×2×3＝4＋3. 4．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________．

解析：结合三视图可知，该几何体为底面边长为2、高为2的正三棱柱除去上面的一个高为1的三棱锥后剩下的部分，其直观图111如图所示，故该几何体的体积为2×2×2sin 60°×2－3×2×2×2sin 5360°×1＝3. 53答案：3

【巩固】

1．如图所示的几何体中，四边形ABCD是矩形，平面ABCD⊥平面ABE，已知AB＝2，AE＝BE＝3，且当规定正视方向垂直平面ABCD时，该几何体的2侧视图的面积为2.若M，N分别是线段DE，CE上的动点，则AM＋MN＋NB的最小值为________．

解析：依题意得，点E到直线AB的距离等于223－2＝2，因为该212几何体的左侧视图的面积为2·BC×2＝2，所以BC＝1，DE＝EC＝DC＝2.所AD3以△DEC是正三角形，∠DEC＝60°，tan ∠DEA＝AE＝3，∠DEA＝∠CEB＝30°.把△DAE，△DEC与△CEB展在同一平面上，此时连接AB，AE＝BE＝3，∠AEB＝∠DEA＋∠DEC＋∠CEB＝120°，AB2＝AE2＋BE2－2AE·BEcos 120°＝9，

即AB＝3，即AM＋MN＋NB的最小值为3. 答案：3 2．正四棱锥的高为3，侧棱长为7，求棱锥的斜高(棱锥侧面三角形的高)．

解：如图所示，正四棱锥S－ABCD中，

高OS＝3，

侧棱SA＝SB＝SC＝SD＝7，

在Rt△SOA中，

OA＝SA2－OS2＝2，∴AC＝4. ∴AB＝BC＝CD＝DA＝22. 作OE⊥AB于E，则E为AB中点．

连接SE，则SE即为斜高，

1在Rt△SOE中，∵OE＝2BC＝2，SO＝3，

∴SE＝5，即棱锥的斜高为5. 【拔高】

1．如图，△ABC与△ACD都是等腰直角三角形，且AD＝DC＝2，AC＝BC.平面ACD⊥平面ABC，如果以平面ABC为水平平面，正视图的观察方向与AB垂直，则三棱锥D－ABC的三视图的面积和为________．

解析：由题意得AC＝BC＝22，AB＝4，△ACD边AC上的高为2，正视1图的面积是2×4×2＝22，侧视图的面积

11是2×2×2＝2，俯视图的面积是2×22×22＝4，所以三视图的面积和为4＋32. 答案：4＋32 2．一个多面体的直观图、正视图、侧视图如图1和2所示，其中正视图、侧视图均为边长为a的正方形．

(1)请在图2指定的框内画出多面体的俯视图；

(2)若多面体底面对角线AC，BD交于点O，E为线段AA1的中点，求证：OE∥平面A1C1C；

(3)求该多面体的表面积．

解：(1)根据多面体的直观图、正视图、侧视图，得到俯视图如下：

(2)证明：如图，连接AC，BD，交于O点，连接∵E为AA1的中点，O为AC的中点，

∴在△AA1C中，OE为△AA1C的中位线．

∴OE∥A1C. ∵OE⊄平面A1C1C，A1C⊂平面A1C1C，

∴OE∥平面A1C1C.

OE.

(3)多面体表面共包括10个面，SABCD＝a2，

a2SA1B1C1D1＝2，

a2S△ABA1＝S△B1BC＝S△C1DC＝S△ADD1＝2，

S△AA1D1＝S△B1A1B＝S△C1B1C＝S△DC1D1

12a32a3a2＝2×2×4＝8，

a2a23a2∴该多面体的表面积S＝a＋2＋4×2＋4×8＝5a2. 2