习题4.1优质课一等奖

《圆的标准方程与一般方程》习题4.1教案

主讲人：肖洪洋

复习目标：

1、能够熟练写出圆的标准方程与一般方程，并通过圆的方程写出圆心坐标和半径。

2、学会圆的两种方程形式的互化，掌握由一般方程配方成标准方程。

3、能够利用圆方程的特征及圆的性质解决相应的问题。

教学重点：

1、熟练掌握两种圆的方程形式及两种形式的互化能力。

2、已知圆心为C（a，b），半径为r的圆的标准方程的求法和应用待定系数法求圆的一般方程；

3、求圆的方程的过程中，加强对坐标法的理解。

教学难点：

1、根据已知条件，求出圆的方程；

2、根据求轨迹问题的常用方法，求解一些简单的轨迹方程。

教学过程：

一、知识点回顾：

1、圆的标准方程：（xa)2(yb)2r2(r0)，其中点(a，b)为圆心，r为半径。

特例：当圆心在坐标原点时，圆的方程为：x2y2r2

2、圆的一般方程：x2y2DxEyF0，(D2E24F0)其中点(DE1,)为圆心，D2E24F为半径。

222

3、点与圆的位置关系：

（1）点P(x0,y0)在圆上：（x0a)2(y0b)2r2

（2）点P(x0,y0)在圆内：（x0a)2(y0b)2r2

（3）点P(x0,y0)在圆外：（x0a)2(y0b)2r2

4、圆的标准方程与一般方程在运用上的比较：

（1）若已知涉及到圆心和半径，常采用圆的标准方程。

（2）若已知三点求圆的方程，常采用圆的一般方程用待定系数法求解。

二、基础练习：（1）已知圆的标准方程是（x1)2(y2)23，求圆的一般方程。

（2）已知圆的一般方程x2y22x4y40，求圆的标准方程及圆心坐标和半径。

（3）若方程x2y22kx4y3k80表示一个圆，求实数k的取值范围。

三、典例分析：

例1、（待定系数法）求下列各圆的方程，并画出图形：

（1）圆心为点C（8，-3），且过点A(5，1)；

（2）过A(-1，5)，B(5，5)，C(6，-2)三点。

练习：已知圆C的圆心在直线l：x-2y-1=0上，并且经过原点和A（2，1），求圆C的标准方程。

例2、平面直角坐标中有四点A(0,1),B(2,1),C(3,4),D(1,2)，试判断这四点是否在同一个圆上？若是，求出此圆的方程，若不是，说明理由。

解：（法一）待定系数法

（设圆的标准方程）

设过A、B、C三点的圆的方程为（xa)2(yb)2r2，将A、B、C三点代入方程得：

0a)2(1b)2r2a1（222（2a)(1b)r

b3

222（3a)(4b)rr5故过A、B、C三点的圆的方程为（x1)2(y3)25，再把D代入所求圆方程，得（11)2(23)25成立。所以四点在同一个圆上，圆方程为（x1)2(y3)25。

法二：（设圆的一般方程）

设过A、B、C三点的圆的方程为x2y2DxEyF0，将A、B、C三点代入方程得：

D21EF0

412DEF0E6

F59163D4EF0故过A、B、C三点的圆的方程为x2y22x6y50，再把D代入2（1）22（21）6250成立。所以四点在同一所求圆方程，得个圆上，圆方程为x2y22x6y50。

法三：过A、B、C有唯一的外接圆，易得。AB的垂直平分线为x1，BC的垂直平分线为yx1310（1,3）。联立方程组得圆心为，半径为3r5。故过A、B、C三点的圆的方程为（x1)2(y3)25，再把D代入所求圆方程，得（11)2(23)25成立。所以四点在同一个圆上，圆方程为（x1)2(y3)25。

本题方法小结：

几何方法：

求圆心的坐标（两条直线的交点）

待定系数法：

求半径（圆心到圆上一点的距离）

写出圆的方程

例3：（点的轨迹问题）已知点M与两个定点O(0，0)，A((3，0)的距离的比为，求点M的轨迹方程。

解：设点M(x,y)，点M满足的条件：列方程：x2y2(x3)2y21

2MOMA1

212化简得轨迹方程：(x1)2y22

本题小结：求轨迹方程的一般步骤：

1、建系设点，设所求点坐标为P(x,y)；

2、列出P所满足的条件，代入坐标列方程；

3、整理化简方程；

4、限制说明动点P的轨迹方程。

练习题：长为2a的线段AB的两个端点A和B分别在x轴和y轴上

滑动，求线段AB的中点的轨迹方程。

四、课后小结：

1、熟练掌握圆的标准方程与一般方程形式及互化；

2、根据已知条件，掌握圆的方程的方法：（1）待定系数法；（2）代入法. 3、用待定系数法求圆方程的基本步骤：

（1）设圆方程

；（2）列方程组；（3）求系数；

（4）小结.

4、求动点轨迹方程的基本思想：

直接法和相关点法。

五、作业：A组

4、5题

B组

1题

六、教学反思：