阅读与思考 坐标法与机器证明教学内容

圆的一般方程

一．教学目标

1.使学生掌握圆的一般方程和圆的一般方程的特点

2.能熟练掌握圆的一般方程与圆的标准方程的互化

3.灵活应用待定系数法求圆的方程

二．教学重点

1.圆的一般方程的特征及其应用

2.由圆的一般方程求出圆心坐标和半径；

3.能用待定系数法，由已知条件求出圆的方程．

三.教学难点 圆的一般方程的特征及应用

四.教学过程 1、新课引入：

上一节学习了圆的标准方程:

(x－a)2＋(y－b)2=r2，

圆心(a，b)，半径r．

提问：已知圆心为(1,-2)、半径为2的圆的方程是什么？

（生答）(x－1)2＋(y+2)2=4 将它展开得x2y22x4y10，这是一个二元二次方程。

任何圆的方程都是这样的二元二次方程吗？

把圆的标准方程展开，并整理：

x2＋y2－2ax－2by＋a2＋b2－r2=0．

可见任何一个圆的方程都可以写成下面的形式

22xyDxEyF0 ①

这说明圆的方程就是一个二元二次方程。

反过来，形如

xyDxEyF0的方程一定表示圆吗？

这就是今天所要探讨的内容:圆的一般方程.(书写课题) 2、讲授新课：

我们先来判断两个具体的方程是否表示圆？（师生互动）

22(1)x2y22x4y10(2)xy2x4y6022

结论：不一定表示圆（通过此例分析引导学生使用配方法）

22

追问: xyDxEyF0满足什么条件时表示圆? （让学生相互讨论后,由学生总结）

将

x2y2DxEyF0配方得

D2E2D2E24F (x)(y) 224 (1)当D2E24F0时，此方程表示以（-心,12D2E24FD2，-E2）为圆 为半径的圆；

DE，y，即22 （2）当D2E24F0时，此方程只有实数解x只表示一个点（-D，-E）; 22 （3）当D2E24F0时，此方程没有实数解，因而它不表示任何图形

王新敞 综上所述，方程x2y2DxEyF0表示的曲线不一定是圆,只

有当D2E24F0时，它表示的曲线才是圆， 我们把方程x2y2DxEyF0 (D2E24F0)称为圆的一般方程

王新敞 与一般的二元二次方程Ax2BxyCy2DxEyF0比较

我们来看圆的一般方程的特点：(启发学生归纳) ①x2和y2的系数相同，不等于0．（举例：4x24y24x12y90）

②没有xy这样的二次项

请学生思考并回答: 二元二次方程AxBxyCyDxEyF0表示圆的充22要条件是AC0且B0且DE4AF0 22 问题:圆的标准方程与圆的一般方程各有什么特点?

方程

圆的标准方程

(xa)2(yb)2r2(ro)

圆的一般方程

x2y2DxEyF0(D2E24F0)

DE,)

22圆心

半径

优点

(a,b)

(r 几何特征明显

1D2E24F

2突出方程形式上的特点

3、例题讲练 例1：求过三点A（0，0），B（1，1），C（4，2）的圆的方程，并求这个圆的半径长和圆心坐标。

分析:已知曲线类型,应采用待定系数法

使用待定系数法的圆的方程的一般步骤：

1.根据题意，选择标准方程或一般方程；

2．根据条件列出关于a、b、r或D、E、F的方程组；

3．解出a、b、r或D、E、F，代入标准方程或一般方程。

(解题过程由学生完成) 想一想:可否先求圆心和半径,再得出圆的方程? （提示学生结合图形，圆的弦的中垂线的交点为圆心

，圆心到圆上一点的距离为半径）

例2、已知一曲线是与两个定点O(0,0),A(3,0)距离的比为的点的轨迹，求此曲线的方程，并画出曲线。

分析：按照求曲线的方程的步骤来求解，求出方程，通过方程可判断为圆的一般方程，利用配方法将圆的一般方程化为标准方程，从而求出圆心和半径，以便画图；然后指出配方法的重要性，要求学生熟练掌握。

５、

巩固练习

1.判断下列方程是否表示圆? 如果是 ,请求出圆的圆心及半径. (1)x2y2012 (2)x2y22x4y60(3)4x24y24x12y110(4)x2y22ax23ay3a20

2.求圆心在直线3xy50上,并且经过原点和点(3,-1)的圆的方程

６、课堂小结

(1)任何一个圆的方程都可以写成x2y2DxEyF0的形

式，但是方程x2y2DxEyF0的曲线不一定是圆；当D2E24F0时，方程x2y2DxEyF0称为圆的一般方程。

（2）圆的一般方程与圆的标准方程可以互相转化;熟练应用配方法求出圆心坐标和半径. (3)用待定系数法求圆的方程时需要灵活选用方程形式.

7、布置作业

习题7.6 第5、6、8题

附: 板书设计

圆的一般方程

(xa)2(yb)2r2

x2y2DxEyF0

(D2E24F0)

Ax2BxyCy2DxEyF0

(x1)2(y2)24

展开

配方

D2E2D2E24F

(x)(y)224Ax2Ay2DxEyF0

圆心为

(x2y22x4y10

DE

,)22D2E24F2半径为

Ax2Ay2DxEyF0