第四章 圆与方程（通用）公开课教案

4.1.2 圆的一般方程

教材分析：

圆的一般方程安排在圆的标准方程之后

，为后续的直线与圆的位置关系、圆锥曲线等内容的学习，无论在知识上还是方法上都有着积极的意义，所以本节内容在整个解析几何中起着承前启后的作用. 学情分析：

圆的一般方程安排在圆的标准方程之后，是研究二次曲线的开始。由于学生刚刚学习了求曲线方程的一般方法，对坐标法的运用还不够熟练，故此学生在探究问题的能力方面还很薄弱。

教学分析：见于我校的学生基础薄弱，本节课仍采用“问题－探究-巩固”教学法。

教学目标：

知识与技能

： (1)能够利用圆的标准方程推导出圆的一般方程造型，并根据这种造型升华成圆的一般方程（结构而非形式）．尤其要让学生掌握方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0表示圆的条件．

输入这样的观念：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0可能表示圆

．．

(2)能通过配方等手段，把圆的一般方程化为圆的标准方程．能用待定系数法求圆的方程。

(3):培养学生探索发现及分析解决问题的实际能力。

过程与方法：通过对方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0表示圆的条件的探究，培养学生探索发现及分析解决问题的能力，初步学会分类讨论的思想方法。

情感态度价值观：渗透数形结合、化归与转化、类比联想、从特殊到一般等数学思想方法，培养学生的学习兴趣，激励学生敢于创新，勇于探索的勇气。 教学重点：圆的一般方程的代数特征，一般方程与标准方程间的互化，根据已知条件确定方程中的系数． 教学难点：圆的一般方程的代数特征和应用。

【教学过程】

环节

教学内容

师生互动

教师提出问题，学生回答．

设计

意图

复习旧知，为新课的顺利进行打下基础．

练习：

将代数式x2

+ ax +2配方

思考一：直线方程有几种形式分别是什么？

思考二：如何由直线的具体形式探索出直线的复习一般形式？

旧知

思考二的答案：将具体形式变形整理，经观察后提出一种共性的方程形式，提取出其结构，然后研究具体形式结构的方程是否表示直线。

问题1：将(x－a)2＋(y－b)2＝r2展开后得到一个学生先展开式子，老师做引入什么式子(从高次到低次排列) 变形整理

新课

22222x +y -2ax -2by +a + b

– r =0 问题2：变形整理：令-2a = D ,-2b = E , a2 + b2

–

r2 = F 则展开式整理成：x2 +y2 + Dx + Ey +F =0

让学生体会将式子展开也是变形的一种手段

1

第八章

直线和圆的方程

新

课

新

课

铺垫：

问题：下列方程表示的图形都是圆吗？如果不是圆的话，又表示什么图形呢？

（1）x2 + y2 - 2x -4y +4 =0 （2）x2 + y2 - 2x -4y +5 =0 （3）x2 + y2 - 2x -4y +6 =0

解：经配方得：(x – 1)2 +(y -2)2 =1

表示圆

(x – 1)2 +(y -2)2 =0

表示一个点

(x – 1)2 +(y -2)2 =－1

不表示任何图形

启发：看来符合x2 +y2 + Dx + Ey +F =0这种形式的方程不一定表示圆。

问题：x2 +y2 + Dx + Ey +F =0满足什么条件才表示圆呢？

解：经配方：x2 +y2 + Dx + Ey +F =0可化为

学生独立后再交流结课，最后老师点评。

D2E2D2+E2- 4F

（x + ) + (y + )=

224学生先探究，然后师生共同完成任务，随后教师强22所以当D+E- 4F＞0时，方程表示圆，当调表示圆的限制条件，让学生明白，记结论，条件2222D+E- 4F＝0时表示，当D+E- 4F＜0时不表必须优先考虑

示什么任何图形。

22我们把x2 +y2 + Dx + Ey +F =0（D+E- 4F＞

0）叫做圆的一般方程。

特别注意的是：没有注明条件的x2 +y2 + Dx +

Ey +F =0的不一定表示圆。

让学生通过具体反例先体会一下：仅具备形式是不够的。逼得学生思考表示圆的条件到底是什么。培养学生从特殊到一般的思想方法

让学生参与推导一般方程条件的过程

加深记忆．

2

例1：求过三点O(0,0)、A（1，1）B、（4,2）的圆的方程，并求这个圆的半径长和圆心坐标。

师生共同解决问题

在黑板上板演过程

例2：方程x2 +y2 + ax +2ay +2a2+a -1=0表示的

图形是一个圆，求满足条件的a的取值范围。

在黑板上板演过程

例3：已知线段AB的端点B的坐标为(4,3)，老师直接讲解

端点A在圆(x +1)2 +y2 = 4上运动，求线段AB中点

M的轨迹方程。

在黑板上板演过程

1、

x2 +y2 + Dx + Ey +F =0表示圆的条件及其圆心坐标及半径。

2、

用待定系数法求方程的具体步骤

3、

初步体会了用相关点法求方程

教材P123练习1、2、3. 教材P124习题4.1B组1、2、3.

学生在教师的引导下回顾本节主要内容．

示范和练习

让学生体会相关点法

小

结

简洁明了概括本节课的重要知识，学生易于理解记忆．

作

业

3