习题2.3教学设计案例

2.3.3 直线与平面垂直的性质教学设计

课标要求：

以立体几何的定义、

公理、

定理为出发点，

通过直观感知、

操作确认，归纳出直线与平面垂直的性质定理，并加以证明。

学情分析：

在学习本节课的内容之前，刚刚学***面垂直的

定义以及判定定理，在学完判定定理之后紧接着的例1当中我们利用判定定理证明了线线平行的性质定理，

即如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于同一个平面，用符号语言表示为若

a//b, a⊥α，则 b⊥α

。而我们的直线与平面垂直的性质定理就

是将上述命题的中的题设和结论改变一下得到的。

所以在前面知识的

基础上学习本节课的内容并不是很难。

教材分析： 1.本节的作用和地位：

本节课是人教版必修 2 第二章直线与平面垂直的第三课时。空间中直线与平面之间的位置关系中，垂直是一种非常

重要的位置关系，它不仅应用较多，而且是空间问题平面化的典范。

空间中直线与平面垂直的性质定理不仅是由线面关系转化为线线关系，而且将垂直关系转化为平行关系，因此直线与平面垂直的性质定

理在立体几何中有着重要的地位和作用。

2.本节主要内容：

直线与平面垂直的性质定理的证明及转化思想的渗透。

教学目标：

1.知识与技能：掌握直线与平面垂直的性质定理，了解线面关系与线线关系，垂直关系与平行关系之间的转化以及反证法的应用。

2.过程与方法：在观察长方体模型的基础上进行操作确认，获得

对性质定理正确性的认识，进一步推导出定理的证明过程。

3.情感态度与价值观：通过“直观感知、操作确认，推理证明”，

提高空间想象的能力和逻辑推理能力。

教学重点：直线与平面垂直的性质定理的证明及转化思想的渗透。 教学难点：直线与平面垂直的性质定理的证明

教学理念：

高中学生思维活跃，参与意识、自主探究能力较强，整节课主要以学生自主探究为主，老师只起一个组织，引导的作用。从而增强空间想象能力，养成质疑思辨、创新的精神。

教学方法：

探究讨论法

教学用具：

长方体模型，量角器，直角三角板，多媒体

教学设计：

一．创设情境，揭示课题

问题：（实物式引入）：

（1）两根旗杆垂直于地面，给我们以旗杆平行的形象

（2）让学生双手各持一支笔直立与桌面，通过操作确认两支笔平行。

数学来源于生活，把这些问题抽象概括得到一个新的问题：

若a⊥

，b⊥

，那

a

和 b 会有怎样的位置关系呢？ 让学生自由发言，教师不急于下结论，而是继续引导学生：欲知结论怎样，让我们一起来观察、探讨。（自然进入课题内容）

设计意图：现实生活中的问题更能激发学生的学习兴趣，让学生从现实生活中发现数学，将问题化归为数学问题，感受数学来源于生活，又服务于生活。

二．猜想推测，激发兴趣 1、操作确认

观察长方体模型中四条侧棱与同一个底面的位置关系。

先来看书上 70 页的思考题：

如图 2.3-16，长方体 ABCD－A’B’C’C’中，棱 AA’，BB’， CC’，DD’所在直线都垂直于平面 ABCD，它们之间具有什么位置关系？

（老师拿出长方体模型，让学生用量角器、直角三角板测量，寻找结果）

C’

B’

C B 图2.3--16 D’

A’

D A

设计意图：培养学生的观察动手能力，为线面垂直的性质定理做铺垫。

然后进一步迁移活动：如图2.3--17已知a⊥

，b⊥

，那么a,b 一定平行吗？ 学生很快回答：一定

我们能否证明这一事实的正确性呢？

a b

图2.3--17

设计意图：借助长方体模型让学生感知直线与平面的垂直关系，使学生学会从“感性认识”到“理性认识”过程中获取新知。

2、推理证明

教师提问：怎样用数学语言证明这个猜想是正确的。

（给时间学生思考，已知是什么，结论是什么，怎样由条件证明结论）

抽查学生证明过程：如图所示aAB,bABa//b

a b

A B

教师追问：证明过程有问题吗？

有学生回答：直线a,b不一定共面。

教师：由已知a⊥

，b⊥，直接证明结论a//b很困难，怎么办？

三．层层推进，推理证明

教师启发学生：

1、怎么想到用反证法证明

①证明两条a,b平行有哪些方法呢？

初中有哪些？（同位角相等、内错角相等、同旁内角互补、中位线定理、平行四边形性质等）高中哪些？（公理4）

这些方法对本题证明有用吗？

②空间两直线a,b的位置关系有哪些？（平行、异面、相交）

③空间垂直于同一条直线的两直线一定平行吗？（平行、异面、相交）

教师追问：只要能证明异面、相交不成立，原命题就得证，引出用反证法，复习反证法解题步骤。

2、证明中怎么想到作一条直线

师：假设a

不平行于b，a和b还有哪几种位置关系？

生：相交或者异面

师：当a和b相交时，如图1所示怎么证明？

a

b

A B

图1 生：连结AB显然矛盾。

师：当a和b相交时，交点一定在平面外吗？

生：不一定，也可以在平面内，如图2 P a

b

A 图2 B

师：当a和b异面时如图3怎么证明？

生：平移b 师：怎样平移？

生：在a上任取一点P，过点P作b的平行线。

师：到底去哪一点比较好？

生：就取点A 师：这样就转化为图2的情形，请将证明过程完整地写出来。

a

b

A 图3 B

设计意图：让学生了解此题利用反证法的来龙去脉，体验数学中前后的联系。

3、证明定理 （PPT展示）证明:假设 b 与a

不平行，b∩ =O 过点 O 做直线 b′// a, 直线 b 与 b′确定平面β

，设

∩β =c,则 O∈c ∵a⊥

，b⊥

，c∈∴a

⊥c，b⊥c 又∵b′// a，∴b′⊥c 在平面β

内，

经过同一点 O 的两条直线

b， b′都垂直于平面

，显然不可能，矛盾。

∴a //b 这样我们就得到了：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两

条直线平行。这就是我们的直线与平面垂直的性质定理。

设计意图：感受反证法在数学解题中的应用，培养学生逻辑推理能力。

四.直线与平面垂直的性质定理

直线与平面垂直的性质定理：

垂直于同一个平面的两条直线平行。 问题：①定理的符号语言是： ②定理的作用是： ③定理揭示了什么? 设计意图：让学生掌握立体几何定理的三种符号语言。

五、典型例题

例1、判断下列命题是否正确，并说明理由。

⑴两条平行线中的一条垂直于某条直线，则另一条也垂直于这条直线； ⑵两条平行线中的一条垂直于某个平面，则另一条也垂直于这个平面；

⑶两个平行平面中的一个垂直于某个平面，则另一个也垂直与这个平面；

⑷垂直于同一条直线的两条直线互相平行；

⑸垂直于同一条直线的两个平面互相平行；

⑹垂直于同一个平面的两个平面互相平行. 做法：抽查不同层次的学生进行回答，在这过程中给予学生肯定，赞扬学生，增强学生自信。

设计意图：判断空间点、线、面的关系。

五.课堂练习

EA如图，已知平面平面l，，垂足为A, EB,垂足为B,直线a,aAB.求证a//l

β

B C 

l A a

做法：教师引导学生分析题意，先让学生自己动手推理证明，然后抽检学生掌握情况，教师最后讲评并板书证明过程。

设计意图：通过习题，对线面垂直的性质定理加深理解，感受“平行关系”与“垂直关系”在特定条件下是可以相互转化的。

六．课堂小结，完美收尾

（1）请归纳一下本节学习了什么性质定理，其内容是什么？

（2）从定理的推导证明过程中，你收获了什么？

（3）“平行”与“垂直”关系的相互转化在解题中怎样运用？

七.课后作业

已知ABC是正三角形，AE和CD都垂直于平面ABC,且AE=AB=2a,CD=a,F为BE的中点。

求证:DF//平面ABC 八.板书设计：

课题：2.3.3 直线与平面垂直的性质

2、

例题解析

例题1、

3、课堂练习

4、课堂小结

5、课后作业

1、

直线与平面垂直的性质定理

（1）文字语言：

（2）图形语言：

（3）符号语言：

（4）定理的作用：

九.教学反思

通过教学发现学生通过对事物的观察能很快得出线面垂直的性质定理，但要证明无从下手，学生对反证法很难理解，学生的空间想象能力有待提高，作图能力需加强，在做练习时，学生未能联系前面学***行的定理知识解题，因此以后需注意课堂上的问题导入，重视数学概念教学，循序渐进，给足学生思考的时间、空间。