小结优秀获奖教案

1.3祖暅原理与柱体、锥体、球体的表面积和体积

设计人：朱洁琼 八师第二高级中学

一、教材分析

（1）教材的地位与作用：本节内容是数学2第一章空间几何体第3节空间几何体的表面积与体积的第1课时柱体、锥体、球体的表面积与体积，本节课在公式推导过程中所渗透的类比、化归等思想方法，都是学生今后学习和工作中必备的数学素养。

（2）从知识的体系来看：祖暅原理与柱体、锥体、球体的表面积和体积，是在学生已从结构特征和视图两个方面感性认识空间几何体的基础上，进一步从度量的角度来认识空间几何体，它属于立体几何入门的内容，所以教学的目的是使学生了解空间几何体的表面积的计算方法，并且和学生一起探究祖暅原理与柱体、锥体、球体的体积公式，进而能进一步计算简单几何体的表面积和体积。

二、学情分析

（1）学生的已有的知识结构：掌握了空间几何体的结构特征，空间几何体的三视图和直观图。

（2）教学对象：高一的学生，学习兴趣比较浓,表现欲较强, 逻辑思维能力也初步形成，具有一定的分析问题和解决问题的能力，但由于年龄的原因，思维尽管活跃、敏捷，却缺乏冷静、深刻，因而片面、不够严谨。

（3）从学生的认知角度来看：在学习柱体、锥体、球体的表面积时，大部分学生易于接受，而且掌握的比较好，但是在探究祖暅原理与柱1

体、锥体的体积公式时，学生学起来比较吃力。

三、课时分配

本节内容用1课时的时间完成，主要讲解柱体、锥体、球体的表面积，并且探究祖暅原理与柱体、锥体、球体的体积公式．

四、教学目标

（1）知识与技能————理解并掌握柱体、锥体、球体的表面积与体积的推导过程，在此基础上，并能理解祖暅原理的精髓。

（2）过程与方法————通过对公式推导方法的探索与发现，向学生渗透特殊到一般、类比与转化等数学思想，培养学生观察、比较、抽象、概括等逻辑思维能力。

（3）情感，态度与价值观————培养学生勇于探索、敢于创新的精神，从探索中获得成功的体验，感受数学的奇异美、结构的对称美、形式的简洁美。

五、重点、难点分析

教学重点：公式的推导、公式的特点和公式的运用。

教学难点：探究祖暅原理与柱体、锥体、球体的体积公式。

六、教法与学法分析

培养学生学会学习、学会探究是全面发展学生能力的重要前提，是高中新课程改革的主要任务。如何培养学生学会学习、学会探究呢？建构主义认为：“知识不是被动吸收的，而是由认知主体主动建构的。”这个观点从教学的角度来理解就是：知识不是通过教师传授得到的，而是学生在一定的情境中，运用已有的学习经验，并通过与他人（在2

教师指导和学习伙伴的帮助下）协作，主动建构而获得的，建构主义教学模式强调以学生为中心，视学生为认知的主体，教师只对学生的意义建构起帮助和促进作用。因此，本节课采用了启发式和探究式相结合的教学方法，让老师的主导性和学生的主体性有机结合，使学生能够愉快地自觉学习，通过学生自己观察、分析、探索等步骤，自己发现解决问题的方法，比较论证后得到一般性结论，形成完整的数学模型，再运用所得理论和方法去解决问题。一句话：

还课堂以生命力，还学生以活力。

七、课堂设计

（一）创设情境

[利用投影展示] 水立方与金字塔图片。

提出问题：同学们，它们的表面积怎样计算呢？

[设计意图：在引入课题的同时激发学生的兴趣，调动学习的积极性．] 小试牛刀

已知水立方的长，宽，高分别为180m， 180m，30m试求它的表面积. 叫学生独立回答 s表180180418030

[设计意图：通过给出具体的数值，让学生再回顾一下长方体的表面积计算公式，并且注意在解决实际问题时，要具体问题具体分析。] （二）导入新课

探究1：棱柱、棱锥、球体的表面积

问题：在初中已经学过了长方体的表面积，你知道长方体的展开图的3

面积与其表面积的关系吗？

结论：长方体是 6个矩形 围成的多面体，其表面积就是 各个面的面积之和 ，也就是展开图的面积. 教师引导学生得出：要求一个几何体的表面积，首先将它展成平面图形，进而去求平面图形的面积。

[设计意图：让学生将长方体的表面积与它展开图的面积联系在一起，并且引导学生得出求一般几何体的表面积的方法。]

棱锥的表面积

侧面展开

新知1：棱柱、棱锥、棱台都是多面体，它们的表面积就是其

展开图的面积。

[设计意图：让学生知道在求多面体的表面积时，就是将各个面的面积加起来。] 师问：同学们能不能帮老师解决金字塔的问题？

练一练、埃及胡夫金字塔大约建于公元前2580年,其形状为正四棱锥.金字塔高146.6米,底面边长230.4米. 这座金字塔的表面积是多少？4

平面

（只列式不计算）

12由题意可得：AC=146.6m

BC=230.4115.2m

AB=115.22146.62m

所以S表4230.4

115.22146.62m2

提出问题后，先让学生小组讨论，然后选派一名代表给大家讲解，之后教师给以点评。其中，教师特别强调，AC叫做棱锥的体高，AB叫做棱锥的斜高。

[设计意图：在让学生学会合作学习的同时，也要注意具体问题要具体分析。] 师问：同学们，对于旋转体的表面积们应该如何去计算呢？我们先来探究圆柱体的表面积。

探究2：圆柱、圆锥、球体的表面积

问题：根据圆柱、圆锥的几何特征，它们的侧面展开图是什么图形？它们的表面积等于什么？你能推导它们表面积的计算公式吗？

12

新知2：（1）设圆柱的底面半径为r，母线长为l，则它的表面积等于 侧面积+底面积，即

S圆柱表= 2

rl2r2 . （2）设圆锥的底面半径为r，母线长为l，则它的表面积等于

侧面积5

+底面积 ，即S圆锥表= 

rlr2 .

[设计意图：通过提问的方式，让学生参与进来，和学生一起建构知识体系。] 对于球的表面积，和学生一起分享一个有趣的验证试验。得出球的表面积计算公式。

（3）球体的面积计算公式S球= 4R2 . 师问：这个演示实验对大家有什么启发？

[设计意图：对于球的表面积，高一的孩子用目前所学知识无法推导球的表面积，因此，借用一个有趣的验证试验视频，通过观察，不仅得到了球的表面积公式，而且激发了学生的学习兴趣。] （三）

典型例题

例、如图,圆柱的底面直径与高都等于球的直径,求证:球的表面积等于圆柱的侧面积. 教师在黑板上板演。

证明：设球的半径为R,则圆柱的底面半径为R, 高为2R. 因为S球=4R2 S圆柱侧=22R2R4R2

所以S球=S圆柱侧

变式1、求证：球的表面积等于圆柱全面积的

. 学生在黑板上板书。

[设计意图：对基本公式的应用] 探究3：祖暅原理与柱体、锥体与的体积

提问：水立方和金字塔的体积积怎么计算？

6

R

O23

小试牛刀

已知水立方的长，宽，高分别为180m， 180m，30m试求它的体积. 教师叫学生回答：V=180*180*30m3

[设计意图：启发学生从最基本的长方体入手，回顾体积公式。] 祖暅(gèng)原理与柱体、锥体的体积

祖暅的介绍

师问：请一位音色优美，声音洪亮的同学给大家朗读一下。

祖暅是南北朝时代著名数学家祖冲之的儿子。受家庭的影响，尤其是父亲的影响，他从小热爱科学，对数学具有浓厚的兴趣。祖冲之除了在计算圆周率方面的成就，还与他的儿子祖暅一起，用巧妙的方法解决了柱体，锥体，球体的体积计算。他们当时采用的原理，在西方被称为“卡瓦列里”原理，但这是在祖氏父子以后一千多年才由意大利数学家卡瓦列里发现的。为了纪念祖氏父子的这一伟大发现，数学上也称这个原理为“祖暅原理”。

师问：这个材料对大家有什么启发？

[设计意图：启发学生要有爱国主义情怀，要有探索的精神。] 祖暅原理：夹在两个平行平面之间的两个几何体,被平行于这两个平面的任意平面所截,如果截面(阴影部分)的面积都相等,那么这两个几何体的体积一定相等。

应用祖暅原理可以说明：等底面积、等高的两个柱体或锥体的体积相等. [设计意图：理解祖暅原理的内容，在阐述祖暅原理时，重点强调它7

的精髓是同底等高。]

教师用几何画板演示用祖暅原理如何去证明柱体、锥体的体积。

探究一、柱体的体积

设有底面积都等于S，高都等于h的任意一个棱柱、一个圆柱和一个长方体，使它们的下底面在同一个平面α内（如图）

教师用几何画板演示用祖暅原理如何去证明柱体体积。

由祖暅原理可知：等底面积等高的任意两个柱体的体积相等，而长方体的体积为V长方体= sh，所以与长方体等底面积等高的棱柱、圆柱的体积为：

V柱体= sh（S为底面积，h为高）

[设计意图：在几何画板的演示中，让学生切实感受到用一个平行于底面的平面去截几何体时，它们的截面面积处处相等这一现象，从而由特殊到一般，概括出柱体的体积公式。]

探究二、锥体的体积

设有底面积都等于S，高都等于h的任意一个三棱锥、一个圆锥和一个四棱锥，使它们的下底面在同一个平面α内（如图）

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教师用几何画板演示用祖暅原理如何去证明锥体体积。

结论：等底面积等高的两个锥体的体积相等

[设计意图：在几何画板的演示中，让学生切实感受到用仁义一个平行于底面的平面去截几何体时，它们的截面面积处处相等这一现象，从而得出等底面积等高的两个锥体的体积相等。]

探究锥体的体积公式

思考1：一个三棱柱可以分割成几个三棱锥？

生答：3个

思考2:每个锥体的体积有什么关系？说明理由。

学生活动：前后6人一小组，给三分钟讨论，然后请其中一组的代表起来汇报。

锥体体积公式为：

V锥sh

，（S为底面积h为高）

[设计意图：通过问题1和问题2 ，让学生将三棱锥和三棱柱联系起来，并且训练学生能用等底面积等高来证明两个锥体的体积相等这一能力，通过小组的合作交流，更能增强学生学习的积极性。]

（四）练一练

埃及胡夫金字塔大约建于公元前2580年,其形状为正四棱锥.金字塔高146.6米,底面边长230.4米. 这座金字塔的体积是多少？（只列式不计算）

13

9

生答：V锥sh230.4230.4146.6m3

[设计意图：再次熟悉锥体的体积公式。]

（五）课堂小结

请同学们谈谈在本节课的收获吧！

[设计意图：从知识层面对本节课进行梳理，从情感态度价值观方面，培养学生勇于探索、敢于创新的精神。]

（六）作业布置

1、用祖暅原理探究球体的体积公式. 2、习题1.3 A组 1、2、3、4. [设计意图：将球的体积留作探究作业，启发学生从推导柱体、锥体的体积公式中得到启发，看能否在几何画板中演示祖暅原理在球体中的应用。] （七）板书设计

祖暅原理与柱体，锥体，球体的表面积和体积

一、表面积

S圆柱表2r22rl

S圆锥表r2rl

S球4R21313二、体积

V柱体sh例题

变式

小结

作业

1V锥体sh3

4V球R3

3

（八）教学反思

本节课立足课本，着力探究，设计合理，层次分明。充分体现以学生发展为本，培养学生的类比、归纳和探究能力，遵循学生的认知10

规律，体现理论联系实际、循序渐进和因材施教的教学原则，通过问题情境的创设，激发兴趣，使学生在问题解决的探索过程中，由学会走向会学，由被动答题走向主动探究。在教学思想上既注重知识形成过程的教学，还特别突出学生学习方法的指导，探究能力的训练，引导学生发现数学的美，体验求知的乐趣。

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