信息技术应用 用《几何画板》探究点的轨迹：椭圆教学设计第二课时

《椭圆及其标准方程》

一、教学目标

（1）知识和技能目标

①理解椭圆的定义；

②掌握椭圆的标准方程及其简单应用。

（2）过程与方法目标

通过对椭圆方程的推导，巩固用坐标法求动点轨迹方程，同时对学生进行数形结合的思想方法的渗透，培养学生的逻辑思维能力和探究归纳的能力。

（3）情感态度和价值观目标

通过本节课的学习，让学生感受数学概念的严谨与推理的价值，增强学生战胜困难的意志品质并体会数学中的简洁美、对称美。

二、

重点、难点

重点：椭圆的定义，椭圆的标准方程，坐标化的基本思想。

难点：椭圆标准方程的推导与化简。

三、说教学过程

1、创设情境，激发兴趣

引入新课

给出椭圆的一些实物图片：相框、汽车标志、天体运行图等。2、动手操作，理性概括

（1）动手操作

展示动画及实例演示

画图（规则）：１．取一条细线，一张纸板；2．在纸板上取两点分别标上F1、F2

；

同桌为一组动手操作，并给予展示。

根据刚才的实验请同学们回答下面几个题：

３．把细线的两端分别固定在F1、F2

两点；

4．用笔尖把细线拉紧，在纸板上慢慢移动画出图形。

（1）在画椭圆的过程中，细绳的两端的位置是固定的还是运动的？

（2）在画椭圆的过程中，绳子的长度变了没有？说明了什么？

（3）在画椭圆的过程中，绳子长度与两定点距离大小有怎样的关系？

答：（1）固定的

（2）没有变

（3）绳长大于两定点间的距离

1

（2）问题讨论

讨论：平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数(线长)的点的轨迹就叫椭圆吗?

1．当线长大于|F1F2|时，笔尖的轨迹是什么？

2．当线长等于|F1F2|时，笔尖的轨迹是什么？

3．当线长小于|F1F2|时，笔尖的轨迹是什么？

答：（1）椭圆 （2）线段 （3）不存在

思考：

椭圆是怎样定义的？

（3）椭圆的定义的建立

定义：平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫椭圆。

定点F2叫做椭圆的焦点；两焦点之间的距离叫做焦距，焦距记为2c, 即:|F1F2|＝2c.。

F1、我们通常把椭圆上的点到两个焦点的距离之和记为2a . 定义式：M为椭圆上的点|MF1||MF2|2a（2a>2c>0）

【提升总结】

在平面内动点M到两个定点F，F的距离之和等于定值2a的点的轨迹不一定为12椭圆。

分类：|MF|+ |MF|＞|FF| 椭圆

1212|MF|+ |MF|=|FF| 线段

1212|MF|+ |MF|＜|FF| 不存在

12123、理解内涵，巩固定义

出示例1：

例：用定义判断下列动点M的轨迹是否为椭圆并说出所给值的几何意义。

(1)

到F(-2,0)、F(2,0)的距离之和为6的点的轨迹？

12(2)

到F(0,-2)、F(0,2)的距离之和为4的点的轨迹？

12

(3)

到F(-2,0)、F(2,0)的距离之和为3的点的轨迹？

12

答：(1)因|MF|+|MF|=6>|FF|=4，故点M的轨迹为椭圆。

1212(2)因|MF|+|MF|=4=|FF|=4，故点M的轨迹不是椭圆(是线段FF)。

121212(3)因|MF|+|MF|=3<|FF|=4，故点M的轨迹不存在。

1212 2

4、揭示主旨，突破难点

（1）讨论问题

问题：

1．求曲线方程的一般步骤？

建系设点找关系代坐标化简、检验

2．求椭圆标准方程时，如何建立坐标系？动点满足的条件是什么？

根据椭圆是中心对称图形，以直线FF为x轴，线段FF的垂直平分线为y1212

轴建立直角坐标系。

（2）完成方程的化简过程，突破难点

方程推导：

以直线F1F2为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立如图坐标系

设M(x,y)为椭圆上的任意一点，

∵|F1F2|＝2c(c>0),

∴F1(-c,0)、F2(c,0)

2222∵|MF1||MF2|2a∴(xc)y(xc)y2a

学生完成含两个根式的方程的化简：“移项后两次平方法”

（3）出示探究活动：填充两种方程对比表

图像

焦点坐标

22yPyF2PF2F1ox

F1

ox

a、b、c关系

xy1 ab0a2b2

y2x221 ab0a2b

b2b2a2c2a,b,c中a最大

a2c2a,b,c中a最大

【提升总结】

椭圆的标准方程有哪些特征呢？

（1）椭圆的标准方程的形式：左边是两个分式的平方和，右边是1; 22（2）椭圆的标准方程中，x与y的分母哪一个大，则焦点在哪一个轴上; 222（3）椭圆的标准方程中a，b，c满足a=b+c. 5、具体应用，巩固新知

3

例题教学：

例2：判断分别满足下列条件的动点M的轨迹是否为椭圆，如果是，求出标准方程．

（1）到点F12,0和点F22,0的距离之和为6的点的轨迹；

（2）到点F12,0和点F22,0的距离之和为4的点的轨迹；

（3）到点F10,2和点F20,2的距离之和为6的点的轨迹；

（4）到点F12,0和点F20,2的距离之和为4的点的轨迹．

答：（1）是椭圆，标准方程为

（2）不是椭圆而是线段FF

12

（3）是椭圆，标准方程为

（4）不是椭圆而是线段FF巩固练习：

12

x2y212516已知椭圆的方程为：，请填空：

(1) a=__，b=__，c=__，焦点坐标为

，焦距等于

.

(2)若C为椭圆上一点，F1、F2分别为椭圆的左、右焦点，

并且|CF|=2,则|CF|=___

答：

12

6、反馈训练、知识升华

出示幻灯片6：P 检测一：

教材第42页

练习1，2 检测二：下列方程哪些表示的是椭圆，如果是，判断它的焦点在哪个坐标轴上？（1、2

必做，3、4选做）

x2y2(1)1

(2)9x225y22250

25164

设计意图：数学定义和概念是要在运用中得以巩固的，通过变换练习方式，融会贯通所学知识，使学生获得的知识信息及时得到巩固，将知识内化为智能，并检测学习过程中的遗漏和不足，建构正确系统的知识体系。

7、回顾反思，形成体系

至此，围绕本节课的重、难点和预期目标进行课堂小结。

8、布置作业，课外拓展

教材第106页

习题：1．（1）（2）．2．（必做）

补充习题：在ΔABC中，B(-3,0)，C(3,0)，ΔABC的周长等于16，求顶点A的轨迹方程。(必做) 探究与拓展：阅读有关“达•芬奇椭圆仪”的介绍。（选做）

设计意图：强化主干内容，使学生的学习具有连续性和开拓性，发现教学中的遗漏和不足，将课堂教学延伸至课外。

板书设计

§8.1椭圆及其标准方程 一、椭圆的定义: 例2 ……… ………

二、椭圆的标准方程 ……… ………

设计意图：勾勒出全课程的主线，呈现完整的知识结构体系并突出重点。

教学评价

本节课我采用了自评、互评、师评和组评等多种评价方式来完成.由于学生主动参与

评价.激发了学生的责任感和主人翁意识.使学生在自评.互评的基础上.强化了对基本知识的理解和基本技能的训练.同时也使学生在练习的过程中体验到了成功的快乐.顺利地完成了本节的教学任务. 五、课后反思

根据以往的教学经验，由于教师包办太多，学生对知识的掌握停留在表面，不能深入理解，教学效果并不好，作业完成的也较差，所以在对本节课预设时，改变了教师不停剖析，代替学生思考的状况，让学生活动变成课堂的主线，教师只作指导和点评。在这个过程中，学生通过自己的操作和思考，获得了定义。在推导标准方程时，考虑到化简过程比较繁琐，所以用知识的迁移总结出方法，化简了方程，突破了难点。另一标准方程的得出，则通过类比直接得到，避免了重复运算。在对两种方程进行比较归纳时，学生不但深入地理解了椭圆的标准方程， 5

而且巩固了知识，突出了重点，因此，效果很好。但在课堂上还是发生了一些预想不到的情况：由于学生探究活动多，而且又遇到了学生出乎意料的提问或解答，如方程推导中“坐标系”的选择。所以，有前松后紧的感觉，结束的有些仓促。事实上，这些来源于学生的学习情况比较复杂，所以，必须根据教学实际调整教师的教学设计，尊重学生的思维，使课堂教学符合学生实际，从而达到了预设的教学目标，优质、高效地完成教学任务。

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