小结优秀教学设计内容

简单多面体外接球问题

福建省南安市南星中学数学组 张世美

一、教学内容分析

本节课为高一下学期的复习课。主要有长方体或正方体外接球问题；直棱柱和正棱锥外接球问题，还有特殊三棱锥外接球利用构造法（构造长方体或正方体）来解决； 近年来，高考题中常常出现简单多面体外接球问题，此类问题能有效考查学生的空间想象能力，它自然受到命题者的青睐.简单多面体外接球问题实质上是解决球的半径和确定球心的位置问题。球经常和其它空间几何体相结合出题，以选择题或填空题的形式出现。

二、学生学习情况分析

学生已经系统的学习了立体几何，理解球的定义及多面体外接球的定义，掌握球的性质，知道球的半径能熟练应用公式求出球的体积与表面积。对简单多面体外接球有了一定的了解和把握，但学生素质参差不齐，又存在能力差异，空间想象力还有待提高，导致不同学生对知识的领悟与掌握能力的差距很大。因此进行本堂课的教学，首先有意识地让学生归纳总结旧知识，提高综合能力，对知识的应用，从简单常见的正方体和长方体入手，然后直棱柱，正棱锥，再归纳一类特殊三棱锥通过构造长方体、正方体解决。教学过程中应给足学生思考的空间和时间，充分化解学生的认知冲突，化难为易，化繁为简，突破难点。

三、教学方法

引导探究式、讲练结合

四、教学目标

知识与技能：学会求解长方体或正方体外接球；直棱柱和正棱锥外接球，还有特殊三棱锥外接球利用构造法（构造长方体或正方体）来解决； 过程与方法：经历从特殊到一般的过程，体验知识的产生、形成过程，通过例题的分析与练习，进一步培养学生自主探索，合作交流的学习方式，建立空间感，培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力，体会转化的数学思想方法。

情感、态度、价值观：完善知识体系，培养学生积极探索学习习惯，提高学生的数学思维能力的新课程理念，增进对学习数学的信心和兴趣。

五、教学重点和难点

重点：求解简单多面体的外接球，学会转化的思想方法。

难点：确定好球心的位置，明确构造法的要点。

六、教学过程

教学环节

1、球的性质

旧知回顾

2、球的体积 、表面积 3、多面体外接球的定义

教学程序及设计

设计

意图

回顾旧知识，使知识得到联系。

DCBOa2b2c2复习基本模型1、正方体和长方体外接球问题

A1AAD1C1B1ca2b2外接球A1ab问题。

从学生熟悉的几何体开始复习，为长方体外接球的直径等于长方体的体对角线。2Ra2b2c2DBOD1C进一步学习做3a准备。

C1B12a

a2R3a正方体外接球的直径等于正方体的体对角线。

2、正棱柱的外接球问题

点

2、正棱柱外接球的球心是上、下底面中心连线的中过渡到正棱柱，帮助学生实现知识的迁

3、直棱柱外接球的球心是上、下底面多边形外心连线的中点

如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中 AB=AC=AA1=2，

前面1、2是第3种直棱柱的特殊情况，体会特殊与一般的思

4、若三棱锥的顶点可构成共斜边的直角三角形，则公共斜边的中点就是其外接球的球心

让学生动手画图，培

养学生数形结合思想

想

移。

3、直棱柱的外接球问题

∠BAC=120°若其各个顶点都在同一球面上，求

此球的表面积等于多少？

4、有公共斜边的三棱锥

在四边形ABCD中，

ABAD2，

BC3，

CD5，

ABAD，现将ABD沿BD折起，得三棱锥ABCD，若三棱锥ABCD的四个顶点都在球O的球面上，则球O的体积为（ ）

A．

112527282 B．

 C．

 D．



4333

5、正棱锥外接球的球心在其高上，具体位置通过构造直角三角形计算得到

已知三棱锥ABCD的所有棱长都为2，则该三棱锥外接球的体积为5、正棱锥外接球问题

帮助学生体会确定球心的要

两种方法：一是故意引导学生先尝试从正三棱锥方向进行思考，构造一个直角三角形进行求解。二是观察六条棱都相等，构造成正方体简单求解，为后续内容做铺垫。

点，

1、分小组讨论，从长方体或正方体的八个顶点中，通过学任取不共面的四个顶点，可以构造出什么样的特殊三棱小组讨论探究

锥？ 生讨论，培2、讨论完后，学生在长方体或正方体上将三棱锥构养学生造出来。

师：利用教学助手、拍照上传、师生共同讨论。

交流合作能力。[来源:学|科|网]

构造法：构造长方体或正方体

动手尝探究一：三条侧棱两两垂直的三棱锥求外接球问题，试，形成感知

通过四4种特可构造成长方体。（墙角型）

殊三棱锥可用构造法（构

造长方体或正方体）求外接球问题

[来源:学科网

例2、已知三棱锥ABCD的顶点都在球O的球面上，且AB面BCD，AB2，BDCD1，BDCD,4则球O的体积为3个例题的设计，有利于加深学生

对四探究二：一条侧棱垂直于底面，且底面为直角三角种特殊形的三棱锥求外接球问题，可构造长方体。（双垂直）

三棱锥可用构造法（构造长方体或正方体）求外接球问题的 理解和探究三：各棱相等的三棱锥求外接球问题，可构造掌握，正方体。

使学生经历从例3、已知三棱锥ABCD的所有棱长都为2，则该三棱锥外接球的体积为32特殊到AB一般的过程，体验知CD识形成的过

程，逐步培养学生的探究四：对棱相等的三棱锥求外接球问题，可补全长方体。

抽象概例4、已知三棱锥ABCD中，ACBD13，ADBC5，ABCD25，则该三棱锥外接球的表面积为29括能力。

AB

cbCaD

小结：什么样的三棱锥可构造成长方体或正方体？

1、三条侧棱两两垂直的三棱锥求外接球问题，可补全长方体。（墙角型）

2、一条侧棱垂直于底面，且底面为直角三角形的三棱锥求外接球问题，可补全长方体。（双垂直）

3、各棱相等的三棱锥求外接球问题，可补全正方体。

4、对棱相等的三棱锥求外接球问题，可补全长方体。

加深学思考题：如图，在四棱锥S-ABCD中，平面SAB平面ABCD生对构侧面SAB是边长为3的等边三角形，底面ABCD是矩形，且BC=2，则该四棱锥外接球的体积等于（

）课堂练习

造法的

巩固，同时体会一题多解及不同方

归纳小结

1、你能归纳出这节课的学习内容吗？

2、你能谈谈这节课的收获和体会吗？

法间的联系和区别。

整理知识，加

强化思想

3、本节课用到了哪些数学思想方法？

深巩固小组讨论，合作交流，由学生代表总结表达，教师和提高

补充。

1. 已知

、

、

、

是球

表面上的点，作业是

平面 ，

，

，

，则学生信球

的表面积等于

息的反馈，教师可以在作业中发现学生在学习中存在的3.（选做）已知点A、B、C、D均在同一球面上，其中△ABC是正三角形，AD⊥平面ABC，AD=6，AB=3，求该球的体积. 问题，弥补教学中的不足。

简单多面体外接球问题

1.球的体积 球的表面积 2、

长、宽、高分别为a、b、c的长方体的的外接球的给学生课后作业

2.若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是________.

板书直径2R= 展示本设计

3. 长方体相邻三个面的对角线为x,y,z，则长方体的体节课重对角线为 ，即长方体的外接球的直径2R= 4.如何确定直棱柱，正棱锥的球心

5.构造成长方体或正方体的特殊三棱锥的情况

七、教学反思

本节课的内容是复习长方体、正方体、直棱柱、正棱锥的外接球球心的位置确定，以及归纳几种特殊的三棱锥利用构造法（构造成长方体或正方体），并且让学生吃透此内容。

在教学中采用幻灯片形式，讲练结合、小组讨论、师生互动的教学方法，学生参与点

积极性也比较高。针对本节课的内容，编排了一系列问题，让学生在复习巩固旧知识的过程中，自然过渡到新知识，积极投入到思维活动中来。在知识的形成、发展过程中展开思维，逐步培养学生发现问题、探索问题、解决问题的能力和创造性思维的能力，充分发挥了学生的主体作用，也提高了学生主体的合作意识，达到了设计中所预想的目标。但由于部分同学的数学基础薄弱，空间想象力比较差，对本节课的学习难度较大，这需要课后加以辅导和消化。