三角形中的角平分线教学设计一等奖

第2课时 角平分线的应用（教学设计）

勉县温泉中学 李立

教学目的

【知识与技能】

证明与角的平分线的性质定理和判定定理相关的结论. 【过程与方法】

经历探索、猜测、证明的过程，进一步发展学生的推理证明意识和能力．体验解决问题的方法，发展实践能力和创新意识. 【情感态度】

在数学活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心. 【教学重点】

三角形三个内角的平分线的性质. 【教学难点】

角平分线的性质定理和判定定理的综合应用. 教学过程

一.情景导入，初步认知

本节课继续学***分线的性质和应用，讨论三角形中的角平分线.那么，今天的这节课的研究方法和内容还是和线段的垂直平分线很类似，在学习的过程中，要注意对比线段垂直平分线的研究方法来学习. 【教学说明】通过老师的说明，对这节课的大体内容和总的研究方法有了整体的认识和把握，学生可以在一个比较高的起点上来学习本节课的内容.同时，由于老师点明了线段垂直平分线和角平分线之间的相似性，学生初步感受到了数学中的和谐，对数学对象之间的相互联系有了感性的体验.在教师的帮助下提炼出数学中的联系，构建认知结构. 二.思考探究，获取新知

探究：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等. 1.证明：三角形的三条角平分线相交于一点 已知：如图，设△ABC的角平分线BM、CN相交于点P，求证：P点在∠BAC的角平分线上．

证明：过P点作PD⊥AB，PF⊥AC，PE⊥BC，其中D、E、F是垂足．

∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上，

∴PD=PE(角平分线上的点到这个角的两边的距离相等)．

同理：PE=PF．

∴PD=PF．

∴点P在∠BAC的平分线上(在一个角的内部，且到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上)．

∴△ABC的三条角平分线相交于点P．

2.证明：这一点到三条边的距离相等

如上图，P是△ABC的三条角平分线的交点，求证：PD=PE=PF. 由上题的证明可知：PD=PE=PF. 【教学说明】让学生把证明落实到笔上，可以培养学生的数学语言表达能力，也可以让学生自己监控自己的思维，培养学生思维的批判性. 【归纳结论】三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等．

三.运用新知，深化理解

1.见教材P31例3. 2.已知：如图，P点是∠AOB平分线上的一点，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别为C、D．

求证：（1）OC=OD；（2）OP是CD的垂直平分线．

证明：(1)P点是∠AOB角平分线上的一点，PC⊥OA，PD⊥OB，

∴PC=PD(角平分线上的点到角两边的距离相等)．

在Rt△OPC和Rt△OPD中，

OP=OP，PC=PD，

∴Rt△OPC≌Rt△OPD(HL定理)．

∴OC=OD(全等三角形对应边相等)．

（2）又∵OP是∠AOB的角平分线，

∴OP是CD的垂直平分线(等腰三角形“三线合一”定理)．

3.如图：直线l1、l2、l3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转

站，要求它到三条公路的距离相等，则可选择的地址有几处？你如何发现的?

解：我找到四处．除了△ABC三条角平分线交点P外，在三角形外部还有三点．作∠ACB、∠ABC外角的平分线交于点P1(如图所示)，我们利用角平分线的性质定理和判定定理，可知点P1在∠CAB的角平分线上，且到l1、l2、l3的距离相等．同理还有∠BAC、∠BCA的外角的角平分线的交点P2、P3.因此满足条件共4个，分别是P、P1、P2、P3. 4.作图证明：如图，在△ABC中，作∠ABC的平分线BD，交AC于D，作线段BD的垂直平分线EF，分别交AB于E，交BC于F，垂足为O，连结DF．在所作图中，寻找一对全等三角形，并加以证明．（不写作法，保留作图痕迹）

解：（1）画角平分线，线段的垂直平分线．（图形略） （2）△BOE≌△BOF≌△DOF（证明过程略）

【教学说明】让学生首先自己思考例题的解决方法.分析例题的条件和结论，充分暴露自己的思维过程，让学生“观摩”，在此过程中使学生知道“老师是怎么想到的”. 四.师生互动，课堂小结

本节课我们利用角平分线的性质和判定定理证明了三角形三条角平分线交于一点，且这一点到三角形各边的距离相等．并综合运用我们前面学过的性质定理等解决了几何中的计算和证明问题．

课后作业

布置作业:教材“习题1.10”中第2、3 题.

第2课时 角平分线的应用(说课稿) 温泉中学 李立

一、学生知识状况分析

学生的知识技能基础：通过上节的学习，学生对于角平分线性质定理和逆定理均有一个很深的了解和理解，在此基础上本节主要是通过例题来巩固定理和逆定理的应用，提高学生证明推理能力。

二、教学任务分析

本节课的教学目标是：

1．知识目标：

（1）证明与角的平分线的性质定理和判定定理相关的结论．

（2）角平分线的性质定理和判定定理的灵活运用．

2．能力目标：

（1）进一步发展学生的推理证明意识和能力．

（2）培养学生将文字语言转化为符号语言、图形语言的能力．

（3）提高综合运用数学知识和方法解决问题的能力．

3．情感与价值观要求

①能积极参与数学学习活动，对数学有好奇心和求知欲．

②在数学活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心．

4．教学重点、难点

重点

三角形三个内角的平分线的性质．

综合运用角平分线的判定和性质定理，解决几何中的问题．

难点

角平分线的性质定理和判定定理的综合应用．

三、教学过程分析

本节课设计了五个教学环节：第一环节：设置情境问题，搭建探究平台；第二环节：展示思维过程，构建探究平台；第三环节：例题讲解；第四环节：

小结;第五环节：课后作业。

第一环节：设置情境问题，搭建探究平台

问题l 习题1．8的第1题作三角形的三个内角的角平分线，你发现了什么?能证明自己发现的结论一定正确吗？

于是，首先证明“三角形的三个内角的角平分线交于一点”

．

当然学生可能会提到折纸证明、软件演示等方式证明，但最终，教师要引导学生进行逻辑上的证明。

第二环节：展示思维过程，构建探究平台

得出了有关三角形的三条角平分线的结论，即定理三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等．

下面通过列表来比较三角形三边的垂直平分线和三条角平分线的性质定理

锐角三角形

三角形

钝角三角形

直角三角形

交点性质

问题2 如图：直线l1、l2、l3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可选择的地址有几处？你如何发现的? ACl1l2B三边垂直平分线

交于三角形内一点

三条角平分线

交于三角形内一交于三角形外一点

交于斜边的中点

到三角形三个顶点的距离相等

点

到三角形三边的距离相等

要求学生思考、交流。实况如下：

[生我找到四处．(同学们很吃惊)除了刚才同学找到的三角形ABC内部的一点外，我认为在三角形外部还有三点．作∠ACB、∠ABC外角的平分线交于点P1(如下图所示)，我们利用角平分线的性质定理和判定定理，可知点P1在∠CAB的角l3

平分线上，且到l1、l2、l3的距离相等．同理还有∠BAC、∠BCA的外角的角平分线的交点P3；因此满足条件共4个，分别是P、P1、P2、P3

APBl3教师讲评。

第三环节：例题讲解

第四环节：课时小结

师生互动，课堂小结

Cl1l2P1

本节课我们利用角平分线的性质和判定定理证明了三角形三条角平分线交于一点，且这一点到三角形各边的距离相等．并综合运用我们前面学过的性质定理等解决了几何中的计算和证明问题．

第五环节：课后作业

教材“习题1.10”中第2、3 题. 课后反思:

在例题讲解中，要引导学生先从条件出发，想一想由条件可以得到哪些结论?然后从结论出发，思考如果要证明结论成立或计算出结果，都需要什么结果?从前后两个方向思考，渗透分析和综合的解决问题的方法