公式法教学实录

4.2一元二次方程的解法（3）

学习目标

1、会用公式法解一元二次方程

2、学生体验用配方法推导一元二次方程求根公式的过程，明确运用公式求根的前提条件是b－4ac≥0

3、在探索和应用求根公式中，使学生进一步认识特殊与一般的关系，渗透辩证唯物广义观点。

2学习重点：掌握一元二次方程的求根公式，并应用它熟练地解一元二次方程

学习难点：求根公式的结构比较复杂，不易记忆；系数和常数为负数时，代入求根公式常出符号错误。

教学过程

一、情境引入：

1、用配方法解一元二次方程的一般步骤是什么？

二次项系数化1，移项，配方，变形，开平方，求解，定根

2、用配方法解下例方程

（1）2x7x20 （2）2x4x50

3、用直接开平方法和配方法解一元二次方程，计算比较麻烦，能否研究出一种更好的方法，迅速求得一元二次方程ax＋bx＋c = 0（a≠0）的实数根呢？

222二、探究学习：

1．尝试：

如何用配方法解一般形式的一元二次方程ax＋bx＋c = 0（a≠0）？

回顾用配方法解数字系数的一元二次方程的过程，让学生分组讨论交流，达成共识：

2解：因为a0，所以方程两边都除以a，得 x2bcx0

aa移项，得 x22bcx

aa配方，得

x2bbcbx()2()2 2a2aa2a1

b2b24ac)即 (x

2a4a2（这样原方程就化成了（x+h）=k的形式）能用直接开平方解吗？什么条件下就能用直接开平方解了？

2b24ac当b4ac0，且a0时，大于等于零吗？

24a2让学生思考、分析，发表意见，得出结论：

b24ac0

因为a0，所以4a0，从而4a22bb24ac当b4ac0时，得x

2a2a2bb24acbb24ac所以 x 即 x

2a2a2a到此，你能得出什么结论？

2．概括总结

一般地，对于一般形式的一元二次方程

ax2bxc0(a0)，

bb24ac当b4ac0时，它的根是x

（b24ac0）

2a2这个公式叫做一元二次方程的求根公式，利用这个公式解一元二次方程的方法叫做公式法。这个公式说明方程的根是由方程的系数a、b、c所确定的，利用这个公式，我们可以由一元二次方程中系数a、b、c的值，直接求得方程的解。 问题2、（1）为什么在得出求根公式时有限制条件b2－4ac≥0？

（2）在一元二次方程ax2bxc0(a0)中，如果b2-4ac＜0，那么方程有实数根吗？为什么？

b2b24ac在用配方法求axbxc0(a0)的根时，得(x)，22a4a2因为负数没有平方根，所以b24ac0

在一元二次方程ax2bxc0(a0)中，如果b2-4ac＜0，那么方程无实数根，这是由于b24ac无意义。

2

3.概念巩固：

（1）把方程4-x2=3x化为ax2+bx+c=0(a≠0)形式为

，b2-4ac=

（2）用公式法解方程3x2+4=12x，下列代入公式正确的是（

）

A.x=12144121214412

B. x=

2212144121214448

D. x=

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C. x=4.典型例题：

例 用公式法解下列方程：

⑴

x2＋3x＋2 = 0 ⑵ 2 x2－7x = 4

分析：第2小题要先将方程化为一般形式再用求根公式求解。

解（1）∵a=1，b=3，c=2 解：移项，得2x2-7x-4=0 b2-4ac=32-4×1×2=1＞0 ∵a=2，b=-7，c=-4 ∴x31 b2-4ac=49-4×2×（-4）=81＞0 21781

22∴x1=-1，x2=-2 ∴x1 ∴，x1=4，x2

2(3)x2=3x-8 解：移项，得x2-3x+8=0 ∵a=1，b=-3，c=8 b2-4ac=9-4×1×8=-23＜0 ∴原方程无解

用公式法解一元二次方程的一般步骤？

说明：用公式法解一元二次方程首先要把它化为一般形式，进而确定a、b、c的值，再求出b2-4ac的值，当b2-4ac≥0的前提下，再代入公式求解；当b2-4ac＜0时，方程无实数解(根) 5.巩固练习：

3

练习1用公式法解下列方程

(1)x2-3x-4=0 (2)2x2+x-1=0 6

（3）x22x3 （4）x（x6）(5)4x2+4x-1=-10-8x （6）2x2-7x+7＝0

练习2两个连续正偶数的积等于168，求这两个偶数

三、归纳总结：

1、解一元二次方程一般有哪几种方法？一元二次方程的求根公式是什么？

用公式法解一元二次方程时要注意什么？

2、任何一个一元二次方程都能用公式法求解吗？举例说明。

3、若解一个一元二次方程时，b2－4ac＜0，请说明这个方程解的情况。

【课后作业】

班级 姓名 学号 21．方程x4x10的根是________________________.

22.当x__________时，代数式x6x5与x1的值相等. 3.已知两个连续的奇数的积是255，则这两个奇数为______________. 3、用公式法解方程2x2+43x=22,其中求的b2-4ac的值是（

）

A.16

B. 4

C. 4．用求根公式法解下列方程：

2（1）3x2x10 （2）y22y40

32

D.64 2

（3）2yy10 （4）3x(3x-2)+1=0.

2（5）2x2-7x+5＝0

（6）

2x2-7x-18＝0

5.已知等腰三角形的底边长为9，腰是方程x10x240的一个根，求这个三角形的周长。

6.解关于x的一元二次方程：ax2-（a+b）x+b=0（a≠0）

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