多边形的外角和教学设计和教学实录

多边形的外角和

1.理解并能够说出多边形的外角和定理,且能够证明它.

2.能够综合应用多边形的内角和、外角和定理解决有关的问题.

经历多边形的外角和定理的探究过程,进一步体会转化的数学思想.

在解题中感受生活中数学的妙处,体验数学的探索性和创造性.

【重点】

多边形外角和定理的探索和应用它解决有关的问题.

【难点】

在定理的推导和定理的应用中,对数学转化思想的体验和吸收.

【教师准备】

演示课件.

【学生准备】

量角器.

导入一:

[过渡语]

上一节我们研究了多边形的内角和,我们重点研究了多边形的内角和定理及它的应用,多边形内角和定理是怎么说的?

1.上一节我们又是怎样研究得到的这个定理?对于正多边形,我们还可以求出它的每一个内角,怎么来求?

学生甲:n边形的内角和等于(n-2)·180°.

学生乙:是通过转化为三角形,再求这些三角形的内角和的和而得到的.

学生丙:正n边形的每一个内角的度数是.

[设计意图]

多边形的外角和是在多边形内角和基础上推导出来的,所以复习整理多边形内角和知识是很必要的.

导入二:

[过渡语]

上节课我们探究了多边形的内角和公式,请完成以下题目.

(多媒体演示)如图所示,清晨,小刚沿一个五边形广场周围的小路,按逆时针方向跑步.

(1)小刚每从一条小路转到下一条小路时,跑步方向改变的角是哪个角?在图上标出这些角.

(2)他每跑完一圈,跑步方向改变的角一共有几个?它们的和是多少?

(3)如图所示,你能求出∠1+∠2+ ∠3+ ∠4+∠5的结果吗?你是怎样得到的?

实际上以上问题中的∠1,∠2,∠3,∠4,∠5是这个五边形的外角,它们的和就是这个五边形的外角和,这也是我们今天所要研究的——多边形的外角和.

[设计意图]

利用生活情境,设计问题,激发学生的兴趣和积极性,同时给学生一定的思考空间.

[过渡语]

利用所学的知识你能完成下面的问题吗?

一、多边形的外角和

思路一

对于上述的问题,如果学生能给出一些合理的解释和解答(例如利用内角和),可以按照学生的思路走下去.然后再给出“小刚的做法”或以“小刚的做法”为提示,鼓励学生思考.如果学生对于这个问题无法突破,教师可以给出“小刚的做法”,或引导学生按“小刚的做法”这样的思路去思考,以便解决这个问题.

小明是这样思考的:如图所示,过平面内一点O分别作与五边形ABCDE各边平行的射线OA',OB',OC',OD',OE',得到∠α,∠β,∠γ,∠δ,∠θ,其中,∠α=∠1,∠β=∠2,∠γ=∠3,∠δ=∠4,∠θ=∠5.

这样,∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=360°.

小刚是这样思考的:如图所示,跑步方向改变的角分别是∠1,∠2,∠3,∠4,∠5.

∵∠1+∠EAB=180°,

∠2+∠ABC=180°,

∠3+∠BCD=180°,

∠4+∠CDE=180°,

∠5+∠DEA=180°,

∴∠1+∠EAB+∠2+∠ABC+∠3+∠BCD+∠4+∠CDE+∠5+∠DEA=900°.

∵五边形的内角和为(5-2)×180°=540°,

即∠EAB+∠ABC+∠BCD+∠CDE+∠DEA=540°,

∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=900°-540°=360°.

问题引申:

1.如果广场的形状是六边形,那么还有类似的结论吗?

2.如果广场的形状是八边形呢?

总结得出:多边形的外角和都等于360°.

[设计意图]

通过问题的解决和延伸,引发学生自主思考,由特殊到一般,培养学生解决问题的逻辑思维能力,也为多边形外角和的得出做好铺垫.

思路二

1.给出定义.

多边形内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做这个多边形的外角.在每个顶点处取这个多边形的一个外角,它们的和叫做这个多边形的外角和.

2.探究多边形的外角和.

探究多边形的外角和,提出一般性的问题:一个任意的n边形,它的外角和是多少?

鼓励学生用多种方法解决这个问题,可以参考解决特殊问题的方法去解决这个一般性的问题.

方法1:类似探究多边形的内角和的方法,由三角形、四边形、五边形……的外角和开始探究.

多边形

三角形

四边形

五边形

六边形

…

图形

…

…

外角和

方法2:由n边形的内角和等于(n-2)·180°出发,探究问题.

结论:多边形的外角和都等于360°.

追问:

(1)还有什么方法可以推导出多边形外角和定理?

(2)利用多边形外角和的结论,能否推导出多边形内角和的结论?

[过渡语]

如何利用多边形的外角和知识解决实际问题呢?

二、例题讲解

(教材例2)一个多边形的内角和等于它的外角和的3倍,它是几边形?

〔解析〕

这是多边形外角和定理的简单应用.

解:设这个多边形是n边形,则它的内角和为(n-2)·180°,外角和为360°.

根据题意,得(n-2)·180°=3×360°.

解得n=8.

所以这个多边形是八边形.

[知识拓展]

由三角形内角和推广到多边形内角和并且用于解决问题十分重要,n边形内角和等于(n-2)个平角,即(n-2)·180°,边数增加,内角和也增加,边数减少,内角和也减少,边数每增加(减少)1,内角和就增加(减少)180°.n边形外角和等于360°,与边数无关,它有鲜明的直观意义,设想一辆汽

车在多边形的边界上绕圈子(如图所示),每经过一个顶点,前进的方向就要改变一次,改变的角度恰好是这个顶点处的外角,绕了一圈,回到原处,方向与当初出发时一致了,角度的改变量之和当然是360°.

多边形内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做这个多边形的外角.在每个顶点处取这个多边形的一个外角,它们的和叫做这个多边形的外角和.

多边形的外角和都等于360°.

1.一个多边形的内角和与外角和之和为2520°,则这个多边形的边数为

(

)

A.12 B.13 C.14 D.15 解析:(n-2)·180°+360°=2520°,解得n=14.故选C.

2.在一个多边形的每一个顶点处取一个外角,这些外角中最多有钝角

(

)

A.1个

B.2个

C.3个

D.4个

解析:由外角和为360°可得最多有3个钝角.故选C.

3.如果一个多边形的内角和是其外角和的一半,那么这个多边形是

(

)

A.六边形

B.五边形

C.四边形

D.三角形

解析:(n-2)·180°=360°×,解得n=3.故选D.

4.一个多边形中,每个内角都相等,并且每个外角都等于它的相邻内角的内角和.

解:设这个多边形的边数为n.

,求这个多边形的边数及则=×4,解得n=10.

内角和:(n-2)·180°=1440°.

即这个多边形的边数为10,内角和为1440°.

第2课时

一、多边形的外角和

二、例题讲解

一、教材作业

【必做题】

教材第156页随堂练习.

【选做题】

教材第157页习题6.8的2,3题.