22.1 一元二次方程教学设计(第二课时)

1、知识目标:在理解的基础上掌握一元二次方程根与系数的关系式;能运用根与系数的关系解决一些简单的问题;能由已知一元二次方程的一个根求出另一个根与未知数,会求一元二次方程两个根的平方和与倒数和。

2、能力目标:通过一元二次方程根与系数的关系的教学过程,使学生经历观察、实验、猜想、证明等数学活动过程,发展推理能力,能有条理地、清晰地阐述自己的观点,进一步培养学生的创新意识和创新精神。

3、情感目标:通过情境教学过程,激发学生的求知欲望,培养学生积极学习数学的态度。体验数学活动中充满着探索与创造,体验数学活动中的成功感,建立自信心。

2学情分析

评论 1.本课的教学对象是九年级学生,学生对事物的认识多是直观、形象的,他们所注意的多是事物外部的、直接的、具体形象的特征。

2.学生已学习过用求根公式法解一元二次方程。

3.在教学初始,出示一些学生所熟悉和感兴趣的东西,结合一元二次方程求根公式使他们在现代化的教学模式和传统的教学模式相结合的基础上掌握一元二次方程根与系数的关系。

3重点难点

评论 1、重点:一元二次方程根与系数的关系。

2、难点:让学生从具体方程的根发现一元二次方程根与系数之间的关系,并用语言表述,以及能灵活应用一元二次方程解决具体问题。

4教学过程 4.1 第一学时 4.1.1教学活动 活动1【讲授】一元二次方程根与系数的关系

评论 教学环节

教师活动

预设学生行为

设计意图

复习

1、本章学了哪些一元二次方程的解法? 学生集体回答

2、写出一元二次方程的一般式与求根公式

一个学生上黑板写出

问题导入

解下列方程: x2-2x=0 x2+3x-4=0 x2+5x+6=0 并根据问题2和以上的求解填写下表

请观察上表,你能发现两根之和、两根之积与方程的系数之间有什么关系吗? 问题4.请根据以上的观察发现进一步猜想:方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根x1,x2与a、b、c之间的关系:____________。

问题5.你能证明上面的猜想吗?请证明,并用文字语言叙述说明。

分小组讨论以上的问题,并作出推理证明。

若方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根为

x1=

,x2=

。

则

x1+x2=

+

=

; x1 x2=

·

此得出一元二次方程的根与系数的关系;还可以让学生用自己的语言表述这种关系,来加深理解和记忆。

这个关系是一个法国数学家韦达发现的,所以也称之为韦达定理。

探究发现

问题6.在方程ax2+bx+c=0(a≠0)中,a、b、c的作用吗?(引导学生反思性小结) ①二次项系数a是否为零,决定着方程是否为二次方程; ②当a≠0时,b=0,a、c异号,方程两根互为相反数; ③当a≠0时,△=b2-4ac可判定根的情况; ④当a≠0,b2-4ac≥0时,x1+x2=

,x1x2=

。

⑤当a≠0,c=0时,方程必有一根为0。

学生交流探讨

本设计采用“实践——观察——发现——猜想——证明”的过程,使学生既动手又动脑,且又动口,教师引导启发,避免注入式地讲授一元二次方程根与系数的关系,体现学生的主体学习特性,培养了学生的创新意识和创新精神。

尝试运用

根据根与系数的关系写出下列方程的两根之和与两根之积(方程两根为x1,x2、k是常数) 1)3x2+5x=1

x1+x2= ________

x1x2= _________

(2)4x2+4x+10=1-8x

x1+x2= ________

x1x2= __________

此试一试、巩固知识

知识拓展

利用根与系数的关系,求一元二次方程2x2-3x-1=0的两个根的(1)平方和,(2)倒数和。

讨论:解上面问题的思路是什么? x12+ x22=( x1+x2)2-2 x1x2;

将平方和、倒数和转化为两根和与积的代数式

归纳小结

本课主要研究了什么? 1、方程的根是由系数决定的。2、a≠0时,方程ax2+bx+c=0是一元二次方程。3、当a≠0,b2-4ac≥0时,x1+x2=

,x1x2=

。4、b2-4ac的值可判定根的情况。5、方程根与系数关系的有关应用。

回顾总结

活动2【活动】一元二次方程根与系数的关系

评论 板书设计

一元二次方程根与系数的关系

如果ax2+bx+c=0(a≠0)的两根是x1,x2,那么x1+x2=

,x1x2=

。

问题6.在方程ax2+bx+c=0(a≠0)中,a、b、c的作用吗? ①二次项系数a是否为零,决定着方程是否为二次方程; ②当a≠0时,b=0,a、c异号,方程两根互为相反数; ③当a≠0时,△=b2-4ac可判定根的情况; ④当a≠0,b2-4ac≥0时,x1+x2=

,x1x2=

。

⑤当a≠0,c=0时,方程必有一根为0。

学生学习活动评价设计

本节课充分让学生分析、观察、提高了学生的归纳能力及推理论证的能力

教学反思

1、一元二次方程根与系数的关系的推导是在求根公式的基础上进行。它强化了两根的和与积同系数之间的关系,是我们今后研究一元二次方程根的情况的主要工具,必须熟记。

2.以一元二次方程根与系数的关系的推导,向学生展示认识事物的一般规律,提倡积极思维,勇于探索的精神,借此锻炼学生分析、观察、归纳的能力及推理论证的能力

3.一元二次方程的根与系数的关系,在中考中多以填空,选择,解答题的形式出现,也常与几何、二次函数等问题结合考查,是考试的热点,它是方程理论的重要组成部分。