同分母分式的加减法优质课教学设计

3

分式的加减法

1.会进行简单分式的加减运算,具有一定的代数化归能力.

2.会进行同分母分式、异分母分式加减的简单运算.

1.经历类比、猜想、归纳、探索分式加减运算法则的过程.

2.经历探索分式加减运算法则的过程,理解其算理.

1.能解决一些简单的实际问题,进一步体会分式的模型思想.

2.使学生体会分式的加减法在实际生活中的应用价值.

【重点】

探索分式加减法法则,会进行分式的加减运算.

【难点】

异分母分式的加减运算.

第课时

1.类比同分母分数的加减法法则归纳出同分母的分式加减法法则.

2.理解同分母的分式加减法法则,能进行同分母的分式加减法运算及分母互为相反式的分式加减法运算.

1.经历类比、猜想、归纳、探索同分母的分式加减运算法则的过程.

2.经历探索分式加减运算法则的过程,理解其算理.

通过学习认识到分数与分式的联系,理解事物拓延的内在本质,丰富数学情感与思想.

【重点】

理解同分母的分式加减法的运算法则,能进行同分母的分式加减运算.

【难点】

分母互为相反数的分式加减法运算.

【教师准备】

推导法则所用的题板.

【学生准备】

复习同分母分数的加减法.

导入一:

计算下列各题:

+= -= += -= 猜想下列各式的结果:

+= -= += -= [设计意图]

通过做一做,可以使学生很快进入状态又不觉得困难.后两个的运算结果要约分化为最简分数,学生极有可能说出没有约分的答案.因此,类比时注意引导学生正确猜想,注意约分,使法则的提出顺理成章,也为后面的学习做好铺垫.

导入二:

计算下列各题:

+= -= += -= 【学生活动】

同桌互相配合,一个出题,一个答题.

【问题】

你能否把这一数学事实用字母表示出来?会用语言叙述吗?

用式子表示为:±=.

同分母的分式加减法法则:同分母的分式相加减,分母不变,把分子相加减.

[设计意图]

通过复习同分母的分数加减法的题,引导学生用类比的思想,猜一猜同分母的分式的加减法如何运算,并试图让学生认识其合理性.从而给出同分母的分式加减法的运算法则,点明本节课的主要内容.

[过渡语]

学习了同分母的分式加减法法则,大家会运用法则计算吗?

一、法则应用

思路一

(教材例1)计算:

(1)-;

(2)-;

(3)-;

(4)+-.

〔解析〕

这四个题均可以直接利用法则进行计算,四个小题由简单到复杂,分母由单项式到多项式,分式的个数由2个到3个,结果由简单约分到需要因式分解后再约分,但都属于简单的分式运算.

解:(1)-===.

(2)-===x+2.

(3)-====-3.

(4)+-==.

[设计意图]

通过这4道小题的讲解,让学生掌握如何运用法则进行运算,并注意运算时可能出现的问题.

[教学提醒]

本例教学,每小题都应帮助学生理解算理,清楚每一步运算的依据,在进行运算时若分子是多项式的,分子要先添括号,再去括号,最后合并同类项;运算结果也要类比分数加减法的结果,化成最简形式,即约去分子与分母的所有公因式——化简.

思路二

请计算+,

- ,并分别取a=3,x=9,检验你的结果是否正确.

〔解析〕

利用同分母的分式加减法法则,可以计算出结果,分别代入具体值加以验证.

解:+=;

- ===x+3.

当a=3时,+=+=;=.

当x=9时,-=-=12;x+3=9+3=12.

所以+=;-=x+3均正确.

二、例题讲解

[设计意图]

利用求代数式的值加深对同分母的分式加减法的理解.

[过渡语]

对同分母的分式加减法法则,我们做到深刻领会了吗?请看下面例题.

(教材例2)计算:

(1)+;

(2)-.

〔解析〕

本例教学中,可以先让学生观察两个分式的分母,再提问,以启发学生思考:

问题1:这两个分式的分母相同吗?有什么关系?

问题2:用什么方法可以将它们化成同分母分式?

问题3:分子的符号、分母的符号、分式的符号之间有何关系?

解:(1)+=-==1.

(2)-=+===a-1.

(补充例题)计算:

(1)-;

(2)-+.

〔解析〕

同分母的分式相加减,分母不变,把分子相加减.

解:(1)原式===.

(2)原式===.

[方法技巧]

同分母的分式加减法的运算,当分子为多项式时,应把多项式看成一个整体添上括号再运算,结果要化成最简分式.

[知识拓展]

分母互为相反数的分式加减法.

计算:(1)+;

(2)+;

(3)+-.

〔解析〕

这是一组分母互为相反数的分式加减运算的题目,旨在初现异分母分式的加减运算,实质是化成同分母的分式再运算,这要求学生能够熟练掌握,并为下节课要学习的异分母的分式加减法做好准备.

解:(1)+=-==1.

(2)+=-==.

(3)+-=--===-1.

1.同分母的分式加减法法则:同分母的分式相加减,分母不变,把分子相加减.

2.学会用转化的思想将分母互为相反数的分式加减运算转化成同分母分式的加减运算.

3.分子是多项式时,一定记得添括号后再进行加减运算.

4.学会用类比的方法去分析和解决问题.

1.(绍兴中考)化简+的结果是

(

)

A.x+1 B.C.x-1 D.

解析:+===x+1.故选A.

2.计算:解析:--++==

.

==1.故填1.

3.计算:-=

.

解析:4.计算:

-===-2.故填-2.

(1)+;

(2)+;

(3)-.

解:(1)+==.

(2)+===a+b.

(3)-===-3.

第1课时

同分母的分式加减法法则:同分母的分式相加减,分母不变,把分子相加减.

用式子表示为:±=一、法则应用

二、例题讲解

.

一、教材作业

【必做题】

教材第118页随堂练习的1,2题.

【选做题】

教材第118页习题5.4的1,2,3题.

二、课后作业

【基础巩固】

1.化简A.-x-y

2.计算-B.y-x

+的结果是

(

)

C.x-y

-D.x+y

得

(

)

A.-

C.-2 D.2 B.

3.计算:(1)-+;

(2)-+.

【能力提升】

4.计算:(1)+-;

(2)-+.

5.(湖州中考)计算:【拓展探究】

-.

6.计算:-+.

7.化简求值:【答案与解析】

-,其中a=-2,b=.

1.C(解析:原式===x-y.故选C.)

2.D(解析:原式===2.故选D.)

3.解:(1)-+==.

(2)-+===-.

4.解:(1)+-==.

(2)-+==.

5.解:原式===a+b.

6.解:原式====.

7.解:原式===-.当a=-2,b=时,原式=-=.

教材为我们提供了最基本有效的教学素材,我们应该充分挖掘这些素材,把它们转化成本节课的实质内容,并明确教学目标,让学生通过对这些素材的把握,做到举一反三、灵活运用.

作为运算,课后还是应该多加练习,扎实基本功,毕竟课堂时间有限.

1.因势利导,由浅入深,鼓励学生通过与同分母的分数的加减法类比,给出同分母的分式加减运算法则后,应该先讲如何应用,再让学生练习,自然引出例题.

2.应该讲练结合,注意对关键点的引导.

随堂练习(教材第118页)

1.解:(1)不正确,+=

.

(2)不正确,-=.

(3)不正确,1+=.

(4)正确.

2.解:(1)-.

(2).

(3)1.

习题5.4(教材第118页)

1.解:(1).

(2)-.

.

(3)时,原式=--=或-2.解:(1)a+b.

(2)-3.解:原式=x-1,当x=4.解:-=.

(4)x+2.

.

(h).

历史上的分数运算法则

1.最早的分数运算法则

我们伟大的祖国,作为世界四大文明古国之一,在世界数学发展的历史长河中,曾作出过许多杰出的贡献,远远走在世界的前列.许多光辉的成就,在世界数学史上享有崇高的荣誉.分数运算法则的出现就是我们引以为荣的成就.

早在西汉时期,张苍、耿寿昌等学者在整理、删补自秦代以来的数学知识的基础上,编成了数学的经典——《九章算术》.后来,魏晋时代伟大的数学家刘徽对此书作了注解,于魏景元四年写成了《九章算术注》.在《九章算术》的《方田》章中,提出了完整的分数运算法则,讲到了约分、合分(分数的加法)、减分(分数的减法)、乘分(分数的乘法)、经分(分数的除法)的法则,这些与我们现在的分数运算法则完全相同.另外,还记载了课分(比较分数的大小)、平分(求分数的平均值)等关于分数的知识,是世界上最早的系统表述分数的著作.

分数运算,大约15世纪才在欧洲流行.欧洲人普遍认为,这种算法起源于印度.实际上,印度到7世纪婆罗门笈多的著作中才开始出现分数的运算法则,即使与刘徽的时代相比,印度也要比我国迟400年左右.

2.中国最早的约分

《九章算术》中的算法是在假设读者已具备了正整数四则运算方法的基础上展开的.《方田》一章中讲述了分数运算,“约分术”是第一个算法,其述文是:

“可半者半之;不可半者,副置分母、子之数,以少减多,更相减损,求其等也.以等数约之.”

意思是:分母、分子若都是偶数,先同被2除;若不都是偶数,则用“更相减损术”求其“等数”(即最大公约数).再用最大公约数去同除分母与分子.

所谓“更相减损”,就是辗转相减.例如,求91与49的“等数”方法是:

于是有=.

上述求等数的更相减损法,即从多的一边筹码数中将另一边较少的筹码数减去,如此反复进行,直到两边所剩数相等.这也是“等数”名称的由来.

如果我们定义f(x)=,如f(2)==,f==.根据定义请你计算下面式子的值:

f(2014)+f(2013)+…+f(1)+f(0)+f(1)+…+f解:依题意设n是整数,

+f.

则f(n)=,f==,

所以f(n)+f=+==1,

则f(2014)+f(2013)+…+f(1)+f(0)+f(1)+…+f+f=++…+[f(1)+f(1)]+f(0)

=+0=2014.

问题:若我们定义g(x)=,如g(2)==,g(-2)==-,根据定义请你计算下面式子的值:

g(2014)+g(2013)+…+g(2)+g(1)+g(-1)+g(-2)+…+g(-2013)+g(-2014).

〔答案〕

0

(河北中考)化简:A.0 B.1 -等于

(

)

C.x

D.

〔解析〕

-===x.故选C.

(遵义中考)计算:+的结果是

.

〔解析〕

原式变形后利用同分母的分式减法法则即可得到结果.填-1.

+=-==-1.故第课时

1.会找最简公分母,能进行分式的通分.

2.理解并掌握异分母的分式加减法法则.

经历对异分母分式的加减运算的探讨过程,提高学生的分式运算能力.

培养学生在学习中将未知问题转化为已知问题的能力和意识,进一步通过实例,培养学生的符号感和应用数学的意识.

【重点】

理解并掌握异分母的分式加减法法则.

【难点】

找到最简公分母,能进行分式的通分.

【教师准备】

巩固上节的知识点.

【学生准备】

复习同分母的分式加减法法则.

导入一:

[过渡语]

同学们,上节课我们学习了同分母的分式加减法法则,利用法则我们能进行同分母分式的加减运算,下面我们一起复习一下.

复习提问:

问题1:同分母的分式是怎样进行加减运算的?

问题2:异分母的分数又是如何进行加减运算的?

问题3:计算+.

[设计意图]

由复习旧知识引入新知识,过渡自然,易于接受.

导入二:

计算:-.

【问题】

该计算属于同分母的分式相减吗?如果不是,那么如何化为同分母的分式?

【师生活动】

由分式的基本性质,把化为,这样就变成了同分母的分式相减,我们就会做了.

【学生活动】

类比学过的异分母分数的加减法法则,猜测异分母分式的加减法法则.

[设计意图]

由复习同分母的分式加减法法则和分式的基本性质引入新知识,使学生便于理解和掌握.

一、通分

思路一

【议一议】

小明认为,只要把异分母的分式化成同分母的分式,异分母分式的加减运算就变成了同分母分式的加减运算.小亮同意小明的这种看法,但他俩的具体做法不同:

小明:+=+=+==.

小亮:+=+=+=.

你对这两种做法有何评论?与同伴交流.

〔解析〕

他们的共同之处是都根据分式的基本性质将异分母分式的加法变成同分母分式的加法;不同2之处是选取的公分母有所不同,一个是4a,另一个是4a,后者比前者简单.

[设计意图]

这里的小明,小亮两人的做法很有代表性,也是学生在化异分母的分式为同分母的分式的过程中经常出现的情况,这就很自然提到通分的概念,引导学生类比最小公倍数确定最简公分母.当然,从最后结果来说,都是对的,这就要求教师耐心引导.

(补充例题)通分.

(1),;

(2),;

(3),.

〔解析〕

分式的通分,即要求把几个异分母的分式分别化为与原来的分式相等的同分母的分式.通分的关键是确定几个分式的公分母,通常取各分母所有因式的最高次幂的积作为公分母(叫做最简公分母).例如第(1)小题中的两个分式和,它们的最简公分母是ab.

22解:(1)与的最简公分母为ab,所以22==,==.

(2)与的最简公分母为(x-y)(x+y),即x-y,所以22==,==.

(3)因为x-y=(x+y)(x-y),x+xy=x(x+y),所以222与的最简公分母为x(x+y)·(x-y),因此=;=.

[老师点评]

异分母的分式加减法法则:异分母的分式相加减,先通分,化为同分母的分式,然后再按同分母分式的加减法法则进行计算.

用式子表示为:±=±=.

[知识拓展]

确定最简公分母的一般步骤:

(1)找系数:如果各分母的系数都是整数,那么取它们的最小公倍数.

(2)找字母:各分母因式中出现的所有字母或含字母的式子都要选取.

(3)找指数:取各分母因式中出现的所有字母或含字母的式子中指数最大的.

这样取出的因式的积,就是最简公分母.

思路二

回顾一下,我们学习异分母的分数加减法时,是如何进行的呢?

首先要通分变成同分母的分数,然后进行计算.类似于异分母的分数加减法法则,我们可以根据分式的基本性质,对异分母的分式进行通分,变为同分母的分式相加减.

[设计意图]

利用类比的方式,学习新的知识点.过渡自然,易于学生接受.

二、例题讲解

(教材例3)计算:

(1)+;

(2)-;

(3)-.

解:(1)+ =+ == =.

(2)- =- ==.

(3)- =-= = =.

[设计意图]

不同梯度的三道题,呈现异分母的分式加减法的三种形式,让学生体会法则的运用.要因形式而变,且万变不离其宗——异分母的分式加减法法则.

[方法技巧]

在化成同分母的分式加减法的过程中,学生可能会出现一些麻烦,这要求我们根据具体情况加以引导,同时还要在(3)题中渗透分母是多项式且可以进行因式分解的,应先分解因式,再通分.对于通分后的分子是多项式的也要先添括号,再进行运算.

[过渡语]

刚才我们只是单纯的计算演练,下面看看我们能不能通过计算解决实际问题?

(教材例4)小刚家和小丽家到学校的路程都是3 km,其中小丽走的是平路,骑车速度是2v

km/h.小刚需要走1 km的上坡路、2 km的下坡路,在上坡路上的骑车速度为v km/h,在下坡路上的骑车速度为3v km/h.那么

(1)小刚从家到学校需要多长时间?

(2)小刚和小丽谁在路上花费的时间少?少用多长时间?

〔解析〕

这是一道实际问题,不仅要求学生用分式来表示,还要运用分式的加减运算来解决问题,让学生经历了从实际问题建立分式模型的过程,关注学生对数学建模能力的培养,问题(2)涉及比较分式大小的问题,可以引导学生类比分数的大小比较进行解决.

解:(1)小刚从家到学校需要+(2)小丽从家到学校需要因为> h. ==(h).

,所以小丽在路上花费时间少.

-==(h).

小丽比小刚在路上花费时间少[设计意图]

通过这个实例,提高学生运用分式表达数量之间的关系,运用分式的加减运算解决实际问题的能力,增强学生应用数学解决实际问题的意识.讲解这个题目时,可以采取学生板演,大家讨论、交流的形式,这样老师能更好地发现学生在用知识时真正的“症结”所在,有助于教学的针对性.同时应该关注学生的书写是否规范.

[知识拓展]

异分母的分式加减法的步骤:

(1)通分,将异分母的分式化成同分母的分式;

(2)写成“分母不变,分子相加减”的形式;

(3)分子去括号,合并同类项;

(4)分子、分母同时约分,将结果化成最简分式或整式.

1.异分母的分式加减法法则.

2.通分的关键就是找最简公分母,对于分母是多项式且能够进行因式分解的,要先分解,再找最简公分母.

3.通分前分子是单项式的,通分后就可能变成多项式,运算时记得添括号.

4.运算结果要约分,有一些运算律仍然适用.

1.计算A.+的结果是

(

)

B.

C.

D.解析:+

=+==.故选C.

2.计算-的结果是

(

)

A.-

B.

C.-

D.

解析:3.计算:

-=--===.故选D.

(1)+;

(2)+;

(3)--.

解:(1)+=+=.

(2)+=-===.

(3)--=--===-.

4.(泸州中考)化简:÷.

解:原式=÷=·=.

5.计算:+-.

解:原式=++===1.

异分母的分式加减法法则:

用式子表示为:±=±=第2课时

.

一、通分

二、例题讲解

一、教材作业

【必做题】

教材第121页随堂练习的1,2题.

【选做题】

教材第121页习题5.5的1,2,4题.

二、课后作业

【基础巩固】

1.下列计算正确的是

(

)

A.+=C.-2.计算

B.+=+- =0 得

(

)

=

D.+A.-C.-2 D.3.计算:

(1)+

B.

=

;

(2)+=

.

4.计算:

(1)+;

(2)+.

【能力提升】

5.已知x≠0,则++等于

(

)

A.

B.

C.

D.

6.(宜昌中考)化简:+.

7.计算:-.

8.计算:+-.

9.计算:【拓展探究】

÷.

10.(台州中考)先化简,再求值:-,其中a=-1.

11.已知实数a,b满足ab=1,求下列分式的值.

(1)+;

(2)+.

【答案与解析】

1.D(解析:A.+=-2.D(解析:+==.B.+=+=.C.-==-.D.+==0.故选D.)

+-=++==.故选D.)

3.(1)1

(2)(解析:(1)+==1.(2)+=+==.)

4.解:(1)+=+===.

(2)+=+===.

5.D(解析:++=++=.故选D.)

6.解:7.解:原式+=+=+==1.

=-===.

8.解:原式=+-====-.

9.解:原式=÷=×=×=.

10.解:原式==.当a=-1时,===.

11.解:(1)原式=+=+=1.

(2)原式=+=+=1.

例题和习题采取梯度设置,有助于学生循序渐进地获得知识,对知识掌握得更容易且更牢靠,教学效果很好.

增加讨论,能让学生更明确其算理所在,容易接受.通过演练,老师能发现学生在接受新知识时所遇到的困难和容易犯的错误,有助于及时纠正,应该多采取这种方式.

实际问题的解决在于对数学模型的理解,对字母表示数的理解,可以在平时教学中不时渗透,增强学生应用数学的意识,使数学思想得到提升.

随堂练习(教材第121页)

1.解:(1)=,=.

(2)=,-=.

(3)=,=.

(4)=,=-=-.

2.解:(1).

(2)或.

习题5.5(教材第121页)

1.解:(1).

(2).

(3).

(4)或.

2.解:(1)-.

(2)原式=+=.

3.解:原式=·=2x+8或者原式=·-·=2x+8.

4.解:(1)输出的答案都为1.

(2)-=1.

5.解:-=(元).

怎样确定最简公分母

我们在进行异分母的分式加减运算时,先找到几个异分母的最简公分母,然后进行通分,再进行计算.如何确定最简公分母呢?

1.算式中只有一项是分式,最简公分母就是这个分式的分母.如算式a-1+的最简公分母就是a+1.

2.算式中有几个分式相加减,若分母互为相反数,则最简公分母可取其中任何一个分母.如算式--的最简公分母可以是a-2b,也可以是2b-a.

3.当算式中分式的几个分母都是单项式时,最简公分母则取系数的最小公倍数与所有字母的最高次幂的乘积.如算式+-的最简公分母就是12abxy.

224.当算式中分式的几个分母都是多项式时,要先把所有分母进行因式分解,最简公分母则是每个因式的最高次幂的乘积.如算式+的最简公分母是4(x+y)(x-y).

25.当算式中分式的分子与分母都有公因式时,可以先把这个分式约分,再根据情况确定最简公分母.如计算-时,如果直接通分,则显得繁琐;若把的分子、分母分别分解因式得,可化简为.可见,最简公分母是x-2.

甲、乙两人一个月里两次同时到一家粮油商店去买大米,两次大米的价格有变化,其中第一次的单价为x元,第二次的单价为y元(x≠y).他们两人的购买方式不同:甲每次总是买相同质量的大米,乙每次只拿出相同数量的钱来买大米.两种购买方式,哪一种更合算?

解:设甲每次买a千克大米,乙每次拿出b元,由题意,得甲两次购买大米的平均单价为=(元),乙两次购买大米的平均单价为=(元).

甲、乙两次购买大米平均单价的差是-=-=.

因为x,y是正数,所以当x≠y时,是正数.所以乙的购买方式更合算.

解答一个问题后,将结论作为条件之一,提出与原问题有关的新问题,我们把它称为原问题的一个“逆向”问题.例如,原问题是“已知长方形的两边长分别为3和4,求长方形的周长”,求出周长等于14后,它的一个“逆向”问题可以是“已知长方形的周长为14,且一边长为3,求另一边的长”;也可以是“已知长方形的周长为14,求长方形面积的最大值”等.

(1)设A=-,B=,求A与B的积;

(2)提出(1)的一个“逆向”问题,并解答这个问题.

解:(1)A×B=·=2x+8.

(2)已知A×B=2x+8,A=-,求B的值.

(2x+8)÷=(2x+8)×=.(答案不唯一)

第课时

1.会进行分母是多项式的异分母分式的加减法运算及分式与整式的加减法运算.

2.提高学生对代数式化简变形的能力.

3.能进行分式的混合运算及较复杂的分式化简求值.

会运用分式建立数学模型,从而解决实际问题,增强学生应用数学的意识.

培养学生在学习中将未知问题转化为已知问题的能力和意识,进一步通过实例,增强学生的符号感和应用数学的意识.

【重点】

分式的混合运算及较复杂的分式化简、求值.

【难点】

运用分式建立数学模型,从而解决实际问题.

【教师准备】

巩固复习分式加减法的习题.

【学生准备】

复习分式的加减法法则.

导入一:

【问题】

同分母的分式是怎样进行加减运算的?异分母的分式呢?通过下面的“练一练”思考.

【练一练】

(1)+;

(2)-;

(3)-.

【参考答案】

(1)+=+=.

(2)-=-==.

(3)-=-====.

[设计意图]

通过回忆同分母的分式、异分母的分式加减法法则,来加深学生对所学知识的认识,也为这节课打好理论基础.同时又通过练一练的三道题,检查学生对法则的运用情况,加强对法则的理解与应用,为本节课的学***障碍.

导入二:

预习完成:

1.分数混合运算的运算顺序是

.

2.大胆猜一猜:分数的混合运算与分式的混合运算的运算顺序

(填“是或不是”)相同的.

3.提醒:分式混合运算时,要注意运算顺序,在没有括号的情况下,按从

到

的方向,先

,再

.有括号要按先

,再

,最后

的顺序.混合运算后的结果分子、分母要进行

,注意最后的结果要是最简分式或整式.分子或分母的系数是负数时,要把“-”提到分式本身的前面.

检查后,教师强调说明:分式的加、减、乘、除混合运算注意以下几点:

(1)一般按分式的运算法则进行计算,但恰当地使用运算律会使运算简便;

(2)注意分子、分母可以进行因式分解的,要先分解因式,避免约分或通分时运算繁琐;

(3)注意“添括号”或“去括号”有时要变号;

(4)结果要化为最简分式.

[设计意图]

通过类比分数的混合运算,引出分式的混合运算,使学生自然过渡到新知识的学习中.

[过渡语]

要真正理解分式混合运算的法则,不能只是纸上谈兵,我们实际演练一下吧.

一、例题讲解

(教材例5)计算:

(1)+;

(2)-x+1;

(3)+-.

〔解析〕

这三道题涵盖了分母是多项式的要先分解因式,再通分.这是本节课所要达到的能力目标之一,同时又能巩固学生对异分母的分式加减运算的能力,应该认真讲解.

解:(1)+=+=+==.

(2)-x+1=-(x-1)=-==.

(3)+-=+-==.

[设计意图]

讲解时应该侧重于培养学生有先分解因式再找公分母的意识,注意通分后分子的变化,再次提醒学生要添加括号.第(2)小题讲解时应该注重对整体思想方法的引导,而不是强硬地灌输,因为逐个通分一样可以解决,可以选择在讲解后再让学生自己试一试,更能体会整体思想带来的效果,或许会有更好的教学效果.

(教材例6)已知=2,求--的值.

〔解析〕

这道例题从一个新的角度来提升分式加减法的运用——求值,也是我们分式运算变形最终的一个落脚点——分式求值,而此类题型在七年级时学生就训练了很多,一般都是直接给出x,y的值,这个例题又从新的角度考查,使学生对代数式的变形能力明显提高.

解:--==.

因为=2,即x=2y,

所以,原式===.

与同伴交流你有几种解法?.

[设计意图]

本题关键是给学生指明两种变形途径解决问题:(1)变已知,即教材中提到的由=2,得x=2y,利用消元法的思想去解决;(2)变所求,即将要求的式子向已知的形式变形.讲解时老师应该点明这两种主导思想且让学生动手练习第二种途径.

二、做一做

根据规划设计,某工程队准备修建一条长1120 m的盲道.由于采用新的施工方式,实际每天修建盲道的长度比原计划增加10 m,从而缩短了工期.假设原计划每天修建盲道x m,那么

(1)原计划修建这条盲道需要多少天?实际修建这条盲道用了多少天?

(2)实际修建这条盲道的工期比原计划缩短了几天?

〔解析〕

本题从生活实际出发,要求学生会用所学习的知识建立数学模型,并解决实际问题.大多数学生对第一问感觉简单,但在第二问时,有些学生弄不清哪个数减哪个数.关键是没把握谁大谁小,总结时可点明:在分子相同的情况下,且都是正数,就看分母,分母越大,分式的值越小;反之,分母越小,分式的值越大.如

>(x>0).因为缩短的天数一定是正数,所以一定用大数减小数.明白这一点对后面的分式方程的学***的帮助.

解:(1)原计划修建这条盲道需要天,实际修建这条盲道用了天.

天.

(2)实际修建这条盲道的工期比原计划缩短了[知识拓展]

1.分式混合运算的技巧

例1

化简·.

〔解析〕

如果直接把括号里面的两个分式进行通分,则显得有点繁琐,如果先把分解,再与括号里的每一项相乘,则会简便很多.

的分子进行因式解:·

=··

=·-=2(x+3)-(x-3)

=2x+6-x+3=x+9.

2.运用整体思想进行计算

例2

计算-2 2.

22〔解析〕

若把括号内的a与b作为两项处理,则显得比较繁琐,而把-a+b作为一个整体进行处理,则要容易得多.

解:-

====----·+

·(a-b)(a+b)

+(a+b)=a+b.

1.异分母的分式加减法法则及通分的注意事项.

2.分式的化简、求值及变形.

3.在应用题中能正确把握分式所表示的实际意义,将更有助于解题.

1.化简:÷的结果是

(

)

A.

B.x-1 C.

D.

解析:÷=÷=×=x-1.故选B.

2.化简:解析:÷÷==

.

÷=1.故填1.

3.化简:·=

.

解析:·=·=-2.故填-2.

4.(株洲中考)先化简,再求值:·,其中x=4.

解:原式=当x=4时,

·=x+2.

原式=x+2=6.

5.计算:(1)÷;

(2)1-÷.

解:(1)÷=÷=÷=×=.

(2)1-÷=1-×=-==.

第3课时

一、例题讲解

二、做一做

一、教材作业

【必做题】

教材第123页随堂练习的1,2题.

【选做题】

教材第124页习题5.6的1,2题.

二、课后作业

【基础巩固】

1.化简A.a-b

22-B.a+b

的结果是

C.a-b

(

)

D.1 (

)

2.若a-b=2ab,则-的值为

A.

B.-

C.-2 D.2 3.已知x≠0,则++等于

(

)

A.

B.

C.

D.

4.(天津中考)若a=,则+的值为

.

5.(梧州中考)计算:-=

.

6.(随州中考)若ab=-1,a+b=2,则+=

.

7.计算:【能力提升】

++.

8.(莱芜中考)先化简,再求值:9.化简:(1)-·;

÷,其中x=-4+.

(2)÷-.

10.已知实数a满足a+4a-8=0,求【拓展探究】

2-·的值.

11.(苏州中考)先化简,再求值:÷,其中x=-1.

12.甲、乙两工程队分别承担一条2 km公路的维修工作,甲队有一半时间每天维修公路x km,另一半时间每天维修公路y km.乙队维修前1 km公路时每天维修x km,维修后1 km公路时,每天维修y km.(x≠y)

(1)求甲、乙两队完成任务需要的时间;(用含x,y的代数式表示)

(2)甲、乙两队哪队先完成任务?

13.(资阳中考)先化简,再求值:【答案与解析】

÷,其中x满足2x-6=0.

1.B(解析:-===a+b.故选B.)

2.C(解析:-=3.D(解析:++-==-++,把a-b=2ab代入,原式=-==-2.故选C.)

.故选D.)

4.(解析:+==,把a=代入,原式=.故填.)

5.0(解析:-=-=0.故填0.)

6.-6(解析:+=+==,把ab=-1,a+b=2代入,原式==-6.故填-6.)

7.解:原式=+-====.

8.解:原式=式=-(-4+)-4=4--4=-÷=·=·=-x-4.当x=-4+时,原.

9.解:(1)-·=-·=-+=1.

(2)÷-=·-=-==1.

10.解:原式==,由a+4a-8=0,得a+4a=8,故原式=22.

11.解:原式=÷=×=,当x=-1时,原式===.

12.解:(1)甲队完成任务需要的时间为2÷所以甲、乙两队完成任务需要的时间分别为=天,(天).乙队完成任务需要的时间为+=天.

(天).(2)-==.∵x≠y,x>0,y>0,∴(x-y)2>0,xy(x+y)>0,∴-(x-y)2<0,∴任务.

13.解:原式<0,即-<0,∴<,∴甲队先完成=÷=÷=×=.∵2x-6=0,∴x=3.当x=3时,原式=.

本节课通过讨论让学生更进一步理解分式加减法的算理,使之容易接受.通过学生演练让老师能更好地发现学生在接受新知识时所遇到的困难和容易犯的错误,有助于及时纠正,应该多采取这种方式.

本节课中实际问题的解决建立在对数学模型、用字母表示数的理解的基础之上,但是有不少学生对此理解不够.

在平时教学中应该时时渗透用数学解决实际问题的思想,增强学生应用数学的意识,使数学思想得到提升.

随堂练习(教材第123页)

1.解:(1)原式=.

(2)原式=-(n-1)=-==.

(3)原式=.

2.解:(1)原式=,当a=时,原式=-.

(2)原式=-,当x=3y时,原式=-.

习题5.6(教材第124页)

1.提示:(1).

(2).

(3).

(4).

2.解:(1)原式=r+1,当r=100时,原式=101.

(2)原式=-3.解:1÷4.解:p-==(h).

(h).

,若m=n,则原式=.

5.解:设杯中原有糖水m g,加入c g糖后,杯中糖水变为(m+c)g,此时糖水中含糖g,即 g,含糖量为÷(m+c)=.因为-==>0,所以>,即含糖量比原来高了.

已知x+=3,求下列各式的值:

(1)x+2;

(2)x+3;

(3).

〔解析〕

观察可知将所求的式子变形,可将已知条件或已经求得的值整体代入,其中第(3)题可先求它的倒数,再将x+2=7直接代入,求值.

解:(1)x+2=-2=3-2=7.

2(2)x+3==3×(7-1)=18.

(3)因为=x+2+1=7+1=8,

所以=.

[学法指导]

这种变形练习,是数学中最常用的,今后在进行一元二次方程和二次函数的学习时,常用变形解决问题,希望把变形原理理解清楚.

(湛江中考)已知P=,Q=,用“+”或“-”连接P,Q共有三种不同的形式:P+Q,P-Q,Q-P,请选择其中一种进行化简求值,其中a=3,b=2.

解:如选P+Q进行计算:

P+Q=+===,

当a=3,b=2时,P+Q=

=5.