数学活动 拼图·公式教学设计范文

数学活动

拼图·公式

一、教学目标：

1.进一步熟悉整式乘法和因式分解；

2.经历从具体问题抽象出数学问题—建立模型—综合运用已有的知识解决问题的过程．

3.通过丰富有趣的拼图活动，经历观察、比较、拼图、计算、推理交流等过程，发展空间观念和有条理地思考和表达的能力，

4.通过拼图与公式的联系加强学生学习数学的兴趣；通过获得成功的体验和克服困难的经历，增进数学学习的信心

二、教学重点：通过拼图活动巩固整式乘法和因式分解的有关知识．

三、教学难点：从具体问题到建立数学模型，通过拼图活动探究一些二次三项式的因式分解．

四、教学过程

（一）导入新课

（1）看一看：回忆七巧板，欣赏下列图形，思考它们有何共同的特点？

学生总结：面积相等，即拼图只改变图形的形状，不改变其大小。第9章的学习内容是整式乘法与因式分解，前面几节课还利用拼图的方法研究了完全平方，平方差等整式乘法的内容. 比如利用现有的四片纸型（如图1）你能否尝试拼出一个正方形呢？

aa

ab

CBbaCA

Aa

abCbb

bCB

图1 图2

老师这里给出了三种类型的卡片：一个边长为a的正方形，一个边长为b的正方形，一个长为a，宽为b的长方形纸片.

每位同学尝试拼图，请一位同学上黑板拼（如图2）

请同学展示面积的两种表示方法，可得：(a+b)=a+2ab+b这也就展示了完全平方公式计算的过程.也具象化的推翻了同学们常见的误区，认为(a+b)=a+b

222222

这个式子如果反过来看，得到另一个式子a2+2ab+b2=(a+b)2,也就描绘出了用完全平方和因式分解的过程.其实这个过程还可以反过来看，，从而可知，因式分解与整式乘法其实是一个互逆的过程. 我们发现小拼图有大作用，今天这节课我们继续通过拼图游戏去探究数学中的问题。所以我们今天要研究的主题是：拼图.公式.

（二）实践活动

活动一：拼固定长和宽的长方形

a

b

a

b

分别选取A型，B型，C型三种纸片若干张，尝试拼成一个长、宽分别为a + 2b

、a + b的长方形.

aa

a

aaaaaa

aaa

bbbbbbbbb

图3

学生们拼出了多种方案，教师一一验证，但是不论怎么拼，它们都有一个怎样的共同点呢？

学生可能的回答：它们所用的卡片数量是一样的.都是用了一张A型纸片，两张B型纸片以及3张C型纸片. 师：你知道其中的原因吗？

ACCCACCCACCBBBCBBB学生可能的回答：因为(a+2b)(a+b)=a+3ab+2b由最后得到的多项式可以看出来卡片的数量是固定的.

活动二：拼固定面积的长方形

分别选取A型，B型，C型三种纸片若干张，尝试拼成一个长方形，思考能否得到体现因式分解过程的等式？如果可以，写出来. 22

a

b

b

师：从题目的信息中你能找到突破口吗？拼图该从何处下手？

学生回答：由系数我们可以看出来，取2张A型纸片，3张B型纸片以及5张C型纸片. 师：那请大家动手来试试，看看如何拼出图形. 学生可能拼出的图形：如图4所示（可能图形内部结构有差异，但所得长方形的长和宽是固定的）

aa

aaCC

aaACACbbBb图4 bB

你能尝试来写一写面积的另一种表示方法吗？不难得到：2a2+5ab+2b2=(2a+3b)(a+b)

观察这个等式，从数的变形角度思考，这是对代数式进行了什么处理？因式分解。

【师】（板书）部分的二次三项式

拼图

因式分解。

这就是用拼图将一个二次三项式因式分解了，在因式分解学习的过程中很多同学觉得非常困难，究其原因，本质上还是因为它们都太过于抽象了，而拼图法恰好将抽象的代数问题具体化了，是值得借鉴的方法之一.

活动三：能不能拼？

分别选取A型，B型，C型三种纸片若干张，尝试拼成一个面积为a2 + 3ab + b2

长方形.

a

a

b

b

通过反复尝试发现，无法拼成一个长方形，总是多了或缺少一些卡片，因此我们得出结论，不是所有的多项式都能进行因式分解. 师：你能否增加或减少一张卡片，使得它们能拼成一个长方形呢？也就意味着使更改后的多项式能够能因式分解，并写出因式分解的过程. 学生可能的回答：（所拼图形如图5）

222

a+2ab+b=(a+b)(1)减去一张卡片C，即2a(2)减去一张卡片B，即+3ab=a(a+3b)

22a+3ab+2b=(a+b)(a+2b)

(3)增加一张卡片B，即(4)增加一张卡片A，即2a+3ab+b=(2a+b)(a+b)

23ab+b=b(3a+b)

(5)减去一张卡片A，即22

b

aBAaabaaACaCaCaCAaaCaCCbbbbbbbCBbbB(1) a(2) a(3) AaaCAababab(5) CCCbbaBbCBbC(4)

（三）典型例题

1.试从1、2、3、4这四个数中选取适当的数填入a2+___ab+__b2横线上（可重复），使所得的二次三项式能够因式分解. 试用拼图的方法写出因式分解的等式. 小组合作完成，看谁拼的又多又好.学生可能拼出的情形：

（1）a2 + 2ab + b2

（2）a2 + 3ab + 2b2（3）a2 + 4ab + 3b2

（4）a2 + 4ab + 4b2

不拼图，你能利用整式乘法和因式分解的互逆性，我们能很快找到首尾系数的关联，从而迅速找出长方形的长和宽.例如，已知一个长方形面积为a2 + 6ab + 5b2，你能迅速说出它的长和宽吗？

2.已知二次三项式a2+___ab+6b2试在横线上填入合适的数，使其能够因式分解，并直接写出因式分解等式.

所以一共有四种情形，而此方法也是我们因式分解的另一种因式分解的方法——十字相乘法.

（四）课堂延伸

给你两个边长分别为

a、b、c

的直角三角形和一个两条直角边都是c的直角三角形

问题1：

能否拼成一个梯形？（无缝隙，不重叠）. 问题2：

试用不同的方法计算这个图形的面积，你能得出什么等式？把等式化简，你有何发现？

（五）课堂小结

今天这节课我们将整式乘法与因式分解的过程与拼图相结合，通过不断尝试探索，感受了两者的互逆过程，并从中找到了一种新方法，但通过拼图导出公式也有局限性，还需从代数运算的角度来进一步认识这些等式.

（六）课后思考题

1.分别选取适当数量的A型、B型、C型三种纸片，如果允许覆盖，你能拼出边长分别为

a+2b、a-2b

的长方形吗？

a

b

a

b

A型纸片

B型纸片

C型纸片

b

a

2.请用两种不同的方法列代数式表示图中小正方形的面积．

(1)方法①：_________________ ；方法②：_____________________ ；

(2)请利用图形的面积写出

(a+b)2、(a-b)2、ab

三者之间的关系. (3)当a+b=4,ab=3时，求a-b的值.

板书：

1.拼图不改变图形的面积

互逆

2.整式的乘法----------因式分解

拼图

3.特殊的二次三项式----------因式分解

a+(m+n)ab+mnb=(a+mb)(a+nb)22