用二元一次方程解决几何问题优质课教学设计

课题名称：二元一次方程应用题

一、学习目标 1、掌握二元一次方程的解题步骤；

2、了解多种应用题常见题型的解题方法。

二、教学过程

(一)知识梳理

列方程解应用题的基本关系量：

（1）

行程问题：速度×时间=路程 顺水速度=静水速度+水流速度 逆水速度=静水速度—水流速度

（2）

工程问题：工作效率×工作时间=工作量

（3）

浓度问题：溶液×浓度=溶质

（4）

银行利率问题：免税利息=本金×利率×时间

二元一次方程组解决实际问题的基本步骤：

1、

审题，搞清已知量和待求量，分析数量关系. （

审题，寻找等量关系）

2、

考虑如何根据等量关系设元，列出方程组．

（设未知数，列方程组）

3、列出方程组并求解，得到答案． （解方程组）

4、检查和反思解题过程，检验答案的正确性以及是否符合题意．

（检验,答）

列方程组解应用题的常见题型：

（1）

和差倍总分问题：较大量=较小量+多余量，总量=倍数×倍量

（2）

产品配套问题：加工总量成比例

（3）

速度问题：速度×时间=路程

（4）

航速问题：此类问题分为水中航速和风中航速两类

1．

顺流（风）：航速=静水（无风）中的速度+水（风）速

2．

逆流（风）：航速=静水（无风）中的速度--水（风）速

（5）

工程问题：工作量=工作效率×工作时间

一般分为两种，一种是一般的工程问题；另一种是工作总量是单位一的工程问题

（6）

增长率问题：原量×（1＋增长率）=增长后的量，原量×（1＋减少率）=减少后的量

（7）

浓度问题：溶液×浓度=溶质

（8）

银行利率问题：免税利息=本金×利率×时间，税后利息=本金×利率×时间—本金×利率×时间×税率

（9）

利润问题：利润=售价—进价，利润率=（售价—进价）÷进价×100% （10）

盈亏问题：关键从盈（过剩）、亏（不足）两个角度把握事物的总量

（11）

数字问题：首先要正确掌握自然数、奇数偶数等有关的概念、特征及其表示

（12）

几何问题：必须掌握几何图形的性质、周长、面积等计算公式

（13）

年龄问题：抓住人与人的岁数是同时增长的

【范例讲解】

（分配调运问题）某校师生到甲、乙两个工厂参加劳动，如果从甲厂抽9人到乙厂，则两厂的人数相同；如果从乙厂抽5人到甲厂，则甲厂的人数是乙厂的2倍，到两个工厂的人数各是多少？

解：设到甲工厂的人数为x人，到乙工厂的人数为y人

题中的两个相等关系：

1、抽9人后到甲工厂的人数=到乙工厂的人数 可列方程为：x-9= 2、抽5人后到甲工厂的人数= 可列方程为： （金融分配问题）小华买了10分与20分的邮票共16枚，花了2元5角，问10分与20分的邮票各买了多小？ 解；设共买x枚10分邮票，y枚20分邮票

题中的两个相等关系： 1、10分邮票的枚数+20分邮票的枚数=总枚数

可列方程为： 2、10分邮票的总价+ =全部邮票的总价

可列方程为：10X+ = （做工分配问题）小兰在玩具工厂劳动，做4个小狗、7个小汽车用去3小时42分，做5个小狗、6个小汽车用去3小时37分，平均做1个小狗、1个小汽车各用多少时间？

题中的两个相等关系：

1、做4个小狗的时间+ =3时42分

可列方程为： 2、 +做6个小汽车的时间=3时37分

可列方程为： （行程问题）甲、乙二人相距6km，二人同向而行，甲3小时可追上乙；相向而行，1小时相遇。二人的平均速度各是多少？ 解：设甲每小时走x千米，乙每小时走y千米

题中的两个相等关系：

1、同向而行：甲的路程=乙的路程+ 可列方程为： 2、相向而行：甲的路程+ = 可列方程为： （倍数问题）某市现有42万人口，计划一年后城镇人口增加0.8％，农村人口增加1.1％,这样全市人口将增加1％，求这个市现在的城镇人口与农村人口？

解：这个市现在的城镇人口有x万人，农村人口有y万人

题中的两个相等关系：

1、现在城镇人口+ =现在全市总人口

可列方程为： 2、明年增加后的城镇人口+ =明年全市总人口

可列方程为：（1+0.8％）x+ = （分配问题）某幼儿园分萍果，若每人3个，则剩2个，若每人4个，则有一个少1个，问幼儿园有几个小朋友？

解：设幼儿园有x个小朋友，萍果有y个

题中的两个相等关系：

1、萍果总数=每人分3个+ 可列方程为： 2、萍果总数= 可列方程为： （浓度分配问题）要配浓度是45%的盐水12千克，现有10%的盐水与85%的盐水，这两种盐水各需多少？

解：设含盐10%的盐水有x千克，含盐85%的盐水有y千克。 题中的两个相等关系

：

1、含盐10%的盐水中盐的重量+含盐85%的盐水中盐的重量= 可列方程为：10%x+ = 2、含盐10%的盐水重量+含盐85%的盐水重量= 可列方程为：x+y= （金融分配问题）需要用多少每千克售4.2元的糖果才能与每千克售3.4元的糖果混合成每千克售3.6元的杂拌糖200千克？解：设每千克售4.2元的糖果为x千克，每千克售3.4元的糖果为y千克

题中的两个相等关系

：

1、每千克售4.2元的糖果销售总价+ = 可列方程为： 2、每千克售4.2元的糖果重量+ = 可列方程为： （几何分配问题）如图：用8块相同的长方形拼成一个宽为48厘米的大长方形，每块小长方形的长和宽分别是多少？

解：设小长方形的长是x厘米，宽是y厘米

题中的两个相等关系

：

1、小长方形的长+ =大长方形的宽 可列方程为： 2、小长方形的长= 可列方程为： （材料分配问题）一张桌子由桌面和四条脚组成，1立方米的木材可制成桌面50张或制作桌脚300条，现有5立方米的木材，问应如何分配木材，可以使桌面和桌脚配套？

解：设有 题中的两个相等关系

：1、制作桌面的木材+ = 可列方程为： 2、所有桌面的总数：所有桌脚的总数= 可列方程为： （和差倍问题）一个两位数，十位上的数字比个位上的数字大5，如果把十位上的数字与个位上的数字交换位置，那么得到的新两位数比原来的两位数的一半还少9，求这个两位数？

=题中的两个相等关系：

1、个位数字= -5 可列方程为： 2、新两位数= 可列方程为： （分配调运）一批货物要运往某地，货主准备租用汽运公司的甲、乙两种货车，已知过去租用这两种汽车运货的情况如左表所示，现租用该公司5辆甲种货车和6辆乙种货车，一次刚好运完这批货物，问这批货物有多少吨？

解：设

题中的两个相等关系：

1、第一次：甲货车运的货物重量+ =36 可列方程为： 2、第二次：甲货车运的货物重量+ =26 可列方程为： 【变式训练】

1、班上有男女同学32人，女生人数的一半比男生总数少10人，若设男生人数为x人，女生人数为y人，则可列方程组为 2、甲乙两数的和为10，其差为2，若设甲数为x，乙数为y，则可列方程组为

3、已知方程y=kx+b的两组解是x1,x,1则k= b= y2;y0.4某工厂现在年产值是150万元，如果每增加1000元的投资一年可增加2500元的产值，设新增加的投资额为x万元，总产值为y万元，那么x,y所满足的方程为 5、学校购买35张电影票共用250元，其中甲种票每张8元，乙种票每张6元，设甲种票x张，乙种票y张，则列方程组 ，方程组的解是 6、一根木棒长8米，分成两段，其中一段比另一段长1米，求这两段的长时，设其中一段为x米，另一段为y，那么列的二元一次方程组为 7、一个矩形周长为20cm，且长比宽大2cm，则矩形的长为 cm，宽为 cm 8、某校运动员分组训练，若每组7人，余3人；若每组8人，则缺5人；设运动员人数为x人，组数为y组，则列方程组为

（

）

9、一只轮船顺水速度为40千米/时,逆水速度为26千米/时,则船在静水的速度是

_______ ,水流速度是 ____. 10、一辆汽车从A地出发,向东行驶,途中要过一座桥,使用相同的时间,如果车速是每小时60千米,就能越过桥2千米;如果车速是每小时50千米,就差3千米才能到桥,则A地与桥相距 _____千米,用了

小时.(考虑问题时,桥视为一点)

（和差倍问题）学校的篮球比足球数的2倍少3个，篮球数与足球数的比为3：2，求这两种球队各是多少个？

运往灾区的两批货物，第一批共480吨，用8节火车车厢和20辆汽车正好装完；第二批共运524吨，用10节火车车厢和6辆汽车正好装完，求每节火车车厢和每辆汽车平均各装多少吨？

购买甲种图书10本和乙种图书16本共付款410元,甲种图书比乙种图书每本贵15元,问甲,乙两种图书每本各买多少元？ 某班同学去18千米的北山郊游.只有一辆汽车,需分两组,甲组先乘车,乙组步行.车行至A处,甲组下车步行,汽车返回接乙组,最后两组同时达到北山站.已知汽车速度是60千米/时,步行速度是4千米/时,求A点距北山站的距离.

（三）例题分析

鸡兔同笼问题（1）

【例】今有鸡兔同笼，数头35个，数腿94条，问鸡、兔各有多少只？

分析：两个相等关系：①鸡头＋兔头＝总头数；②鸡腿＋兔腿＝总腿数。

解：设鸡有x只，兔有y只。

由题意可列方程组  35x

解得

 94y 

答：鸡有

只，兔有

只。

1、野鸡和兔子共有39只，它们的腿共有100条，求野鸡和兔子各有多少只。

2、已知板凳和木马共有33个，腿共有101条。板凳和木马各有多少个？（注：板凳4条腿，木马3条腿）

鸡兔同笼问题（2）

1、某校150名学生参加数学考试，平均每人55分，其中及格的学生人均77分，不及格的学生人均47分。及格、不及格的学生各有多少人？

2、一队敌军一队狗，两队并成一队走；脑袋共有八十个，数腿却有二百条；请君仔细算一算，多少敌军多少狗？

分配问题（1）

【例】栖树一群鸦，鸦树不知数；三只坐一棵，五只没去处；五只栖一棵，闲了一棵树；请你列式算，鸦树各几何？

分析：两个等量关系：①3树的棵数＋5＝乌鸦的只数；②5（树的棵数－1）＝乌鸦的只数。

解：设乌鸦有x只，树有y棵。

3  xx

由题意可列方程组

解得

5(  )xy 答：乌鸦有

只，树有

棵。

1、某单位召开会议，安排参加会议人员住宿，若每间宿舍住12人，便有34人没有住处；若每间住14人便多处4间宿舍没人住。求参加会议的人数和宿舍数。

分析：两个相等关系：①

；②

。

2、将若干只鸡放入若干个笼子中，若每个笼子放4只，则有1只鸡无笼可放；若每个笼子放5只鸡，则有1笼无鸡可放，试问有多少只鸡，多少个笼子？

分配问题（2）

1、一组学生用一条绳子测一块的长，量12次，还余80 m没有量，量14次，超出地段20 m，求绳长和地段长。

2、在一条马路旁种树，每隔3米种一棵，到头还剩3棵树；每隔2.5米种一棵，到头还缺77棵树。问马路有多长？树有多少棵？

调配问题

【例】甲乙隔河放牧羊，两人相互问数量；甲说得乙羊九只，我羊是你羊二倍；乙说得甲羊八只。两人羊数正相当。请你帮忙算一算，甲乙各放多少羊？

分析：两个等量关系：（1）甲羊数＋9＝2×（乙羊数－9）；（2）乙羊数＋8＝甲羊数－8

解：设甲放羊x只，乙放羊y只。

x x92y9

由题意可列方程组

解得：

y y8x8

答：甲放羊

只，乙放羊

只。

1、甲、乙两盒中各放着一些球，一共有9个，如果从甲盒中拿出5个放入乙盒，乙盒的球数是甲盒的2倍。问甲、乙两盒中原来各放着多少个球？

2、某工厂第一车间人数比第二车间人数的人数是第二车间人数

4少30人，若从第二车间调10人到第一车间，则第一车间的53，求各车间的人数。

4

配套问题

【例】某车间有28名工人，加工生产一种螺栓和螺母，每人每天生产螺栓12个或螺母18个，应分配多少人生产螺栓，多少人生产螺母，才能使生产的螺栓和螺母刚好配套（1个螺栓要配2个螺母）。

分析：两个等量关系：（1）加工螺栓的人数＋加工螺母的人数＝28；

（2）螺母数＝2倍的螺栓数。

解：设加工螺栓的有x人，生产螺母的有y人。

由题意可列方程组x 

解得：

y 答：加工螺栓的有

人，生产螺母的有

人。

1、一个工人一天能生产100值螺栓或150只螺帽，一只螺栓要与2只螺帽配套，若有工人42名，问怎样分配，才能使每天生产的螺栓和螺帽刚好配套？

2、八年级A班同学50人，为参加学校举办的迎国庆文艺活动，做一批道具，每人每天平均做花18朵，面具16个，如果一个面具配两朵花，应分配多少学生做面具，多少学生做花，才能使面具和花刚好配套？

年龄问题

【例】学生问老师：“您今年多大？”老师风趣地说：“我像你这样大时，你才满周岁；你到我这样大时，我已经37岁了。”老师和学生的年龄各是多少？

分析：两个等量关系：（1）老师的年龄－两人的年龄差＝1；（2）学生的年龄＋两人的年龄差＝37。

解：设老师的年龄为x岁，学生的年龄为y岁。

由题意可列方程组x 

解得：

y  答：老师的年龄为

岁，学生的年龄为

岁。

1、甲对乙说：“当我的岁数是你现在的岁数时，你才4岁。”乙对甲说：“当我的岁数是你现在的岁数时，你将61岁。”问甲、乙各多少岁？

2、10年前，小兰妈妈的年龄是小兰年龄的3倍；10年后，妈妈的年龄是小兰年龄的2倍，问小兰和妈妈现在的年龄各是多少岁？