反证法教学评价实录

反证法

教学目标：

1、知识与能力：

（1）、通过实例，体会反证法的含义

（2）、培养学生用反证法简单推理的技能，从而发展学生的思维能力.

2、过程与方法：

（1）、了解反证法的基本步骤，会用反证法证明简单的命题.

（2）、使学生初步掌握反证法的概念及反证法证题的基本方法.

3、情感、态度、价值观：

在观察、操作、推理等探索过程中，体验数学活动充满探索性和创造性. 教学重点：

体会反证法证明命题的思路方法，掌握反证法证题的步骤。

教学难点：

理解反证法的推理依据及方法，用反证法证明简单的命题是教学难点. 教学方法：

讲练结合教学. 教学过程：

提问：

师：通过预习我们知道反证法，什么叫做反证法？

生：从命题结论的反面出发，引出矛盾，从而证明原命题成立，这样的证明方法叫做反证法.

师：本节将进一步研究反证法证题的方法，反证法证题的步骤是什么？

生：共分三步：

（1）假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立；

（2）从假设出发，经过推理，得出矛盾；

（3）由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确.

师：反证法是一种间接证明命题的基本方法。在证明一个数学命题时，如果运用直接证明法比较困难或难以证明时，可运用反证法进行证明。

例如：在△ABC中，AB=c，BC=a，AC=b,如果∠C=90°，a、b、c三边有何关系？为什么？

解析：由∠C=90°可知是直角三角形，根据勾股定理可知

+

=

探究问题：

若将上面的条件改为“在△ABC中，AB=c，BC=a，

AC=b,∠C≠90°”，请问结论

+

≠

成立吗？

请说明理由。

探究：

假设

+

=

，由勾股定理可知三角形ABC是直角三角形，且∠C=90°，这与已知条件∠C≠90°矛盾。假设不成立，从而说明原结论

+

≠

成立。

这种证明方法与前面的证明方法不同，它是首先假设结论的反面成立，然后经过正确的；逻辑推理得出与已知、定理、公理矛盾的结论，从而得到原结论的正确。象这样的证明方法叫做反证法。

应用新知

例１：在△ABC中，AB≠AC,求证：∠B ≠

∠

C 证明：假设，∠B ＝

∠C

则AB＝AC

这与已知AB≠AC矛盾．

2

假设不成立．

∴∠B ≠

∠

C

小结：

反证法的步骤：假设结论的反面成立→逻辑推理得出矛盾→肯定原结论正确

例2、已知：如图有a、b、c三条直线，且a//c,b//c. 求证：a//b

证明：假设a与b不平行，则可设它们相交于点A。那么过点A 就有两条直线a、b与直线c平行，这与“过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行矛盾,假设不成立。

∴a//b.

小结：根据假设推出结论除了可以与已知条件矛盾以外，还可以与我们学过的定理、公理矛盾

例3

求证：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°。

已知：△ABC ,

求

证：△ABC中至少有一个内角小于或等于60°

证明：

假设△ABC中没有一个内角小于或等于60°

则∠A>60°,∠B>60°,∠C>60°

∴∠A+∠B+∠C>60°+60°+60°=180°

即∠A+∠B+∠C>180°

这与三角形的内角和为180度矛盾．假设不成立．

∴△ABC中至少有一个内角小于或等于60°

例4．试证明：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也平行.（学生完成，教师引导）

已知：

；

求证：

；

证明：假设

，则可设它们相交于点A。那么过点A 就有

条直线与直线c平行，这与“过直线外一点

”矛盾,则假设不成立。

∴

。

课堂练习：

1、求证：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°

2、求证两条直线相交只有一个交点.

3、试证明：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也平行.

4、求证：在一个三角形中，如果两个角不等，那么他们所对的边也不等.

5、求证：一个五边形不可能有4个内角为锐角.

6、

“a

）

A．a≠b

B．a>b

C．a=b

D．a=b或a>b

7、用反证法证明“若a⊥c，b⊥c，则a∥b”时，应假设（

）

A．a不垂直于c

B．a，b都不垂直于c

C．a⊥b

D．a与b相交

8、用反证法证明命题“在一个三角形中，如果两条边不相等，那么它们所对的角也不相等”时，应假设___________．

9、用反证法证明“若│a│<2，则a<4”时，应假设__________．

10、请说出下列结论的反面:（1）d是正数;

（2）a≥0;

（3）a<5．

11、如下左图，直线AB，CD相交，求证：AB，CD只有一个交点．

证明：假设AB，CD相交于两个交点O与O′，那么过O，O′两点就有_____条直线，这与“过两点_______”矛盾，所以假设不成立，则________．

小结：

1、哪些证明题适合用反证法：2、反证法的证明思想：3、反证法的证明步骤。

教学反思：1、学生对反证法是否真正理解：2、学生对反证法是否能够较熟练的应运.