⊙ 生活中的“一次模型”精品学案

综合与实践

生活中的“一次模型”

沈阳市苏家屯区白清九年一贯制学校 陈超

一、学情分析

到目前为止，学生已经学习了一元一次不等式、一元一次方程与一次函数，积累了一定的知识基础和活动经验，也发现了它们彼此之间的联系，初步感受到这三个基本数学模型的广泛应用。

但是，由于学生习惯于解决已给定的具体问题，见到这样一个较为宽泛的课题，可能无法确定所要研究的对象，或者虽然确定了问题情境，但各个量之间的关系较为复杂，因此不能按照课题的要求理出解题方案。

二、教材分析

本课题是以探索一元一次不等式与一元一次方程、一次函数的综合应用为主题的实践活动，一方面可以使学生体会一元一次不等式与一元一次方程、一次函数之间的内在联系，初步形成对数学知识系统性的认识，发展学生的概括能力、数学研究能力；另一方面通过调查活动使学生充分认识数学知识在现实生活中的广泛应用，激发学生的学习兴趣，引发学生的数学思考，发展学生的数学抽象能力，综合应用数学的能力，做到在学数学的同时自觉的用数学。

相比前面的课题学习而言，本课是自主活动类型的课题学习,以一种新的形式呈现，任务的给出比较宽泛，没有给定的背景，没有具体的安排，只是给出了一个原始的问题，规定了一个大的方向：要求将一元一次方程、一元一次不等式和一次函数集中融入一个问题情境，至于说具体研究哪些问题、如何研究等完全由学生自主选择，因而，保证了学生学习的自主性、选择性和学习结论的开放性，给学生提供了发现问题，提出问题的机会，进一步发展学生的应用意识和创新意识。因此，本节课的教学目标定为：

⒈经历用数学的眼光发现现实生活中的数学问题，尝试提出问题，并加以解决的全过程，体会模型思想，发展应用意识，提高实践能力，了解数学的价值。

⒉综合运用一元一次不等式与一元一次方程、一次函数的相关知识解决问题，体会三者之间的内在联系。

⒊会反思参与活动的全过程，将研究的过程和结果形成报告，并能进行交流，进一步积累数学活动经验。

三、教学过程分析

在教学过程中安排一课时。

首先是前期工作，让学生利用课余时间复习一元一次不等式、一元一次方程与一次函数的知识点，并布置作业，让学生举例说明生活中常见的用一元一次方程（组）或一次函数或一元一次不等式（组）相关知识解决的实际问题。具体要求如下：1.分小组在班上交流调查方案，并对每个方案进行评价提出修改建议。2.组内完善方案。利用课余时间进行调查，完成调查报告。

其次课堂上的安排，引领学生回顾总结，发现应用一元一次不等式、一元一次方程与一次函数解决的一些实际问题，在此基础上，学生依据不同的学习背景选择问题情境，小组讨论确定研究主题，拟定解决问题的方案，研究分析需要获取的有效数据。具体教学过程如下：

分为以下五个环节：第一环节：课前展示，引出新课；第二环节：合作探究，学习新知;第三环节：小组展示，研究问题；第四环节：交流评价，收获成果。第五环节：分层作业，巩固提高。重难点都在第三环节中体现出来。以小组为单位进行交流展示。重点展示研究调查过程和结果概述；第四环节小组互评，选出优秀课题和优秀调查报告。从交代问题情境、数据的来源、建立何等模型、求解过程、相关解释及应用几个方面对调查报告进行评价。

设计意图：

考虑到这样形式的课题学生还是第一次做，所以，在正文中明确的提出两点要求，作为“扶手”：一是对学生拟定方案环节做了方向的指导；二是对汇报交流的报告做了必要的内容要求。这样可以让学生在做课题时，目的性更明确，不至于“走偏”。

通过课堂上的小组汇报，教师、同伴的交流与评价，学生反思自己的调查过程与研究结果并进一步修正与完善，提交课题活动感想。

教学过程展示：

第一环节：课前展示，引出新课。

复习提问基本模型

1.一元一次方程的基本模型：________________________ 2.一元一次不等式的基本模型：______________________ 3.一次函数的基本模型：____________________________ 出示学习任务

举例说明生活中常见的用一元一次方程（组）或一次函数或一元一次不等式（组）相关知识解决的实际问题。1.分小组在班上交流调查方案，并对每个方案进行评价提出修改建议。2.组内完善方案。利用课余时间进行调查，完成调查报告。

设计意图：

在问题的求解过程中，教师引导学生切身体会并探究三者之间的内在联系，为后续建立数学模型并求解实际问题奠定基础。

第二环节：合作探究，学习新知; 提出具体问题：你们准备研究的主题是什么？具体问题是什么？研究的方案是什么？

设计意图：明确目标，有的放矢。

第三环节：小组展示，研究问题（学生课前准备好后整理的材料如下）

材料一 话费套餐选取问题

张馨匀：伴着人类电子行业的迅速发展，手机的用途越来越广，越来越被我们青睐，因此话费问题也经常会被纳入家庭经济核算.如今的话费收取种类众多，如何选取最适合自己的一套方案也被人们所重视.我们小组就对话费套餐的选取这方面进行研究与调查.下面由我的小组成员一起给大家带来三段表演：

（场景一）老年人的话费套餐选择

马子轩：今年老汉我78，耳不聋眼不花。今天天气真正好，溜溜达达身体好呀！唉，我这女儿真是孝顺，说我总出去溜达带个手机方便。这不前几天新给我买了个老年机，整个月租28元的套餐，我感觉不合适，我今天正好自己去问问，看看有没有更合适的套餐。

宫思宇：你好，有什么我可以帮到你的吗？

马子轩：姑娘啊，我这平时也不怎么打电话，就是接听我女儿和儿子的电话，再跟我小孙子，外孙女聊聊天。你看我选择什么样的套餐合适？

宫思宇：大爷你平时用手机上网吗？，每月通话时间大约多少？

马子轩：我不上网，那都是年轻人的事，我不会。通话主要是接的多，打的少也就四五十分钟。

宫思宇：根据大爷你说的这种情况，建议你买月租8元的套餐，这个套餐中赠送30分钟的通话时间。这样你一个月按50分钟通话时长算，话费是8+（50-30）*0.25=13元。

马子轩：谢谢姑娘，真好，这次我没白来，我就要这个套餐了，这样每个月我可以省15元了。再见。

（场景二）时尚年轻人的话费套餐选择

王美琳：（正在家里沙发看快手直播呢）（一拍大腿）咦，下个月要和我闺蜜出去旅游，这家里有wlan上网，出去也没有，手机套餐里赠送这点流量也不够用呀？我得打10086人工咨询一下。（拨打10086后，等待电话接通）

宫思宇：您好，很高兴为您服务。

王美琳：你好，我打算下个月出去旅游，想选择一种流量多，费用便宜点的套餐。你看有合适的吗？

宫思宇：你每月通话时间是多少？你现在用的是什么套餐？

王美琳：每月大约通话时间是100分钟，现在用月租58元的套餐。

宫思宇：58元套餐赠送100分钟通话，500MB的流量。通话时间可以满足你的需求，但流量是肯定不够用了，现在我们公司推出了一种适合对流量需求量大的套餐。大王卡，月租20元，赠送30G的流量，通话每分钟收费0.3元。建议你在原有套餐的基础上再办一张这个卡。

王美琳：那挺好，我就办这个卡。谢谢

（场景三）社会精英对话费套餐的选择

王昊：老板你真厉害，这次签约又给我们公司带来一笔可观的收益呀！这刚下飞机，就得回公司看看之前谈的另一个项目。老板你得注意休息呀！

蔺子涛：“小马，你说的对，健康第一。”

（铃声响起）

王昊：“喂，王总。您稍等。”（电话递给蔺子涛）“老板，王总打来的电话。”

蔺子涛：

“喂，老王呀，我这刚下飞机，你这电话就打进来了。什么事呀？（停顿一会）你说那个项目呀，（停顿）嗯…（停顿）嗯，昨天我跟那个公司老总电话里沟通半个多小时，条件都谈的差不多了。现在，我正往公司那面赶呢。一会到公司在视频会议中细聊吧。”（把电话递给王昊）

王昊：(打电话)“小杨，安排1小时后公司项目相关人员进行视频会议。”“老板，视频会议已经安排好，你先在车里休息一会养养神。 蔺子涛：“好！”

张馨匀：感谢我们小组成员的表演。大家感受到了不同的消费群体在选择话费套餐时的需求了吧。我们组针对蔺子涛和马子轩两名同学演的这个场景提出了一个问题。场景三中的老板通话时间比较长，假设他一个月通话时间在1000~2000分钟，需要流量2G。我们一起来看看他适合选择什么样的套餐？（微课讲解

）

材料二 探索商场促销现象 肖宇谣：

前两天母亲节，想去商场买个礼物送给妈妈。发现商场很多牌子都在打折的,在各种以打折名义进行的促销活动中，如何选择最实惠的商品是大多数人常常面临的问题。于是我提议以商场促销现象为题目展开了调查。大家积极响应。

闫旭：我发现一个问题，五一期间我想买一双早就看好了的运动鞋，感觉会比平时便宜一些，但是我到店里之后发现，虽然店里有打折活动，但是比我平时看到的还贵了一点点。

边宇航：我猜测商家借着五一搞活动，买东西人多，他们也许钻了点空子。真是无奸不商呀。

赵诗博：我调查学校附近某一文具店卖毛笔和书法练习本的促销方式，通过列出相应的方程、函数或不等关系并作出分析，用这个结论，来指导周围的人要理性消费。大家一起来看一下这道题。

文具店的毛笔每支售价25元.书法练习本每本售价5元，该文具店为促销定了两种优惠方法：甲：买一支毛笔就赠送一本书法练习本；乙：按购买金额打九折付款。某校欲为校书法兴趣小组购买这种毛笔10支，书法练习本X（X≥10）

（1）写出每种优惠方法付款金额Y甲（元）和Y乙（元）与X（本）之间的函数解析式。

（2）比较购买同样多的书法练习本时，按那种优惠方法付款更省钱。

肖宇谣组同学进行讲解。

材料三：探索出租车如何计价

赵冰玉：前两天上学我把作业落在家里了，通知我的爸爸他打车到学校给我送作业本，晚上回家无意间问了一下打车花了多少钱，他说20元。我家离学校不远，他们不用计价器收费，感觉这样的收费不合理，太贵了。于是我和我的小组成员研究决定，以研究出租车如何计价作为我们的研究主题。大家展开了调查。现在我们一起看看大家的调查情况。

薄宇涵：

我调查发现，出租车的收费标准通常根以下几点有关：

1.日间出租车价与里程数之间的函数关系；

2.夜间出租车价与里程数之间的函数关系；

3.当遇到红灯或堵车时的计价情况等。

樊蓉：我上网查到了辽宁省各市出租车的收费标准如图所示

我特殊关注了沈阳出租车的正常计费标准为，日间，8元起步3公里，超出600米加收1元。夜间，10点以后

到早晨6点以前

9元起步。实行时距并进以后，出租车等时每超过3分钟收费1元。也就是，正常收费再加等时收费为打车所收费用总和。

姚欣莹：

集合小组收集的材料，我们小组对出租车的收费标准有一个设想。

出租车的收费标准如下：并根据我们的设想编写了一道***家一起来研究一下吧。

里程

收费

3千米及3千米以下

8.00 3千米以上，单程，每增加1千米（不够1千米按1千米算）

1.20 3千米以上，往返，每增加1千米（不够1千米按1千米算）

0.80 （1）一天小文到学校后发现数学书落在家里了，她打电话让妈妈把书送到离家5千米的学校来。妈妈到学校后送完书立即返回家中。她应该怎样坐车比较合算？需付出租车车费多少元？

（2）周末小文乘出租车从家到外婆家，共付费22.4元，小文家与外婆家相距多少千米？

赵冰玉组同学讲解

材料四 家庭用电成本问题

郎皓博：

前两天课间的时候我们小组还在讨论数学活动时，教室里突然停电了，我们那天的大课间停上了，下节课的时候老师没能用课件给我们上课。后来我们组决定用家庭用电成本来作为我们的活动主题。主题确定好之后，大家都回家收集材料，之后我们小组聚集到一起进行整理分析，现在我们一起来看看调查内容吧。

闫欣悦：我在网上下载了一段视频，想和大家一起分享看一看。（播放视频：节约用电）

看完这段视频后我感触比较大。电力需求对现代家居已是不可缺少，各类电器的应用，不但提高生活素质，令家居生活加添舒适方便。为继续享受电力带来的优质生活，我们应该注意自己的用电习惯，节约能源，有助保护环境之余，更可节省电费。合理用电、科学用电非常简单，大部分要诀更是普通常识。掌握要诀，从身边的简单生活做起。

赵思宇：

节省电费是市民最关心的话题之一，我调查了沈阳市阶梯电价收费标准。按照国家要求，居民生活用电阶梯电价第一档用电量要覆盖80%的居民用户，第二档要覆盖95%的居民用户，其余为第三档。随着人民生活水平的提高，居民生活用电量逐年增加，2012年确定的阶梯电价分档电量已经不能适应居民基本生活用电需求。为满足居民用户逐年增长的电力需求，引导居民合理用电、减轻群众用电负担，依照省物价局《关于调整居民生活用电阶梯电价分档电量有关事项的通知》（辽价发〔2017〕51号）文件，从2017年8月1日起，将调整沈阳市居民生活用电阶梯电价分档电量水平。具体细则如下：

注：居民阶梯电价以年用电量为计算周期

小组成员：

根据大家收集的资料，我在网上查到了一张没调整之前的电费通知单，并根据此单编写了一道有关家庭用电收费的问题，现在咱们一起来看一下。

问题设定

（1）假设小红家2018年月平均的电费是132元，那么小明家月平均的用电量是多少千瓦时？

（2）假设小明家2018年月平均的用电量是x千瓦时，那么小明家月平均的电费是多少元？

（3）比较新旧两种收费方式，以电费通知单的数据为例计算出新标准下的收费能节省多少钱？

郎皓博组同学进行讲解：

设计意图：

由于学生习惯于解决已给定的具体问题，见到这样一个较为宽泛的课题，可能无法确定所要研究的对象，或者虽然确定了问题情境，但各个量之间的关系较为复杂，因此不能按照课题的要求理出解题方案。这时，需要教师依据学生的学***，给予恰到好处的帮助，在数学模型的建立，方程、不等式、函数关系的构造等方面，可以让不同认知水平及能力层次的学生都经历“问题情境—建立模型—求解—解释与应用”的研究过程。在深度上，不同认识层次的学生可以选择不同的问题情境，又可以不同程度地融合数学知识，让不同的学生在数学上得到不同的发展。

第四环节：交流评价，收获成果。

大家谈谈自己这节课都有什么收获。

设计意图：

学生通过经历这样的数学活动，体会数学学习不仅仅是做习题，而且要学会用数学的视角分析现实问题，揭示并理解现实问题。必要时，教师可以提供一些背景，提出研究方向，给出一些具体的问题等。

第五环节：分层作业，巩固提高。

设计意图：

分层布置作业，注重学生的能力差异，让不同学习层次的学生自主选择作业的类型，体现了教学要面向全体。

课堂反思

1.本课题评价的重心在于让学生真实体验数学问题研究和解决的全过程。

2.关注学生自主参与，培养合作能力和反思意识。

3.关注学生模型思想的建立，即能从现实生活或具体情境中抽象出数学问题，用数学符号建立方程、不等式、函数等表示数学问题中的数量关系和变化规律，求出结果并讨论结果的意义。

4.关注学生用数学的视角分析和理解现实问题。对于问题研究的深度，可以让不同认识层次的学生选择不同的问题情境，也可以不同程度的融合数学知识，让不同的学生得到不同的发展。

5.关注学生对于一元一次方程、一元一次不等式及一次函数的综合运用能力，研究成果的逻辑性、实用性。

6.本节课在教学的过程中充分利用了教学助手中的多种功能，利用多媒体手段辅助教学，吸引学生注意力的同时，增加了课堂的参与率，提高了课堂上的学习效率。